Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов.
Функции 
и 
называют бесконечно малыми при 
, если 
и 
Функции 
и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если 
Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых.
Пусть - бесконечно малая при .
Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .
Пример.
Доказать эквивалентность бесконечно малых величин 
и .
Решение.
Вычислим предел отношения этих величин 
Используя одно из свойств логарифма получим 
Поэтому предел примет вид:
Так как функция логарифма непрерывна на области определения, то можно воспользоваться свойством предела непрерывных функций и поменять местами знак предельного перехода и знак функции логарифма:
Проведем замену переменных 
. Так как - бесконечно малая функция при , то , следовательно, 
.
Поэтому предел примет вид:
Полученная единица доказывает эквивалентность исходных бесконечно малых величин. В последнем переходе мы использовали второй замечательный предел.
Таблица эквивалентных бесконечно малых очень сильно ускоряет процесс решения, хотя без нее, конечно, можно обойтись. Вопрос – нужно ли только.
Пример.
Найти предел 
Решение.
Подставляем значение:
Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Эта неопределенность указывает на то, что и в числителе и в знаменателе находятся бесконечно малые функции. Обратимся к таблице эквивалентных бесконечно малых: функция 
эквивалентна 
, следовательно, 
эквивалентна 
.
Таким образом, после замены бесконечно малой функции ей эквивалентной, предел примет вид:
Без наличия таблицы эквивалентных бесконечно малых мы бы воспользовались, например, правилом Лопиталя:
Как вариант, можно было преобразовать функцию с использованием формул тригонометрии и применить первый замечательный предел:
Рекомендуем ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.
Некогда разбираться?