Прямая, плоскость, их уравнения

Угол между прямой и плоскостью – определение, примеры нахождения.


Начнем эту статью с определения угла между прямой и плоскостью. После этого покажем, как находится угол между прямой и плоскостью методом координат, подробно разберем решения характерных примеров и задач.


Угол между прямой и плоскостью - определение.

Прежде чем говорить об определении угла между прямой и плоскостью, рекомендуем освежить в памяти понятие прямой линии в пространстве и понятие плоскости.

Чтобы определить угол между прямой и плоскостью нам потребуется несколько вспомогательных определений. Дадим эти определения.

Определение.

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.

изображение

При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна к этой плоскости.

Определение.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

изображение

Определение.

Проекцией точки М на плоскость формула называется либо сама точка М, если М лежит в плоскости формула, либо точка пересечения плоскости формула и прямой, перпендикулярной к плоскости формула и проходящей через точку М, если точка М не лежит в плоскости формула.

изображение

Определение.

Проекцией прямой a на плоскость формула называют множество проекций всех точек прямой a на плоскость формула.

Очевидно, что проекцией прямой, перпендикулярной к плоскости формула, на плоскость формула является их точка пересечения. Также достаточно очевидно, что проекцией прямой a, которая пересекает плоскость формула и не перпендикулярна к этой плоскости, на плоскость формула является прямая линия, лежащая в плоскости формула и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости формула.

изображение

Теперь нам достаточно сведений, чтобы дать определение угла между прямой и плоскостью.

Определение.

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

изображение

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным формула, а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным формула.

Нахождение угла между прямой и плоскостью.


Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, достаточно разнообразны. В зависимости от исходных данных, приходится подбирать соответствующий метод решения. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов и определения синуса, косинуса и тангенса угла. Также можно найти угол между прямой и плоскостью методом координат. Остановимся на нем подробнее.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , в ней задана прямая a, которая пересекает плоскость формула в точке M и не перпендикулярна плоскости формула, и требуется найти угол формула между прямой a и плоскостью формула.

Начнем с начальных данных, от которых мы будем отталкиваться при определении угла между прямой и плоскостью методом координат.

Прямой a в заданной прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямой в пространстве, а плоскости формула - уравнение плоскости некоторого вида и нормальный вектор плоскости. Пусть формула - направляющий вектор прямой a, формула - нормальный вектор плоскости формула. Итак, будем считать, что нам известны координаты направляющего вектора прямой a и координаты нормального вектора плоскости формула (если известны уравнения прямой a и плоскости формула, то координаты векторов формула и формула определяются по этим уравнениям).

Осталось получить формулу, которая позволят вычислять угол между прямой и плоскостью по известным координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Отложим векторы формула и формула от точки пересечения прямой a и плоскости формула. В зависимости от координат векторов формула и формула возможны четыре варианта расположения этих векторов относительно заданных прямой и плоскости. Изобразим их на чертеже.

изображение

Очевидно, если угол между векторами формула и формула (обозначим его формула) острый, то он дополняет искомый угол формула между прямой и плоскостью до прямого угла, то есть, формула. Если же формула, то формула.

Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать следующим образом:
формула

Формулы приведения приводят нас к равенствам формула, которые после преобразований принимают вид
формула

То есть, синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

В разделе нахождение угла между двумя векторами мы выяснили, что угол между векторами равен отношению скалярного произведения векторов и произведения длин этих векторов, тогда для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью справедлива формула формула.

Следовательно, формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид формула.

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти косинус угла при известном синусе. Так как угол между прямой и плоскостью острый, то косинус этого угла является положительным числом и вычисляется по формуле формула.

Теперь мы можем находить синус угла, косинус угла и сам угол между прямой и плоскостью по полученным формулам. Решим несколько характерных примеров.

Пример.

Найдите угол, синус и косинус угла между прямой формула и плоскостью формула.

Решение.

Канонические уравнения прямой в пространстве позволяют сразу получить координаты направляющего вектора – их дают числа в знаменателях дробей. То есть, формула - направляющий вектор прямой формула.

Общее уравнение плоскости содержит в себе координаты нормального вектора плоскости в виде коэффициентов при переменных x, y и z. То есть, нормальным вектором плоскости формула является вектор формула.

Подставляем координаты векторов формула и формула в формулу для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью:
формула

Тогда формула и формула.

Ответ:

формула

Пример.

На векторах формула построена пирамида. Найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC.

Решение.

Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямой AD является вектор формула.

Нормальный вектор формула плоскости АВС перпендикулярен и вектору формула и вектору формула, то есть, в качестве нормального вектора плоскости АВС можно взять векторное произведение векторов формула и формула:
формула

Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:
формула

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+