Пределы, нахождение пределов Помощь в написании работ

Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций.


Непосредственное вычисление пределов основано на определении непрерывности функции в точке, на определении предела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции.

Утверждение.

Значение предела в точке непрерывности функции равно значению функции в этой точке.

То есть, для основных элементарных функций (и функций полученных из основных элементарных с помощью элементарных преобразований графиков), опираясь на их известные свойства, предел в любой точке из области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках.

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Так как функция арктангенса непрерывна на всей области определения, то она непрерывна и в точке формула. Следовательно, значение предела равно значению функции в этой точке.
формула


В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы. Например, для арксинуса и арккосинуса при формула или формула.

На плюс или минус бесконечности вычисляются соответствующие пределы при формула или формула на основании определеня предела функции на бесконечности.

Самые используемые свойства пределов.

  1. формула, где k – коэффициент.
  2. формула, если в результате не выходит одна из неопределенностей пределов.
  3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:
    формула

Массу пределов можно вычислить зная свйства основных элементарных функций. Приведем значение пределов этих функций в таблице, а ниже дадим разъяснения и несколько примеров с решениями. Все значения можно вычислить основываясь на определении предела функции в точке и на бесконечности.

Таблица пределов функций

Держите эту таблицу основных пределов перед глазами при решении задач и примеров. Она значительно упростит Вам жизнь.

таблица пределов постоянной функции
таблица пределов функции корень n-ой степени
таблица пределов степенной функции
таблица пределов показательной функции
таблица пределов логарифмической функции
таблица пределов тригонометрических функций
таблица пределов обратных тригонометрических функций

Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

И сразу получили ответ.

Ответ:

формула


Пример.

Вычислить предел формула

Решение.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:
формула

То есть, предел можно переписать в виде
формула

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция формула. Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем формула и формула, следовательно, можно записать формула.

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:
формула

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большем единицы, откуда имеем:
формула

Ответ:

формула

При непосредственном вычислении пределов функций более сложного вида далеко не всегда сразу получается конкретное значение. Зачастую приходится иметь дело с различными видами неопределенностей.

Закончим этот раздел графическим пояснением таблицы пределов основных элементарных функций.

На этом закончим с пределами основных элементарных функций. Полученные значения пределов будем в дальнейшем постоянно использовать, так что рекомендую запомнить их.

Можете ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+