Прямая, плоскость, их уравнения

Угол между двумя пересекающимися плоскостями – определение, примеры нахождения.


Эта статья посвящена углу между плоскостями и его нахождению. Сначала приведено определение угла между двумя плоскостями и дана графическая иллюстрация. После этого разобран принцип нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями методом координат, получена формула, позволяющая вычислять угол между пересекающимися плоскостями по известным координатам нормальных векторов этих плоскостей. В заключении показаны подробные решения характерных задач.


Угол между плоскостями - определение.

При изложении материала мы будем использовать определения и понятия, данные в статьях плоскость в пространстве и прямая в пространстве.

Приведем рассуждения, которые позволят постепенно подойти к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Пусть нам даны две пересекающиеся плоскости формула и формула. Эти плоскости пересекаются по прямой, которую обозначим буквой c. Построим плоскость формула, проходящую через точку М прямой c и перпендикулярную к прямой c. При этом плоскость формула будет пересекать плоскости формула и формула. Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости формула и формула как a, а прямую, по которой пересекаются плоскости формула и формула как b. Очевидно, прямые a и b пересекаются в точке М.

изображение

Легко показать, что угол между пересекающимися прямыми a и b не зависит от расположения точки М на прямой c, через которую проходит плоскость формула.

Построим плоскость формула, перпендикулярную к прямой c и отличную от плоскости формула. Плоскость формула пересекают плоскости формула и формула по прямым, которые обозначим a1 и b1 соответственно.

Из способа построения плоскостей формула и формула следует, что прямые a и b перпендикулярны прямой c, и прямые a1 и b1 перпендикулярны прямой c. Так как прямые a и a1 лежат в одной плоскости формула и перпендикулярны прямой c, то они параллельны. Аналогично, прямые b и b1 лежат в одной плоскости формула и перпендикулярны прямой c, следовательно, они параллельны. Таким образом, можно выполнить параллельный перенос плоскости формула на плоскость формула, при котором прямая a1 совпадет с прямой a, а прямая b с прямой b1. Следовательно, угол между двумя пересекающимися прямыми a1 и b1 равен углу между пересекающимися прямыми a и b.

изображение

Этим доказано, что угол между пересекающимися прямыми a и b, лежащими в пересекающихся плоскостях формула и формула, не зависит от выбора точки M, через которую проходит плоскость формула. Поэтому, логично этот угол принять за угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Теперь можно озвучить определение угла между двумя пересекающимися плоскостями формула и формула.

Определение.

Угол между двумя пересекающимися по прямой c плоскостями формула и формула – это угол между двумя пересекающимися прямыми a и b, по которым плоскости формула и формула пересекаются с плоскостью формула, перпендикулярной к прямой c.

изображение

Определение угла между двумя плоскостями можно дать немного иначе. Если на прямой с, по которой пересекаются плоскости формула и формула, отметить точку М и через нее провести прямые а и b, перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях формула и формула соответственно, то угол между прямыми а и b представляет собой угол между плоскостями формула и формула. Обычно на практике выполняют именно такие построения, чтобы получить угол между плоскостями.

Так как угол между пересекающимися прямыми не превосходит формула, то из озвученного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися плоскостями выражается действительным числом из интервала формула. При этом, пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам. Угол между параллельными плоскостями либо не определяют совсем, либо считают его равным нулю.

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями.


Обычно при нахождении угла между двумя пересекающимися плоскостями сначала приходится выполнять дополнительные построения, чтобы увидеть пересекающиеся прямые, угол между которыми равен искомому углу, и после этого связывать этот угол с исходными данными при помощи признаков равенства, признаков подобия, теоремы косинусов или определений синуса, косинуса и тангенса угла. В курсе геометрии средней школы встречаются подобные задачи.

Для примера приведем решение задачи С2 из ЕГЭ по математике за 2012 год (условие намерено изменено, но это не влияет на принцип решения). В ней как раз нужно было найти угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Пример.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, в котором АВ=2, AD=3, АА1=7 и точка E делит сторону АА1 в отношении 4 к 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

Решение.

Для начала сделаем чертеж.

изображение

Выполним дополнительные построения, чтобы «увидеть» угол между плоскостями.

Для начала определим прямую линию, по которой пересекаются плоскости АВС и BED1. Точка В – это одна из их общих точек. Найдем вторую общую точку этих плоскостей. Прямые DA и D1E лежат в одной плоскости АDD1, причем они не параллельны, а, значит, пересекаются. С другой стороны, прямая DA лежит в плоскости АВС, а прямая D1E – в плоскости BED1, следовательно, точка пересечения прямых DA и D1E будет общей точкой плоскостей АВС и BED1. Итак, продолжим прямые DA и D1E до их пересечения, обозначим точку их пересечения буквой F. Тогда BF – прямая, по которой пересекаются плоскости АВС и BED1.

изображение

Осталось построить две прямые, лежащие в плоскостях АВС и BED1 соответственно, проходящие через одну точку на прямой BF и перпендикулярные прямой BF, - угол между этими прямыми по определению будет равен искомому углу между плоскостями АВС и BED1. Сделаем это.

