Прямая, плоскость, их уравнения

Связка плоскостей, уравнение связки плоскостей.


В этой статье речь пойдет о связках плоскостей. Сначала дадим определение связки плоскостей. Далее докажем теорему, которая дает вид уравнения связки плоскостей. После этого перейдем к решению примеров и задач, связанных с понятием связки плоскостей.


Связка плоскостей – определение.

Чтобы хорошо понять определение связки плоскостей, сначала рассмотрим варианты взаимного расположения трех несовпадающих и непараллельных плоскостей формула, формула и формула в трехмерном пространстве. Так как мы условились, что эти плоскости не совпадают и не параллельны, то две из них пересекаются по прямой. Пусть плоскости формула и формула пересекаются по прямой a. Тогда плоскость формула может проходить через прямую a, может быть параллельна прямой a, а может пересекать прямую a в некоторой точке М0 (об этом говорилось в разделе взаимное расположение прямой и плоскости). Для наглядности изобразим эти случаи на чертеже.

изображение

В первом случае плоскости формула, формула и формула являются плоскостями пучка плоскостей с центром a и имеют бесконечно много общих точек (все точки прямой a принадлежат сразу всем трем плоскостям). Во втором случае плоскости формула, формула и формула не имеют ни одной общей точки (ни одной точки, принадлежащей сразу всем трем плоскостям). В третьем случае плоскости формула, формула и формула имеют единственную общую точку М0.

Давайте остановимся на третьем случае подробнее.

Очевидно, что через точку пересечения трех плоскостей формула, формула и формула можно провести еще бесконечно много других плоскостей. Действительно, любая плоскость М0М1М2, где М1 и М2 некоторые точки, не лежащие одновременно в одной из плоскостей формула, формула или формула, проходит через точку М0 и отлична от плоскостей формула, формула и формула.

Так мы пришли к определению связки плоскостей.

Определение.

Связка плоскостей – это множество всех плоскостей в трехмерном пространстве, проходящих через одну точку. Общую точку связки плоскостей называют центром связки плоскостей.

Связку плоскостей в трехмерном пространстве можно однозначно определить, если указать центр этой связки плоскостей или любые три плоскости этой связки, не принадлежащие одному пучку плоскостей.

Приведем пример задания связки плоскостей.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Тройка координатных плоскостей Oxy, Oxz и Oyz задают связку плоскостей с центром в начале координат (в точке O).

Уравнение связки плоскостей – решение задач.


Уравнением связки плоскостей в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат называют такое уравнение, которое задает все плоскости этой связки плоскостей. Получим вид уравнения связки плоскостей.

Пусть в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz связку плоскостей с центром в точке формула задают три пересекающиеся в точке М0 плоскости формула, формула и формула. Будем считать, что плоскости формула соответствует общее уравнение плоскости формула, плоскости формула - формула, а плоскости формула - формула. Вид уравнения данной связки плоскостей дает следующая теорема.

Теорема.

Плоскость принадлежит связке плоскостей, определенной тремя пересекающимися в точке формула плоскостями формула, формула и формула, тогда и только тогда, когда ее общее уравнение можно записать в виде формула, где формула - некоторые действительные числа, одновременно не равные нулю (формула).

Доказательство.

Достаточность.

Чтобы доказать достаточность, нужно показать:

  • во-первых, что уравнение формула является уравнением плоскости;
  • во-вторых, что плоскость, отвечающая этому уравнению, проходит через точку формула.

Перепишем уравнение формула в виде
формула

Полученное уравнение представляет собой общее уравнение некоторой плоскости, если коэффициенты при переменных x, y и z одновременно не равны нулю. Докажем, что эти коэффициенты действительно одновременно не равны нулю методом от противного.

Предположим, что формула. Так как числа формула одновременно не равны нулю, то определитель матрицы вида формула равен нулю (если формула, то единственным решением системы линейных однородных уравнений вида формула относительно неизвестных переменных формула является тройка чисел формула, что показано в разделе решение систем линейных однородных уравнений). В свою очередь справедливость равенства формула указывает на то, что система линейных уравнений вида формула либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. А это противоречит тому, что плоскости формула, формула и формула пересекаются в одной точке.

Итак, уравнение формула действительно является уравнением плоскости. Покажем, что координаты точки М0 удовлетворяет этому уравнению, что будет означать принадлежность точки М0 данной плоскости.

Так как плоскости формула, формула и формула пересекаются в точке М0, то координаты этой точки удовлетворяют каждому из уравнений плоскостей, то есть, справедливы следующие равенства формула. Следовательно, для любых формула справедливо равенство формула, что и требовалось показать.

Необходимость.

Для доказательства необходимости нужно показать, что наперед заданная плоскость, проходящая через точку формула, может быть определена уравнением формула при определенном выборе значений параметров формула.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точку М0 и имеющую нормальный вектор формула. Покажем, что эту плоскость можно задать уравнением формула при определенном наборе значений формула.

