Угол между двумя пересекающимися плоскостями – определение, примеры нахождения.

Эта статья посвящена углу между плоскостями и его нахождению. Сначала приведено определение угла между двумя плоскостями и дана графическая иллюстрация. После этого разобран принцип нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями методом координат, получена формула, позволяющая вычислять угол между пересекающимися плоскостями по известным координатам нормальных векторов этих плоскостей. В заключении показаны подробные решения характерных задач.

Угол между плоскостями - определение.

При изложении материала мы будем использовать определения и понятия, данные в статьях плоскость в пространстве и прямая в пространстве.

Приведем рассуждения, которые позволят постепенно подойти к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Пусть нам даны две пересекающиеся плоскости и . Эти плоскости пересекаются по прямой, которую обозначим буквой c. Построим плоскость , проходящую через точку М прямой c и перпендикулярную к прямой c. При этом плоскость будет пересекать плоскости и . Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости и как a, а прямую, по которой пересекаются плоскости и как b. Очевидно, прямые a и b пересекаются в точке М.

Легко показать, что угол между пересекающимися прямыми a и b не зависит от расположения точки М на прямой c, через которую проходит плоскость .

Построим плоскость , перпендикулярную к прямой c и отличную от плоскости . Плоскость пересекают плоскости и по прямым, которые обозначим a₁ и b₁ соответственно.

Из способа построения плоскостей и следует, что прямые a и b перпендикулярны прямой c, и прямые a₁ и b₁ перпендикулярны прямой c. Так как прямые a и a₁ лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой c, то они параллельны. Аналогично, прямые b и b₁ лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой c, следовательно, они параллельны. Таким образом, можно выполнить параллельный перенос плоскости на плоскость , при котором прямая a₁ совпадет с прямой a, а прямая b с прямой b₁. Следовательно, угол между двумя пересекающимися прямыми a₁ и b₁ равен углу между пересекающимися прямыми a и b.

Этим доказано, что угол между пересекающимися прямыми a и b, лежащими в пересекающихся плоскостях и , не зависит от выбора точки M, через которую проходит плоскость . Поэтому, логично этот угол принять за угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Теперь можно озвучить определение угла между двумя пересекающимися плоскостями и .

Определение угла между двумя плоскостями можно дать немного иначе. Если на прямой с, по которой пересекаются плоскости и , отметить точку М и через нее провести прямые а и b, перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях и соответственно, то угол между прямыми а и b представляет собой угол между плоскостями и . Обычно на практике выполняют именно такие построения, чтобы получить угол между плоскостями.

Так как угол между пересекающимися прямыми не превосходит , то из озвученного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися плоскостями выражается действительным числом из интервала . При этом, пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам. Угол между параллельными плоскостями либо не определяют совсем, либо считают его равным нулю.

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Обычно при нахождении угла между двумя пересекающимися плоскостями сначала приходится выполнять дополнительные построения, чтобы увидеть пересекающиеся прямые, угол между которыми равен искомому углу, и после этого связывать этот угол с исходными данными при помощи признаков равенства, признаков подобия, теоремы косинусов или определений синуса, косинуса и тангенса угла. В курсе геометрии средней школы встречаются подобные задачи.

Для примера приведем решение задачи С2 из ЕГЭ по математике за 2012 год (условие намерено изменено, но это не влияет на принцип решения). В ней как раз нужно было найти угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Пример.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁, в котором АВ=2, AD=3, АА₁=7 и точка E делит сторону АА₁ в отношении 4 к 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD₁.

Решение.

Для начала сделаем чертеж.

Выполним дополнительные построения, чтобы «увидеть» угол между плоскостями.

Для начала определим прямую линию, по которой пересекаются плоскости АВС и BED₁. Точка В – это одна из их общих точек. Найдем вторую общую точку этих плоскостей. Прямые DA и D₁E лежат в одной плоскости АDD₁, причем они не параллельны, а, значит, пересекаются. С другой стороны, прямая DA лежит в плоскости АВС, а прямая D₁E – в плоскости BED₁, следовательно, точка пересечения прямых DA и D₁E будет общей точкой плоскостей АВС и BED₁. Итак, продолжим прямые DA и D₁E до их пересечения, обозначим точку их пересечения буквой F. Тогда BF – прямая, по которой пересекаются плоскости АВС и BED₁.

