Математика на cleverstudents.ru

Прямая, плоскость, их уравнения

Угол между пересекающимися прямыми – определение, примеры нахождения.

Начнем с краткого обзора материала статьи.

Сначала дано определение угла между пересекающимися прямыми с поясняющим рисунком. Далее показаны методы, позволяющие найти синус угла, косинус угла и сам угол между двумя пересекающимися прямыми на плоскости и в пространстве по известным уравнениям этих прямых в фиксированной прямоугольной системе координат, получены соответствующие формулы и приведены подробные решения примеров и задач.

Угол между пересекающимися прямыми - определение.

Чтобы определить угол между двумя пересекающимися прямыми нам потребуются определения, данные в статье геометрическая фигура угол и некоторые вспомогательные определения.

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну единственную общую точку. Эта общая точка двух прямых называется точкой пересечения прямых. Точка пересечения разбивает каждую из пересекающихся прямых на два луча. Очевидно, эти лучи образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Таким образом, если нам известна мера одного из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, то мы можем определить меры трех остальных углов. Действительно, пусть один из углов равен углу . Тогда вертикальный с ним угол также равен , а смежные с ним углы равны . Если , то все четыре угла являются прямыми. В этом случае пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (им посвящена статья перпендикулярные прямые).

Теперь можно переходить к определению угла между пересекающимися прямыми.

Из приведенного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися прямыми выражается действительным числом из интервала . Угол между перпендикулярными прямыми по определению равен девяноста градусам.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми на плоскости.

Существует множество разнообразных задач, в которых приходится находить угол между пересекающимися прямыми. В зависимости от условий этих задач подбирается подходящий метод решения.

Можно использовать методы геометрии. К примеру, если известны какие-либо дополнительные углы, то можно пробовать связать их с искомым углом между пересекающимися прямыми, отталкиваясь от равенства или подобия фигур. Если известны стороны треугольника и требуется найти угол между пересекающимися прямыми, на которых лежат стороны треугольника, то можно использовать теорему косинусов. При наличии прямоугольных треугольников отыскать угол между пересекающимися прямыми помогают определения синуса, косинуса и тангенса угла. Много подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.

Для нахождения углов между пересекающимися прямыми также прекрасно подходит метод координат. Давайте детально разберем его.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy, заданы две прямые a и b уравнениями прямых некоторого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости), которые пересекаются в точке М, и требуется определить угол между пересекающимися прямыми a и b. Обозначим искомый угол между пересекающимися прямыми как .

Решим поставленную задачу.

Для начала опишем принцип нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости в заданной системе координат Oxy.

Мы знаем, что от прямой линии на плоскости в прямоугольной системе координат неотделим направляющий вектор прямой и нормальный вектор прямой, и мы можем по заданному уравнению прямой на плоскости определить координаты ее направляющего и нормального вектора. Таким образом, у нас есть возможность получить координаты направляющих и нормальных векторов заданных пересекающихся прямых.

Угол между заданными пересекающимися прямыми может быть найден через

• угол между направляющими векторами этих прямых;
• угол между нормальными векторами прямых;
• угол между направляющим вектором одной прямой и нормальным вектором другой прямой.

Разберем каждый случай.

Пусть - направляющий вектор прямой a, - направляющий вектор прямой b. Если отложить векторы и от точки пересечения прямых, то они будут лежать на прямых a и b соответственно, и возможны четыре варианта их расположения относительно пересекающихся прямых a и b, изображенные на рисунке ниже.

Очевидно, если угол между векторами и не тупой, то он равен углу между пересекающимися прямыми a и b. Если же угол между направляющими векторами прямых a и b тупой, то угол между пересекающимися прямыми a и b равен углу, смежному с углом . То есть, , если , а , если .
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде: , если , а (в последнем переходе мы использовали формулы приведения), если . Следовательно, , то есть, косинус угла между пересекающимися прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами пересекающихся прямых.

Формула для вычисления косинуса угла между векторами и имеет вид .
Тогда косинус угла между двумя пересекающимися прямыми a и b мы можем найти по формуле ,
а сам угол между пересекающимися прямыми - по формуле ,
где и - направляющие векторы прямых а и b соответственно.

Разберем решение примера.

Аналогично угол между пересекающимися прямыми a и b может быть найден через угол между нормальными векторами этих прямых. Если - нормальный вектор прямой a, - нормальный вектор прямой b, то угол между пересекающимися прямыми а и b равен углу между векторами и , или углу, смежному с углом . Приведем чертеж, иллюстрирующий эти ситуации.

Формулы для нахождения косинуса угла и самого угла между пересекающимися прямыми а и b через координаты нормальных векторов этих прямых имеют вид и соответственно, где и - нормальные векторы прямых а и b.

Осталось разобраться, как найти угол между пересекающимися прямыми, если известен направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор другой прямой.

Пусть - направляющий вектор прямой a, - нормальный вектор прямой b. Отложим векторы и от точки пересечения прямых и рассмотрим возможные варианты расположения этих векторов относительно пересекающихся прямых a и b.

Если угол между векторами и не превосходит 90 градусов, то он дополняет угол между пересекающимися прямыми a и b до прямого угла, то есть, , если . Если же , то .
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде , если , и , если . Следовательно,

Таким образом, синус угла между пересекающимися прямыми a и b равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой a и нормальным вектором прямой b.

Следовательно, формулы для нахождения синуса угла и самого угла между двумя пересекающимися прямыми a и b имеют вид и , где - направляющий вектор прямой a, - нормальный вектор прямой b.

Дадим еще формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми a и b через угловые коэффициенты этих прямых.

Пусть прямую a на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямую b - . Тогда угол между пересекающимися прямыми может быть вычислен по формуле , где k₁ и k₂ – угловые коэффициенты прямых a и b соответственно. Эту формулу легко получить на основании формулы для определения угла между пересекающимися прямыми через координаты нормальных векторов прямых.

В заключении этого пункта отметим, что совсем не обязательно запоминать все выведенные формулы для нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости. Достаточно понимать, что угол между пересекающимися прямыми может быть найден с помощью угла между направляющими или нормальными векторами прямых, уметь определять координаты этих векторов по известным уравнениям прямых, а также помнить формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве методом координат сводится к нахождению координат направляющих векторов этих прямых и последующему определению угла между ними. При этом все рассуждения из предыдущего пункта, касающиеся определения угла между пересекающимися прямыми через угол между их направляющими векторами, остаются справедливыми.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями прямой некоторого вида (смотрите статью виды уравнений прямой в пространстве). По уравнениям прямых мы можем определить координаты их направляющих векторов. Итак, и - направляющие векторы заданных пересекающихся прямых a и b соответственно. Тогда косинус угла между пересекающимися прямыми a и b в пространстве вычисляется по формуле ,
а сам угол – по формуле .

Некогда разбираться?

Закажите решение