Пределы, нахождение пределов

Первый замечательный предел, примеры нахождения, задачи и подробные решения.


Первый замечательный предел имеет вид: формула

На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде

формула

где, k – коэффициент.

Пояснение:

формула

Следствия первого замечательного предела:

  1. формула
  2. формула

Эти следствия очень просто доказываются, если использовать правило Лопиталя или замену эквивалентных бесконечно малых функций.

Разберем несколько примеров нахождения предела по первому замечательному пределу с подробным оприсанием решения.


Пример.

Найти предел не пользуясь правилом Лопиталя формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения. Комбинация синуса и его аргумента подсказывает нам о применении первого замечательного предела, но для этого сначала нужно немного преобразовать выражение. Домножим на и числитель и знаменатель дроби.
формула

В силу следствия из первого замечательного предела формула, поэтому приходим к результату:
формула

Ответ:

формула


Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Преобразуем числитель, используя формулы тригонометрии.
формула

Стало видно, что здесь можно применить первый замечательный предел:
формула

Ответ:

формула

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Сделаем замену.

Пусть
формула

формула, следовательно, формула при формула.

Тогда предел после замены переменной примет вид:
формула

Ответ:

формула

Рекомендуем ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+