Осталось построить две прямые, лежащие в плоскостях АВС и BED₁ соответственно, проходящие через одну точку на прямой BF и перпендикулярные прямой BF, - угол между этими прямыми по определению будет равен искомому углу между плоскостями АВС и BED₁. Сделаем это.

Точка А является проекцией точки Е на плоскость АВС. Проведем прямую, пересекающую под прямым углом прямую ВF в точке М. Тогда прямая АМ является проекцией прямой ЕМ на плоскость АВС, и по теореме о трех перпендикулярах .

Таким образом, искомый угол между плоскостями АВС и BED₁ равен .

Синус, косинус или тангенс этого угла (а значит и сам угол) мы можем определить из прямоугольного треугольника АЕМ, если будем знать длины двух его сторон. Из условия легко найти длину АЕ: так как точка Е делит сторону АА₁ в отношении 4 к 3, считая от точки А, а длина стороны АА₁ равна 7, то АЕ=4. Найдем еще длину АМ.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВF с прямым углом А, где АМ является высотой. По условию АВ=2. Длину стороны АF мы можем найти из подобия прямоугольных треугольников DD₁F и AEF:

По теореме Пифагора из треугольника АВF находим . Длину АМ найдем через площадь треугольника АBF: c одной стороны площадь треугольника АВF равна , с другой стороны , откуда .

Таким образом, из прямоугольного треугольника АЕМ имеем .

Тогда искомый угол между плоскостями АВС и BED₁ равен (заметим, что ).

Ответ:

В некоторых случаях для нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями удобно задать прямоугольную систему координат Oxyz и воспользоваться методом координат. На нем и остановимся.

Поставим задачу: найти угол между двумя пересекающимися плоскостями и . Обозначим искомый угол как .

Будем считать, что в заданной прямоугольной системе координат Oxyz нам известны координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей и или имеется возможность их найти. Пусть - нормальный вектор плоскости , а - нормальный вектор плоскости . Покажем, как найти угол между пересекающимися плоскостями и через координаты нормальных векторов этих плоскостей.

Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости и , как c. Через точку М на прямой c проведем плоскость , перпендикулярную к прямой c. Плоскость пересекает плоскости и по прямым a и b соответственно, прямые a и b пересекаются в точке М. По определению угол между пересекающимися плоскостями и равен углу между пересекающимися прямыми a и b.

Отложим от точки М в плоскости нормальные векторы и плоскостей и . При этом вектор лежит на прямой, которая перпендикулярна прямой a, а вектор - на прямой, которая перпендикулярна прямой b. Таким образом, в плоскости вектор - нормальный вектор прямой a, - нормальный вектор прямой b.

В статье нахождение угла между пересекающимися прямыми мы получили формулу, которая позволяет вычислять косинус угла между пересекающимися прямыми по координатам нормальных векторов. Таким образом, косинус угла между прямыми a и b, а, следовательно, и косинус угла между пересекающимися плоскостями и находится по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей и соответственно. Тогда угол между пересекающимися плоскостями вычисляется как .

Решим предыдущий пример методом координат.

Пример.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁, в котором АВ=2, AD=3, АА₁=7 и точка E делит сторону АА₁ в отношении 4 к 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD₁.

Решение.

Так как стороны прямоугольного параллелепипеда при одной вершине попарно перпендикулярны, то удобно ввести прямоугольную систему координат Oxyz так: начало совместить с вершиной С, а координатные оси Ox, Oy и Oz направить по сторонам CD, CB и CC₁ соответственно.

Угол между плоскостями АВС и BED₁ может быть найден через координаты нормальных векторов этих плоскостей по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей АВС и BED₁ соответственно. Определим координаты нормальных векторов.

Так как плоскость АВС совпадает с координатной плоскостью Oxy, то ее нормальным вектором является координатный вектор , то есть, .

В качестве нормального вектора плоскости BED₁ можно принять векторное произведение векторов и , в свою очередь координаты векторов и можно найти через координаты точек В, Е и D₁ (о чем написано в статье координаты вектора через координаты точек его начала и конца), а координаты точек В, Е и D₁ во введенной системе координат определим из условия задачи.

Очевидно, . Так как , то по координатам точек находим (при необходимости смотрите статью деление отрезка в заданном отношении). Тогда и

Осталось подставить найденные координаты в формулу для вычислений угла между плоскостями:

Как видите, метод координат дал такой же результат.

Ответ:

В заключении разберем решение примера, в котором нужно найти угол между пересекающимися плоскостями по известным уравнениям этих плоскостей.

Некогда разбираться?

Закажите решение