Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций.
Непосредственное вычисление пределов основано на определении непрерывности функции в точке, на определении предела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции.
Утверждение.
Значение предела в точке непрерывности функции равно значению функции в этой точке.
То есть, для основных элементарных функций (и функций полученных из основных элементарных с помощью элементарных преобразований графиков), опираясь на их известные свойства, предел в любой точке из области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках.
Пример.
Вычислить предел 
Решение.
Так как функция арктангенса непрерывна на всей области определения, то она непрерывна и в точке 
. Следовательно, значение предела равно значению функции в этой точке.
В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы. Например, для арксинуса и арккосинуса при 
или 
.
На плюс или минус бесконечности вычисляются соответствующие пределы при 
или 
на основании определеня предела функции на бесконечности.
Самые используемые свойства пределов.
-
, где k – коэффициент.
-
, если в результате не выходит одна из неопределенностей пределов.
-
Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:
Массу пределов можно вычислить зная свйства основных элементарных функций. Приведем значение пределов этих функций в таблице, а ниже дадим разъяснения и несколько примеров с решениями. Все значения можно вычислить основываясь на определении предела функции в точке и на бесконечности.
Таблица пределов функций
Держите эту таблицу основных пределов перед глазами при решении задач и примеров. Она значительно упростит Вам жизнь.
Пример.
Вычислить предел 
Решение.
Подставляем значение:
И сразу получили ответ.
Ответ:
Пример.
Вычислить предел 
Решение.
Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:
То есть, предел можно переписать в виде
Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция 
. Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем 
и 
, следовательно, можно записать 
.
Исходя из этого, наш предел запишется в виде:
Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большем единицы, откуда имеем:
Ответ:
При непосредственном вычислении пределов функций более сложного вида далеко не всегда сразу получается конкретное значение. Зачастую приходится иметь дело с различными видами неопределенностей.
Закончим этот раздел графическим пояснением таблицы пределов основных элементарных функций.
-
Предел постоянной функции (константы).
Очевидно, предел постоянной функции y=C на бесконечности, так же как и предел постоянной функции при аргументе, стремящемся к некоторому числу x0, равен числу C.
-
Предел функции корень n-ой степени.
Для четных показателей корня имеем
, для нечетных показателей корня, больших единицы, имеем 
, а при любом x из области определения предел функции корень n-ой степени равен значению функции в этой точке.
-
Предел степенной функции.
Разделим все степенные функции на группы со схожими значениями пределов в зависимости от показателя степени.
-
Если а - положительное нечетное число, то имеем:
и 
, а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать 
.
-
Если а - положительное четное число, то имеем:
и 
, а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать 
.
-
При других действительных положительных значениях а имеем:
, а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке.
-
Если а - отрицателное нечетное число, то имеем:
, 
, 
, 
, а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать 
и 
.
-
Если а - отрицателное четное число, то имеем:
, 
, 
, , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать 
и 
.
-
При других действительных отрицательных значениях а имеем:
и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке.
-
-
Предел показательной функции.
Для
имеем: 
, 
, а при любом x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этой точке.
Для
имеем: 
, 
, а при любом x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этой точке.
-
Предел логарифмической функции.
Для
имеем: 
, 
, а для остальных x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этих точках.
Для
имеем: 
, 
, а для остальных x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этих точках.
-
Предел тригонометрических функций.
Для функций синуса и косинуса предел на бесконечности не существует,а при любом x из области определения предел равен значению соответствующей функции в этой точке.
Для функции тангенса имеем
, 
или 
, а для остальных x из области определения предел тангенса равен значению функции в этих точках.
Для функции котангенса имеем
, 
или 
, а для остальных x из области определения предел котангенса равен значению функции в этих точках.
-
Предел обратных тригонометрических функций.
Для функции арксинус имеем
и 
, а для остальных x из области определения предел арксинуса равен значению функции в этих точках.
Для функции арккосинус имеем
и 
, а для остальных x из области определения предел арккосинуса равен значению функции в этих точках.
Для функции арктангенс имеем
и 
, а для остальных x из области определения предел арктангенса равен значению функции в этих точках.
Для функции котангенса имеем
и 
, а для остальных x из области определения предел арккотангенса равен значению функции в этих точках.
На этом закончим с пределами основных элементарных функций. Полученные значения пределов будем в дальнейшем постоянно использовать, так что рекомендую запомнить их.
Можете ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.
Некогда разбираться?