Прямая, плоскость, их уравнения

Угол между пересекающимися прямыми – определение, примеры нахождения.


Начнем с краткого обзора материала статьи.

Сначала дано определение угла между пересекающимися прямыми с поясняющим рисунком. Далее показаны методы, позволяющие найти синус угла, косинус угла и сам угол между двумя пересекающимися прямыми на плоскости и в пространстве по известным уравнениям этих прямых в фиксированной прямоугольной системе координат, получены соответствующие формулы и приведены подробные решения примеров и задач.


Угол между пересекающимися прямыми - определение.

Чтобы определить угол между двумя пересекающимися прямыми нам потребуются определения, данные в статье геометрическая фигура угол и некоторые вспомогательные определения.

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну единственную общую точку. Эта общая точка двух прямых называется точкой пересечения прямых. Точка пересечения разбивает каждую из пересекающихся прямых на два луча. Очевидно, эти лучи образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Таким образом, если нам известна мера одного из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, то мы можем определить меры трех остальных углов. Действительно, пусть один из углов равен углу формула. Тогда вертикальный с ним угол также равен формула, а смежные с ним углы равны формула. Если формула, то все четыре угла являются прямыми. В этом случае пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (им посвящена статья перпендикулярные прямые).

изображение

Теперь можно переходить к определению угла между пересекающимися прямыми.

Определение.

Угол между двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из четырех углов, образованных этими прямыми.

Из приведенного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися прямыми выражается действительным числом из интервала формула. Угол между перпендикулярными прямыми по определению равен девяноста градусам.

изображение

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми на плоскости.


Существует множество разнообразных задач, в которых приходится находить угол между пересекающимися прямыми. В зависимости от условий этих задач подбирается подходящий метод решения.

Можно использовать методы геометрии. К примеру, если известны какие-либо дополнительные углы, то можно пробовать связать их с искомым углом между пересекающимися прямыми, отталкиваясь от равенства или подобия фигур. Если известны стороны треугольника и требуется найти угол между пересекающимися прямыми, на которых лежат стороны треугольника, то можно использовать теорему косинусов. При наличии прямоугольных треугольников отыскать угол между пересекающимися прямыми помогают определения синуса, косинуса и тангенса угла. Много подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.

Для нахождения углов между пересекающимися прямыми также прекрасно подходит метод координат. Давайте детально разберем его.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy, заданы две прямые a и b уравнениями прямых некоторого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости), которые пересекаются в точке М, и требуется определить угол между пересекающимися прямыми a и b. Обозначим искомый угол между пересекающимися прямыми как формула.

Решим поставленную задачу.

Для начала опишем принцип нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости в заданной системе координат Oxy.

Мы знаем, что от прямой линии на плоскости в прямоугольной системе координат неотделим направляющий вектор прямой и нормальный вектор прямой, и мы можем по заданному уравнению прямой на плоскости определить координаты ее направляющего и нормального вектора. Таким образом, у нас есть возможность получить координаты направляющих и нормальных векторов заданных пересекающихся прямых.

Угол между заданными пересекающимися прямыми может быть найден через

Разберем каждый случай.

Пусть формула - направляющий вектор прямой a, формула - направляющий вектор прямой b. Если отложить векторы формула и формула от точки пересечения прямых, то они будут лежать на прямых a и b соответственно, и возможны четыре варианта их расположения относительно пересекающихся прямых a и b, изображенные на рисунке ниже.

изображение

Очевидно, если угол между векторами формула и формула не тупой, то он равен углу между пересекающимися прямыми a и b. Если же угол между направляющими векторами прямых a и b тупой, то угол между пересекающимися прямыми a и b равен углу, смежному с углом формула. То есть, формула, если формула, а формула, если формула.
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде: формула, если формула, а формула (в последнем переходе мы использовали формулы приведения), если формула. Следовательно, формула, то есть, косинус угла между пересекающимися прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами пересекающихся прямых.

Формула для вычисления косинуса угла между векторами формула и формула имеет вид формула.
Тогда косинус угла между двумя пересекающимися прямыми a и b мы можем найти по формуле формула,
а сам угол между пересекающимися прямыми - по формуле формула,
где формула и формула - направляющие векторы прямых а и b соответственно.

Разберем решение примера.

Пример.

Пересекающиеся прямые a и b определены на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy уравнениями формула и формула. Требуется найти угол между пересекающимися прямыми a и b.

Решение.

Параметрические уравнения прямой на плоскости позволяют сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой – их дают соответствующие коэффициенты при параметре, то есть, формула - направляющий вектор прямой формула. Прямой b по условию соответствует каноническое уравнение прямой на плоскости вида формула. Числа в знаменателях этого равенства дают координаты направляющего вектора прямой b, то есть, формула. Чтобы найти угол между пересекающимися прямыми a и b нам осталось подставить полученные координаты направляющих векторов прямых в формулу формула:
формула

Ответ:

угол между указанными пересекающимися прямыми равен 45 градусам.

