Пределы, нахождение пределов

Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов.


Функции формула и формула называют бесконечно малыми при формула, если формула и формула

Функции формула и формула называют эквивалентными бесконечно малыми при формула, если формула


Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть формула - бесконечно малая при формула.

таблица эквивалентных бесконечно малых

Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве формула.

Пример.

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин формула и формула.

Решение.

Вычислим предел отношения этих величин формула

Используя одно из свойств логарифма получим формула

Поэтому предел примет вид:
формула

Так как функция логарифма непрерывна на области определения, то можно воспользоваться свойством предела непрерывных функций и поменять местами знак предельного перехода и знак функции логарифма:
формула

Проведем замену переменных формула. Так как формула - бесконечно малая функция при формула, то формула, следовательно, формула.

Поэтому предел примет вид:
формула

Полученная единица доказывает эквивалентность исходных бесконечно малых величин. В последнем переходе мы использовали второй замечательный предел.

Таблица эквивалентных бесконечно малых очень сильно ускоряет процесс решения, хотя без нее, конечно, можно обойтись. Вопрос – нужно ли только.


Пример.

Найти предел формула

Решение.

Подставляем значение:
формула

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Эта неопределенность указывает на то, что и в числителе и в знаменателе находятся бесконечно малые функции. Обратимся к таблице эквивалентных бесконечно малых: функция формула эквивалентна формула, следовательно, формула эквивалентна формула.

Таким образом, после замены бесконечно малой функции ей эквивалентной, предел примет вид:
формула

Без наличия таблицы эквивалентных бесконечно малых мы бы воспользовались, например, правилом Лопиталя:
формула

Как вариант, можно было преобразовать функцию с использованием формул тригонометрии и применить первый замечательный предел:
формула

Рекомендуем ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+