Очевидно, формула - нормальный вектор плоскости формула, формула - плоскости формула, а формула - плоскости формула. Так как плоскости пересекаются в одной точке (в точке М0), то векторы формула, формула и формула некомпланарны. Следовательно, любой вектор трехмерного пространства можно разложить по векторам формула, формула и формула. В частности, ненулевой вектор формула можно разложить по векторам формула, формула и формула как формула, где формула - некоторые действительные числа, одновременно не равные нулю. В координатной форме вектор формула имеет вид формула (смотрите при необходимости статью операции над векторами в координатах). Тогда общее уравнение плоскости, проходящей через точку формула и имеющей нормальный вектор формула, записывается как
формула

Если обозначить формула как формула соответственно, то придем к уравнению вида формула.

Теорема полностью доказана.

Итак, уравнение формула, где формула - произвольные одновременно не равные нулю действительные числа, есть уравнение связки плоскостей, которую определяют три пересекающиеся в одной точке плоскости формула, формула и формула. Если параметрам формула придать какие-нибудь конкретные значения формула, то уравнение формула представляет собой общее уравнение одной из плоскостей данной связки плоскостей.

Очевидно, уравнение связки плоскостей с центром в точке формула имеет вид формула. Действительно, плоскости, которым соответствуют неполные общие уравнения плоскостей формула и формула, пересекаются в точке формула, а значит определяют связку плоскостей с центром в точке М0.

Рассмотрим решения нескольких примеров, связанных со связкой плоскостей.

Пример.

Напишите уравнение связки плоскостей с центром в точке формула.

Решение.

Чтобы написать уравнение связки плоскостей с центром в заданной точке, нам нужно знать общие уравнения трех плоскостей, пересекающихся в этой точке. В качестве плоскостей, определяющих связку плоскостей с центром в точке формула , возьмем плоскости, параллельные координатным плоскостям и проходящие через точку М0. Им соответствуют неполные общие уравнения плоскостей вида формула и формула. Таким образом, уравнение связки плоскостей с центром в точке формула имеет вид формула, где формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Является ли точка формула центром связки плоскостей, которую определяют три плоскости формула и формула?

Решение.

Если точка М0 является центром указанной связки плоскостей, то координаты точки М0 удовлетворяют уравнениям всех трех плоскостей. Проверим, так ли это, подставив координаты точки формула в заданные уравнения плоскостей:
формула

Координаты точки М0 не удовлетворяют уравнению плоскости вида формула, поэтому, точка М0 не является центром заданной связки плоскостей.

Ответ:

нет.

Пример.

Могут ли три плоскости формула и формула определять связку плоскостей? Если да, то напишите уравнение этой связки плоскостей.

Решение.

Три заданные плоскости определяют связку плоскостей, если они пересекаются в одной точке. Три плоскости формула и формула пересекаются в одной точке, если система уравнений, составленная из уравнений этих плоскостей, имеет единственное решение. А система линейных уравнений вида формула имеет единственное решение, если определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля. Проверим, так ли это (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):
формула

Следовательно, плоскости формула и формула определяют связку плоскостей. Уравнение этой связки плоскостей имеет вид формула, где формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Определите координаты центра связки плоскостей, заданной уравнением формула.

Решение.

Центром заданной связки плоскостей является точка, в которой пересекаются плоскости формула и формула. Координаты центра связки плоскостей мы определим, решив систему линейных уравнений вида формула. Для ее решения применим метод Крамера (можно воспользоваться и любым другим методом решения систем линейных уравнений):
формула

Таким образом, центр связки плоскостей формула имеет координаты формула.

Ответ:

формула.

Пример.

Принадлежит ли плоскость формула связке плоскостей формула?

Решение.

Покажем два варианта решения этой задачи.

Первый способ.

Найдем координаты центра заданной связки плоскостей. Для этого найдем решение системы уравнений вида формула. Воспользуемся методом Крамера:
формула

Найденные координаты удовлетворяют уравнению плоскости формула, так как формула. Значит, плоскость формула проходит через центр заданной связки плоскостей, следовательно, принадлежит этой связке.

Второй способ.

Выясним, существуют ли такие значения параметров формула, при которых уравнения формула и формула эквивалентны.

Перепишем уравнение связки плоскостей в виде формула. Приравняв соответствующие коэффициенты при переменных x, y и z, а также свободные члены в уравнениях формула и формула, получаем систему уравнений вида формула. Если эта система уравнений имеет решение, то плоскость формула принадлежит связке плоскостей формула, в противном случае – не принадлежит.

Используем метод Гаусса для установления совместности записанной системы уравнений:
формула

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение (его можно найти при обратном ходе метода Гаусса формула). Следовательно, плоскость формула принадлежит связке плоскостей формула (уравнение плоскости получается из уравнения связки плоскостей при формула).

Ответ:

да.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+