Аналогично угол между пересекающимися прямыми a и b может быть найден через угол между нормальными векторами этих прямых. Если формула - нормальный вектор прямой a, формула - нормальный вектор прямой b, то угол между пересекающимися прямыми а и b равен углу между векторами формула и формула, или углу, смежному с углом формула. Приведем чертеж, иллюстрирующий эти ситуации.

изображение

Формулы для нахождения косинуса угла и самого угла между пересекающимися прямыми а и b через координаты нормальных векторов этих прямых имеют вид формула и формула соответственно, где формула и формула - нормальные векторы прямых а и b.

Пример.

Вычислите синус угла, косинус угла и сам угол между пересекающимися прямыми a и b, которым в прямоугольной системе координат Oxy соответствуют уравнения
3x+5y-30=0 и x+4y-17=0.

Решение.

Мы знаем, что общее уравнение прямой вида Ax+By+C=0 определяет на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, нормальным вектором которой является вектор формула. Таким образом, формула - нормальный вектор прямой 3x+5y-30=0, а формула - прямой x+4y-17=0. Подставляем координаты нормальных векторов в формулу для определения косинуса угла между пересекающимися прямыми:
формула

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла при известном косинусе этого угла. Так как угол формула между двумя пересекающимися прямыми не тупой, то формула.

Тогда формула.

Ответ:

формула

Осталось разобраться, как найти угол между пересекающимися прямыми, если известен направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор другой прямой.

Пусть формула - направляющий вектор прямой a, формула - нормальный вектор прямой b. Отложим векторы формула и формула от точки пересечения прямых и рассмотрим возможные варианты расположения этих векторов относительно пересекающихся прямых a и b.

изображение

Если угол между векторами формула и формула не превосходит 90 градусов, то он дополняет угол между пересекающимися прямыми a и b до прямого угла, то есть, формула, если формула. Если же формула, то формула.
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде формула, если формула, и формула, если формула. Следовательно,
формула

Таким образом, синус угла между пересекающимися прямыми a и b равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой a и нормальным вектором прямой b.

Следовательно, формулы для нахождения синуса угла и самого угла между двумя пересекающимися прямыми a и b имеют вид формула и формула, где формула - направляющий вектор прямой a, формула - нормальный вектор прямой b.

Пример.

Найдите угол между пересекающимися прямыми формула и x+4y-17=0.

Решение.

(Обратите внимание: заданные прямые совпадают с прямыми из предыдущего примера).

Мы можем легко определить координаты направляющего вектора прямой формула и координаты нормального вектора прямой x+4y-17=0. Имеем: формула и формула. Осталось воспользоваться формулой формула для нахождения угла между пересекающимися прямыми:
формула

Очевидно, получили такой же угол между пересекающимися прямыми, как и в предыдущем примере.

Ответ:

формула

Дадим еще формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми a и b через угловые коэффициенты этих прямых.

Пусть прямую a на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида формула, а прямую b - формула. Тогда угол между пересекающимися прямыми может быть вычислен по формуле формула, где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых a и b соответственно. Эту формулу легко получить на основании формулы для определения угла между пересекающимися прямыми через координаты нормальных векторов прямых.

Пример.

Определите угол между пересекающимися прямыми формула и формула.

Решение.

(В условии даны все те же пересекающиеся прямые из предыдущих примеров).

Заданные прямые имеют угловые коэффициенты формула и формула. Подставляем эти значения в формулу формула для нахождения угла между пересекающимися прямыми по угловым коэффициентам:
формула

Ответ:

формула

В заключении этого пункта отметим, что совсем не обязательно запоминать все выведенные формулы для нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости. Достаточно понимать, что угол между пересекающимися прямыми может быть найден с помощью угла между направляющими или нормальными векторами прямых, уметь определять координаты этих векторов по известным уравнениям прямых, а также помнить формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве.

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве методом координат сводится к нахождению координат направляющих векторов этих прямых и последующему определению угла между ними. При этом все рассуждения из предыдущего пункта, касающиеся определения угла между пересекающимися прямыми через угол между их направляющими векторами, остаются справедливыми.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями прямой некоторого вида (смотрите статью виды уравнений прямой в пространстве). По уравнениям прямых мы можем определить координаты их направляющих векторов. Итак, формула и формула - направляющие векторы заданных пересекающихся прямых a и b соответственно. Тогда косинус угла между пересекающимися прямыми a и b в пространстве вычисляется по формуле формула,
а сам угол – по формуле формула.

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства определена уравнением формула и пересекает ось аппликат. Найдите косинус угла и угол между заданной прямой и координатной прямой Oz.

Решение.

Пусть искомый угол между пересекающимися прямыми равен формула. Направляющим вектором прямой формула является вектор формула, а в качестве направляющего вектора оси аппликат можно принять координатный вектор формула. Теперь у нас есть все данные, чтобы применить формулу для нахождения косинуса угла между пересекающимися прямыми:
формула

Тогда искомый угол между пересекающимися прямыми равен формула.

Ответ:

формула



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Профиль автора статьи в Google+