Пределы, нахождение пределов Помощь в написании работ

Основные неопределенности пределов и их раскрытие.


С непосредственным вычислением пределов основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль формула (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность формула, ноль умножить на бесконечность формула, бесконечность минус бесконечность формула, единица в степени бесконечность формула, ноль в степени ноль формула, бесконечность в степени ноль формула.

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.


Раскрывать неопределенности позволяет:

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

таблица неопределенностей

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

И сразу получили ответ.

Ответ:

формула


Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:
формула

То есть, предел можно переписать в виде
формула

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция формула. Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем формула и формула, следовательно, можно записать формула.

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:
формула

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:
формула

Ответ:

формула

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений.

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.
формула

После преобразования неопределенность раскрылась.

Ответ:

формула

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

Пришли к неопределенности (0 на 0). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет формула
формула

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.
формула

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

Ответ:

формула

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1, то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:
формула

Разложим знаменатель на множители:
формула

Наш предел примет вид:
формула

После преобразования неопределенность раскрылась.

Ответ:

формула

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.
формула

Пример.
формула

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при формула возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность формула, в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на формула

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

формула
Степень числителя равна семи, то есть m=7. Степень знаменателя также равна семи n=7. Разделим и числитель и знаменатель на формула.
формула

Ответ:

формула

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

формула
Степень числителя 8/3, степень знаменателя 2. Разделим и числитель и знаменатель на формула.
формула

Ответ:

формула

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

формула
Степень числителя 3, степень знаменателя 10/3. Разделим и числитель и знаменатель на формула.
формула

Ответ:

формула

ВЫВОД.

Таким образом, возможны три варианта для предела отношения степенных выражений:

Подробно ознакомиться с остальными методами раскрытия неопределенностей Вы можете в разделе Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+