Связка плоскостей, уравнение связки плоскостей.
В этой статье речь пойдет о связках плоскостей. Сначала дадим определение связки плоскостей. Далее докажем теорему, которая дает вид уравнения связки плоскостей. После этого перейдем к решению примеров и задач, связанных с понятием связки плоскостей.
Связка плоскостей – определение.
Чтобы хорошо понять определение связки плоскостей, сначала рассмотрим варианты взаимного расположения трех несовпадающих и непараллельных плоскостей 
, 
и 
в трехмерном пространстве. Так как мы условились, что эти плоскости не совпадают и не параллельны, то две из них пересекаются по прямой. Пусть плоскости и пересекаются по прямой a. Тогда плоскость может проходить через прямую a, может быть параллельна прямой a, а может пересекать прямую a в некоторой точке М0 (об этом говорилось в разделе взаимное расположение прямой и плоскости). Для наглядности изобразим эти случаи на чертеже.
В первом случае плоскости , и являются плоскостями пучка плоскостей с центром a и имеют бесконечно много общих точек (все точки прямой a принадлежат сразу всем трем плоскостям). Во втором случае плоскости , и не имеют ни одной общей точки (ни одной точки, принадлежащей сразу всем трем плоскостям). В третьем случае плоскости , и имеют единственную общую точку М0.
Давайте остановимся на третьем случае подробнее.
Очевидно, что через точку пересечения трех плоскостей , и можно провести еще бесконечно много других плоскостей. Действительно, любая плоскость М0М1М2, где М1 и М2 некоторые точки, не лежащие одновременно в одной из плоскостей , или , проходит через точку М0 и отлична от плоскостей , и .
Так мы пришли к определению связки плоскостей.
Определение.
Связка плоскостей – это множество всех плоскостей в трехмерном пространстве, проходящих через одну точку. Общую точку связки плоскостей называют центром связки плоскостей.
Связку плоскостей в трехмерном пространстве можно однозначно определить, если указать центр этой связки плоскостей или любые три плоскости этой связки, не принадлежащие одному пучку плоскостей.
Приведем пример задания связки плоскостей.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Тройка координатных плоскостей Oxy, Oxz и Oyz задают связку плоскостей с центром в начале координат (в точке O).
Уравнение связки плоскостей – решение задач.
Уравнением связки плоскостей в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат называют такое уравнение, которое задает все плоскости этой связки плоскостей. Получим вид уравнения связки плоскостей.
Пусть в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz связку плоскостей с центром в точке 
задают три пересекающиеся в точке М0 плоскости , и . Будем считать, что плоскости соответствует общее уравнение плоскости 
, плоскости - 
, а плоскости - 
. Вид уравнения данной связки плоскостей дает следующая теорема.
Теорема.
Плоскость принадлежит связке плоскостей, определенной тремя пересекающимися в точке плоскостями , и , тогда и только тогда, когда ее общее уравнение можно записать в виде 
, где 
- некоторые действительные числа, одновременно не равные нулю (
).
Доказательство.
Достаточность.
Чтобы доказать достаточность, нужно показать:
является уравнением плоскости;
.
Перепишем уравнение в виде
Полученное уравнение представляет собой общее уравнение некоторой плоскости, если коэффициенты при переменных x, y и z одновременно не равны нулю. Докажем, что эти коэффициенты действительно одновременно не равны нулю методом от противного.
Предположим, что 
. Так как числа одновременно не равны нулю, то определитель матрицы вида 
равен нулю (если 
, то единственным решением системы линейных однородных уравнений вида относительно неизвестных переменных является тройка чисел 
, что показано в разделе решение систем линейных однородных уравнений). В свою очередь справедливость равенства 
указывает на то, что система линейных уравнений вида 
либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. А это противоречит тому, что плоскости , и пересекаются в одной точке.
Итак, уравнение действительно является уравнением плоскости. Покажем, что координаты точки М0 удовлетворяет этому уравнению, что будет означать принадлежность точки М0 данной плоскости.
Так как плоскости , и пересекаются в точке М0, то координаты этой точки удовлетворяют каждому из уравнений плоскостей, то есть, справедливы следующие равенства 
. Следовательно, для любых справедливо равенство 
, что и требовалось показать.
Необходимость.
Для доказательства необходимости нужно показать, что наперед заданная плоскость, проходящая через точку , может быть определена уравнением при определенном выборе значений параметров .
Рассмотрим плоскость, проходящую через точку М0 и имеющую нормальный вектор 
. Покажем, что эту плоскость можно задать уравнением при определенном наборе значений .
