Пределы, нахождение пределов

Второй замечательный предел, примеры нахождения, задачи и подробные решения.


Второй замечательный предел имеет вид:
формула

или в другой записи
формула

В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность формула.

Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу с подробным оприсанием решения.


Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем бесконечность:
формула

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения и останавливаемся на применении второго замечательного предела.

Сделаем замену переменных. Пусть
формула

Если формула, то формула

Исходный предел после замены примет вид:
формула

Ответ:

формула

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем бесконечность:
формула

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции:
формула

Тогда предел запишется в виде:
формула

Сделаем замену переменных. Пусть
формула

Если формула, то формула

Исходный предел после замены примет вид:
формула

В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов.

Ответ:

формула


Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

формула

Преобразуем функцию, чтобы применить второй замечательный предел:
формула

Сейчас домножим показатель на формула и разделим на это же выражение, затем используем свойства степени:
формула

Так как показатели степени числителя и знаменателя дроби формула одинаковые (они равны 6), то предел этой дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях (см. непосредственное вычисление пределов):

формула

Если произвести замену формула, то получим второй замечательный предел в чистом виде, следовательно,
формула

Ответ:

формула

ЗАМЕЧАНИЕ

Неопределнность единица в степени бесконечность формула является степенной неопределенностью, так что может быть раскрыта по правилам нахождения пределов показательно степенных функций.

Рекомендуем ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+