Пределы, нахождение пределов Помощь в написании работ

Предел функции, правило Лопиталя.


Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль формула, бесконечность делить на бесконечность формула.

К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на бесконечность формула и бесконечность минус бесконечновть формула.

Дифференцирование функции и нахождение производной является неотъемлемой частью правила Лопиталя, так что рекомендуем обращаться к этому разделу.


Формулировка правила Лопиталя cледующая:

Если формула, и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки формула, то формула

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Рассмотрим несколько примеров и подробно разберем решения.

Пример.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя формула

Решение.

Подставляем значение
формула

Пределы с неопределенностью данного типа можно находить по правилу Лопиталя:
формула

Ответ:

формула


Пример.

Найти предел формула

Решение.

Подставляем бесконечность
формула

Для данного типа неопределенностей можно использовать правило Лопиталя при нахождении предела.
формула

Ответ:

формула

Пример.

Найти предел формула

Решение.

Подставляем значение
формула

Пришли к неопределенности вида ноль умножить на бесконечность. Обращаемся к таблице неопределенностей для выбора метода решения. Преобразуем выражение, чтобы можно было применить правило Лопиталя.
формула

Пришли к неопределенности бесконечность делить на бесконечность, а значит, можно найти предел по правилу Лопиталя.
формула

Ответ:

формула

Пример.

Найти предел формула

Решение.

Подставляем значение
формула

Пришли к неопределенности бесконечность минус бесконечность. Преобразуем выражение, чтобы можно было применить правило Лопиталя.
формула

Последний переход был сделан при использовании первого замечательного предела. Теперь можно найти предел по правилу Лопиталя.
формула

Неопределенность не исчезла, поэтому применим правило Лопиталя еще раз.
формула

Ответ:

формула

Рекомендуем ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+