Очевидно, 
- нормальный вектор плоскости , 
- плоскости , а 
- плоскости . Так как плоскости пересекаются в одной точке (в точке М0), то векторы 
, 
и 
некомпланарны. Следовательно, любой вектор трехмерного пространства можно разложить по векторам , и . В частности, ненулевой вектор можно разложить по векторам , и как 
, где - некоторые действительные числа, одновременно не равные нулю. В координатной форме вектор имеет вид 
(смотрите при необходимости статью операции над векторами в координатах). Тогда общее уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , записывается как
Если обозначить 
как 
соответственно, то придем к уравнению вида .
Теорема полностью доказана.
Итак, уравнение , где - произвольные одновременно не равные нулю действительные числа, есть уравнение связки плоскостей, которую определяют три пересекающиеся в одной точке плоскости , и . Если параметрам придать какие-нибудь конкретные значения 
, то уравнение 
представляет собой общее уравнение одной из плоскостей данной связки плоскостей.
Очевидно, уравнение связки плоскостей с центром в точке имеет вид 
. Действительно, плоскости, которым соответствуют неполные общие уравнения плоскостей 
и 
, пересекаются в точке , а значит определяют связку плоскостей с центром в точке М0.
Рассмотрим решения нескольких примеров, связанных со связкой плоскостей.
Пример.
Напишите уравнение связки плоскостей с центром в точке 
.
Решение.
Чтобы написать уравнение связки плоскостей с центром в заданной точке, нам нужно знать общие уравнения трех плоскостей, пересекающихся в этой точке. В качестве плоскостей, определяющих связку плоскостей с центром в точке , возьмем плоскости, параллельные координатным плоскостям и проходящие через точку М0. Им соответствуют неполные общие уравнения плоскостей вида 
и 
. Таким образом, уравнение связки плоскостей с центром в точке имеет вид 
, где 
.
Ответ:
.
Пример.
Является ли точка 
центром связки плоскостей, которую определяют три плоскости 
и 
?
Решение.
Если точка М0 является центром указанной связки плоскостей, то координаты точки М0 удовлетворяют уравнениям всех трех плоскостей. Проверим, так ли это, подставив координаты точки в заданные уравнения плоскостей:
Координаты точки М0 не удовлетворяют уравнению плоскости вида , поэтому, точка М0 не является центром заданной связки плоскостей.
Ответ:
нет.
Пример.
Могут ли три плоскости 
и 
определять связку плоскостей? Если да, то напишите уравнение этой связки плоскостей.
Решение.
Три заданные плоскости определяют связку плоскостей, если они пересекаются в одной точке. Три плоскости и пересекаются в одной точке, если система уравнений, составленная из уравнений этих плоскостей, имеет единственное решение. А система линейных уравнений вида 
имеет единственное решение, если определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля. Проверим, так ли это (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):
Следовательно, плоскости и определяют связку плоскостей. Уравнение этой связки плоскостей имеет вид 
, где .
Ответ:
.
Пример.
Определите координаты центра связки плоскостей, заданной уравнением 
.
Решение.
Центром заданной связки плоскостей является точка, в которой пересекаются плоскости 
и 
. Координаты центра связки плоскостей мы определим, решив систему линейных уравнений вида 
. Для ее решения применим метод Крамера (можно воспользоваться и любым другим методом решения систем линейных уравнений):
Таким образом, центр связки плоскостей имеет координаты 
.
Ответ:
.
Пример.
Принадлежит ли плоскость 
связке плоскостей 
?
Решение.
Покажем два варианта решения этой задачи.
Первый способ.
Найдем координаты центра заданной связки плоскостей. Для этого найдем решение системы уравнений вида 
. Воспользуемся методом Крамера:
Найденные координаты удовлетворяют уравнению плоскости , так как 
. Значит, плоскость проходит через центр заданной связки плоскостей, следовательно, принадлежит этой связке.
Второй способ.
Выясним, существуют ли такие значения параметров , при которых уравнения и эквивалентны.
Перепишем уравнение связки плоскостей в виде 
. Приравняв соответствующие коэффициенты при переменных x, y и z, а также свободные члены в уравнениях и , получаем систему уравнений вида 
. Если эта система уравнений имеет решение, то плоскость принадлежит связке плоскостей , в противном случае – не принадлежит.
Используем метод Гаусса для установления совместности записанной системы уравнений:
Таким образом, система уравнений имеет единственное решение (его можно найти при обратном ходе метода Гаусса 
). Следовательно, плоскость принадлежит связке плоскостей (уравнение плоскости получается из уравнения связки плоскостей при ).
Ответ:
да.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Некогда разбираться?