Интегрирование тригонометрических функций.
Множество задач сводится к нахождению интегралов трансцендентных функций, содержащих тригонометрические функции. В данной статье сгруппируем наиболее часто встречающиеся виды подынтегральных функций и на примерах рассмотрим методы их интегрирования.
-
Начнем с интегрирования синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Из таблицы первообразных сразу заметим, что
и 
.
Метод подведения под знак дифференциала позволяет вычислить неопределенные интегралы функций тангенса и котангенса:
-
Поясним, как были найдены формулы
и
, находящиеся в таблице первообразных.
Разберем первый случай, второй абсолютно аналогичен.
Воспользуемся методом подстановки:
Пришли к задаче интегрирования иррациональной функции. Здесь нам также поможет метод подстановки:
Осталось провести обратную замену
и t = sinx:
-
Отдельно хочется остановиться на интегралах, содержащих степени тригонометрических функций, вида
.
Подробно о принципах их нахождении можете ознакомиться в разделе интегрирование с использованием рекуррентных формул. Если изучите вывод этих формул, то без особого труда сможете брать интегралы вида
, где m и n – натуральные числа.
-
Когда тригонометрические функции идут в комбинациях с многочленами или показательными функциями, то применяется метод интегрирования по частям. В этом разделе даны рекомендации для нахождения интегралов
, 
.
-
Максимум творчества приходится вкладывать, когда подынтегральная функция содержит тригонометрические функции с различными аргументами.
Здесь на помощь приходят основные формулы тригонометрии. Так что выписывайте их на отдельный листочек и держите перед глазами.
Пример.
Найти множество первообразных функции
.
Решение.
Формулы понижения степени дают
и 
.
Поэтому
Знаменатель представляет собой формулу синуса суммы, следовательно,
Приходим к сумме трех интегралов.
-
Подынтегральные выражения, содержащие тригонометрические функции, иногда можно свести к дробно рациональным выражениям, используя стандартную тригонометрическую подстановку.
Выпишем тригонометрические формулы, выражающие синус, косинус, тангенс через тангенс половинного аргумента:
При интегрировании нам также понадобится выражение дифференциала dx через тангенс половинного угла.
Так как
, то
То есть,
, где 
.
Пример.
Найти неопределенный интеграл
.
Решение.
Применим стандартную тригонометрическую подстановку:
Таким образом,
.
Разложение на простейшие дроби подынтегральной функции приводит нас к сумме двух интегралов:
Осталось провести обратную замену
:
ЗАМЕЧАНИЕ:
Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс их половинного аргумента, не являются тождествами. Поэтому, полученное выражение
является множеством первообразных функции 
только на области своего определения.
В остальных случаях Вам могут помочь основные методы интегрирования.
Некогда разбираться?