Пределы, нахождение пределов

Предел функции, основные понятия и определения.


Начнем с общих вещей, которые ОЧЕНЬ важны, но мало кто обращает на них внимание.

Предел функции - основные понятия.

Бесконечность обозначают символом формула. По сути, бесконечность формула это есть либо бесконечно большое положительное число формула, либо бесконечно большое отрицательное число формула.

Что это означает: когда Вы видите формула, то не имеет разницы формула это или формула. Но формула лучше не заменять на формула, равно как и формула лучше не заменять на формула.

Записывать предел функции f(x) принято в виде формула, снизу указывается аргумент x и через стрелочку к какому значению формула он стремится.

Если формула представляет из себя конкретное действительное число, то говорят о пределе функции в точке.

Если формула или формула. то говорят о пределе функции на бесконечности.

Сам предел может быть равен конкретному действительному числу формула, в этом случае говорят, что предел конечен.

Если формула, формула или формула, то говорят, что предел бесконечен.

Еще говорят, что предел не существует, если нельзя определить конкретное значение предела или его бесконечное значение (формула, формула или формула). Например, предел от синуса на бесконечности не существует.


Предел функции - основные определения.

Пришло время заняться нахождением значений пределов функций на бесконечности и в точке. В этом нам помогут несколько определений. Эти определения опираются на числовые последовательности и их сходимость или расходимость.

Определение (нахождение предела функции на бесконечности).

Число А называется пределом функции f(x) при формула, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается формула.

Замечание.

Предел функции f(x) при формула бесконечен, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции является бесконечно большой положительной или бесконечно большой отрицательной. Обозначается формула.

Пример.

Используя определение предела при формула доказать равенство формула.

Решение.

Запишем последовательность значений функции формула для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента формула.
формула

Очевидно, что члены этой последовательности монотонно убывают к нулю.

Графическая иллюстрация.

изображение

Теперь запишем последовательность значений функции формула для бесконечно большой отрицательной последовательности значений аргумента формула.
формула

Члены этой последовательности также монотонно убывают к нулю, что доказывает исходное равенство.

Графическая иллюстрация.

изображение

Пример.

Найти предел формула

Решение.

Запишем последовательность значений функции формула для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента. К примеру, возьмем формула.

Последовательность значений функции при этом будет (синие точки на графике)
формула

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой положительной, следовательно, формула

А сейчас запишем последовательность значений функции формула для бесконечно большой отрицательной последовательности значений аргумента. К примеру, возьмем формула.

Последовательность значений функции при этом будет (зеленые точки на графике)
формула

Очевидно, что эта последовательность сходится к нулю, следовательно, формула

Графическая иллюстрация

изображение

Ответ:

формула

Сейчас поговорим о существовании и нахождении предела функции в точке. Все основывается на определении односторонних пределов. Без вычисления односторонних пределов не обойтись при нахождении вертикальных асимптот графика функции.

Определение (нахождение предела функции слева).

Число В называется пределом функции f(x) слева при формула, если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции формула, значения которых остаются меньше а (формула), последовательность значений этой функции сходится к В.

Обозначается формула.

Определение (нахождение предела функции справа).

Число В называется пределом функции f(x) справа при формула, если для любой сходящейся к а последовательности аргументов функции формула, значения которых остаются больше а (формула), последовательность значений этой функции сходится к В.

Обозначается формула.

Определение (существование предела функции в точке).

Предел функции f(x) в точке а существует, если существуют пределы слева и справа а и они равны между собой.
формула

Замечание.

Предел функции f(x) в точке а бесконечен, если пределы слева и справа а бесконечны.

Поясним эти определения на примере.

Пример.

Доказать существование конечного предела функции формула в точке формула. Найти его значение.

Решение.

Будем отталкиваться от определения существования предела функции в точке.

Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов формула, сходящуюся к формула, причем формула. Примером такой последовательности может являться

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид
формула

На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками.

Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2, поэтому формула.

Во-вторых, покажем существование предела справа. Для этого возьмем последовательность аргументов формула, сходящуюся к формула, причем формула. Примером такой последовательности может являться
формула

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид
формула

На рисунке соответствующие значения показаны синими точками.

Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2, поэтому формула.

Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, по определению существует предел функции формула в точке формула, причем формула

Графическая иллюстрация.

изображение

Продолжить изучение основных определений теории пределов рекомендуем темой Непрерывность функции в точке, классификация точек разрыва.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+