Точка А является проекцией точки Е на плоскость АВС. Проведем прямую, пересекающую под прямым углом прямую ВF в точке М. Тогда прямая АМ является проекцией прямой ЕМ на плоскость АВС, и по теореме о трех перпендикулярах формула.

изображение

Таким образом, искомый угол между плоскостями АВС и BED1 равен формула.

Синус, косинус или тангенс этого угла (а значит и сам угол) мы можем определить из прямоугольного треугольника АЕМ, если будем знать длины двух его сторон. Из условия легко найти длину АЕ: так как точка Е делит сторону АА1 в отношении 4 к 3, считая от точки А, а длина стороны АА1 равна 7, то АЕ=4. Найдем еще длину АМ.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВF с прямым углом А, где АМ является высотой. По условию АВ=2. Длину стороны АF мы можем найти из подобия прямоугольных треугольников DD1F и AEF:
формула

По теореме Пифагора из треугольника АВF находим формула. Длину АМ найдем через площадь треугольника АBF: c одной стороны площадь треугольника АВF равна формула, с другой стороны формула, откуда формула.

Таким образом, из прямоугольного треугольника АЕМ имеем формула.

Тогда искомый угол между плоскостями АВС и BED1 равен формула (заметим, что формула).

Ответ:

формула

В некоторых случаях для нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями удобно задать прямоугольную систему координат Oxyz и воспользоваться методом координат. На нем и остановимся.

Поставим задачу: найти угол между двумя пересекающимися плоскостями формула и формула. Обозначим искомый угол как формула.

Будем считать, что в заданной прямоугольной системе координат Oxyz нам известны координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей формула и формула или имеется возможность их найти. Пусть формула - нормальный вектор плоскости формула, а формула - нормальный вектор плоскости формула. Покажем, как найти угол между пересекающимися плоскостями формула и формула через координаты нормальных векторов этих плоскостей.

Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости формула и формула, как c. Через точку М на прямой c проведем плоскость формула, перпендикулярную к прямой c. Плоскость формула пересекает плоскости формула и формула по прямым a и b соответственно, прямые a и b пересекаются в точке М. По определению угол между пересекающимися плоскостями формула и формула равен углу между пересекающимися прямыми a и b.

Отложим от точки М в плоскости формула нормальные векторы формула и формула плоскостей формула и формула. При этом вектор формула лежит на прямой, которая перпендикулярна прямой a, а вектор формула - на прямой, которая перпендикулярна прямой b. Таким образом, в плоскости формула вектор формула - нормальный вектор прямой a, формула - нормальный вектор прямой b.

изображение

В статье нахождение угла между пересекающимися прямыми мы получили формулу, которая позволяет вычислять косинус угла между пересекающимися прямыми по координатам нормальных векторов. Таким образом, косинус угла между прямыми a и b, а, следовательно, и косинус угла между пересекающимися плоскостями формула и формула находится по формуле формула, где формула и формула – нормальные векторы плоскостей формула и формула соответственно. Тогда угол между пересекающимися плоскостями вычисляется как формула.

Решим предыдущий пример методом координат.

Пример.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, в котором АВ=2, AD=3, АА1=7 и точка E делит сторону АА1 в отношении 4 к 3, считая от точки А. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

Решение.

Так как стороны прямоугольного параллелепипеда при одной вершине попарно перпендикулярны, то удобно ввести прямоугольную систему координат Oxyz так: начало совместить с вершиной С, а координатные оси Ox, Oy и Oz направить по сторонам CD, CB и CC1 соответственно.

изображение

Угол между плоскостями АВС и BED1 может быть найден через координаты нормальных векторов этих плоскостей по формуле формула, где формула и формула – нормальные векторы плоскостей АВС и BED1 соответственно. Определим координаты нормальных векторов.

Так как плоскость АВС совпадает с координатной плоскостью Oxy, то ее нормальным вектором является координатный вектор формула, то есть, формула.

В качестве нормального вектора плоскости BED1 можно принять векторное произведение векторов формула и формула, в свою очередь координаты векторов формула и формула можно найти через координаты точек В, Е и D1 (о чем написано в статье координаты вектора через координаты точек его начала и конца), а координаты точек В, Е и D1 во введенной системе координат определим из условия задачи.

Очевидно, формула. Так как формула, то по координатам точек формула находим формула (при необходимости смотрите статью деление отрезка в заданном отношении). Тогда формула и
формула

Осталось подставить найденные координаты в формулу для вычислений угла между плоскостями:
формула

Как видите, метод координат дал такой же результат.

Ответ:

формула

В заключении разберем решение примера, в котором нужно найти угол между пересекающимися плоскостями по известным уравнениям этих плоскостей.

Пример.

Найдите синус угла, косинус угла и сам угол между двумя пересекающимися плоскостями, определенными в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями формула и формула.

Решение.

Когда мы изучали общее уравнение прямой вида формула, то выяснили, что коэффициенты А, В и С представляют собой соответствующие координаты нормального вектора плоскости. Таким образом, формула и формула - нормальные векторы плоскостей формула и формула соответственно.

Подставляем координаты нормальных векторов плоскостей в формулу для вычисления угла между двумя пересекающимися плоскостями:
формула

Тогда формула. Так как угол между двумя пересекающимися плоскостями не тупой, то с помощью основного тригонометрического тождества находим синус угла: формула.

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+