Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Метод трапеций.


Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования. Он позволяет вычислять определенные интегралы с заранее заданной степенью точности.

Сначала опишем суть метода трапеций и выведем формулу трапеций. Далее запишем оценку абсолютной погрешности метода и подробно разберем решение характерных примеров. В заключении сравним метод трапеций с методом прямоугольников.


Суть метода трапеций.

Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл формула, где подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b].

Разобьем отрезок [a;b] на n равных интервалов длины h точками формула. В этом случае шаг разбиения находим как формула и узлы определяем из равенства формула.

Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках формула.

Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n):

изображение

На каждом отрезке формула заменим функцию y=f(x) отрезком прямой, проходящей через точки с координатами формула и формула. Изобразим их на рисунке синими линиями:

изображение

В качестве приближенного значения интеграла формула возьмем выражение формула, то есть, примем формула.

Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. Это позволит понять, почему рассматриваемый метод численного интегрирования называется методом трапеций.

Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями формула и высотой h, в последнем случае определенный интеграл формула приближенно равен площади трапеции с основаниями формула и высотой h, взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла формула равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.

изображение

Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций, которая состоит в представлении определенного формула интеграла в виде суммы интегралов вида формула на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене формула.

Формула метода трапеций.


В силу пятого свойства определенного интеграла формула.

Если вместо интегралов формула подставить их приближенные значения, то получится формула метода трапеций:
формула

Оценка абсолютной погрешности метода трапеций.

Абсолютная погрешность метода трапеций оценивается как
формула.

Графическая иллюстрация метода трапеций.

Приведем графическую иллюстрацию метода трапеций:

изображение

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом трапеций.

Разберем на примерах применение метода трапеций при приближенном вычислении определенных интегралов.

В основном встречаются две разновидности заданий:

Следует заметить, что при заданном n промежуточные вычисления следует проводить с достаточной степенью точности, причем, чем больше n, тем выше должна быть точность вычислений.

Если требуется вычислить определенный интеграл с заданной точностью, к примеру, до 0.01, то промежуточные вычисления рекомендуем проводить на два-три порядка точнее, то есть, до 0.0001 - 0.00001. Если указанная точность достигается при больших n, то промежуточные вычисления следует проводить с еще более высокой точностью.

Для примера возьмем определенный интеграл, значение которого мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы можно было сравнивать этот результат с приближенным значением, полученным по методу трапеций.

Итак, формула.

Пример.

Вычислить определенный интеграл формула методом трапеций для n = 10.

Решение.

Формула метода трапеций имеет вид формула. То есть, для ее применения нам достаточно вычислить шаг h по формуле формула, определить узлы формула и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции формула.

Вычислим шаг разбиения: формула.

Определяем узлы формула и вычисляем значения подынтегральной функции в них (будем брать четыре знака после запятой):
формула

Результаты вычислений для удобства представляем в виде таблицы:
формула

Подставляем их в формулу метода трапеций:
формула

Полученное значение совпадает до сотых со значением, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница.

Пример.

Вычислите определенный интеграл формула методом трапеций с точностью до 0.01.

Решение.

Что мы имеем из условия: a = 1; b = 2; формула.

В этом случае первым делом находим количество точек разбиения отрезка интегрирования, то есть n. Мы это можем сделать, используя неравенство для оценки абсолютной погрешности формула. Таким образом, если мы найдем n, для которых будет выполняться неравенство формула, то формула трапеций при данных n даст нам приближенное значение определенного интеграла с требуемой точностью.

Найдем сначала наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [1; 2].
формула

Вторая производная функции является квадратичной параболой формула, мы знаем из ее свойств, что она положительная и возрастающая на отрезке [1; 2], поэтому формула. Как видите, в нашем примере процесс нахождения формула достаточно прост. В более сложных случаях обращайтесь к разделу наибольшее и наименьшее значение функции. Если же найти формула очень сложно, то после этого примера мы приведем альтернативный метод действий.

Вернемся к нашему неравенству формула и подставим в него полученное значение:
формула

Так как n – число натуральное (n - количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно брать n = 6, 7, 8, ... Возьмем n = 6. Это позволит нам достичь требуемой точности метода трапеций при минимуме расчетов (хотя для нашего случая при n = 10 производить вычисления вручную удобнее).

Итак, n найдено, теперь действуем как в предыдущем примере.

Вычисляем шаг: формула.

Находим узлы сетки формула и значения подынтегральной функции в них:
формула

Занесем в таблицу результаты расчетов:
формула

Подставляем полученные результаты в формулу трапеций:
формула

Вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы сравнить значения: формула

Следовательно, требуемая точность достигнута.

Следует отметить, что нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности является не очень простой процедурой, особенно для подынтегральных функций сложного вида. Поэтому логично прибегнуть к следующему методу.

Приближенное значение определенного интеграла, полученное по методу трапеций для n узлов, будем обозначать формула.

Выбираем произвольно число n, например n = 10. Вычисляем по формуле метода трапеций исходный интеграл для n = 10 и для удвоенного числа узлов, то есть, для n = 20. Находим абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений формула. Если она меньше требуемой точности формула, то прекращаем вычисления и в качестве приближенного значения определенного интеграла берем значение формула, предварительно округлив его до требуемого порядка точности. В противном случае удваиваем количество узлов (берем n = 40) и повторяем действия.

Этот способ подразумевает большой объем вычислительной работы, поэтому разумно использовать вычислительную технику.

Разберем этот алгоритм на примере. Промежуточные вычисления метода трапеций будем опускать.

Пример.

Вычислите определенный интеграл формула методом трапеций с точностью до одной тысячной.

Решение.

Возьмем n = 10 и по формуле трапеций получим формула.

Для n = 20 имеем формула. В этом случае формула, поэтому продолжаем процесс.

Для n = 40 получим формула. Получаем формула. Идем дальше.

Для n = 80 имеем формула и формула. Опять удваиваем число узлов.

Для n = 160 имеем формула и формула.

Следовательно, округлив формула до тысячных, получим приближенное значение исходного интеграла формула.

Вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница для сравнения резульатов: формула. (Первообразная была найдена методом интегрирования по частям).

Как видите, требуемая точность достигнута.

Немного о погрешностях.

Теоретически приближенное значение определенного интеграла, вычисленное по методу трапеций, стремиться к истинному значению при формула. Однако следует учитывать тот факт, что промежуточные вычисления в своем большинстве проводятся приближенно, и при больших n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Взглянем на оценки абсолютных погрешностей метода трапеций формула и метода средних прямоугольников формула.

Можно ожидать вдвое меньшую погрешность для заданного n при использовании метода прямоугольников при одинаковом объеме вычислительной работы, то есть, использование этого метода как бы предпочтительнее. Это так и есть, когда известны значения функции в средних точках элементарных отрезков. Но иногда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах. В этом случае мы не сможем применить формулу средних прямоугольников, но сможем воспользоваться методом трапеций.

Методы правых и левых прямоугольников уступают методу трапеций в точности результата для заданного числа разбиений отрезка интегрирования.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+