Метод трапеций.
Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования. Он позволяет вычислять определенные интегралы с заранее заданной степенью точности.
Сначала опишем суть метода трапеций и выведем формулу трапеций. Далее запишем оценку абсолютной погрешности метода и подробно разберем решение характерных примеров. В заключении сравним метод трапеций с методом прямоугольников.
Суть метода трапеций.
Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл 
, где подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b].
Разобьем отрезок [a;b] на n равных интервалов длины h точками 
. В этом случае шаг разбиения находим как 
и узлы определяем из равенства 
.
Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках 
.
Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n):
На каждом отрезке заменим функцию y=f(x) отрезком прямой, проходящей через точки с координатами 
и 
. Изобразим их на рисунке синими линиями:
В качестве приближенного значения интеграла 
возьмем выражение 
, то есть, примем 
.
Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. Это позволит понять, почему рассматриваемый метод численного интегрирования называется методом трапеций.
Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями 
и высотой h, в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями 
и высотой h, взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.
Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций, которая состоит в представлении определенного интеграла в виде суммы интегралов вида на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене .
Формула метода трапеций.
В силу пятого свойства определенного интеграла 
.
Если вместо интегралов подставить их приближенные значения, то получится формула метода трапеций:
Оценка абсолютной погрешности метода трапеций.
Абсолютная погрешность метода трапеций оценивается как
.
Графическая иллюстрация метода трапеций.
Приведем графическую иллюстрацию метода трапеций:
Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом трапеций.
Разберем на примерах применение метода трапеций при приближенном вычислении определенных интегралов.
В основном встречаются две разновидности заданий:
- либо вычислить определенный интеграл методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n,
- либо найти приближенное значение определенного интеграла с требуемой точностью.
Следует заметить, что при заданном n промежуточные вычисления следует проводить с достаточной степенью точности, причем, чем больше n, тем выше должна быть точность вычислений.
Если требуется вычислить определенный интеграл с заданной точностью, к примеру, до 0.01, то промежуточные вычисления рекомендуем проводить на два-три порядка точнее, то есть, до 0.0001 - 0.00001. Если указанная точность достигается при больших n, то промежуточные вычисления следует проводить с еще более высокой точностью.
Для примера возьмем определенный интеграл, значение которого мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы можно было сравнивать этот результат с приближенным значением, полученным по методу трапеций.
Итак, 
.
Пример.
Вычислить определенный интеграл 
методом трапеций для n = 10.
Решение.
Формула метода трапеций имеет вид 
. То есть, для ее применения нам достаточно вычислить шаг h по формуле , определить узлы и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции 
.
Вычислим шаг разбиения: 
.
Определяем узлы и вычисляем значения подынтегральной функции в них (будем брать четыре знака после запятой):
Результаты вычислений для удобства представляем в виде таблицы:
Подставляем их в формулу метода трапеций:
Полученное значение совпадает до сотых со значением, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница.
Пример.
Вычислите определенный интеграл 
методом трапеций с точностью до 0.01.
Решение.
Что мы имеем из условия: a = 1; b = 2; 
.
В этом случае первым делом находим количество точек разбиения отрезка интегрирования, то есть n. Мы это можем сделать, используя неравенство для оценки абсолютной погрешности 
. Таким образом, если мы найдем n, для которых будет выполняться неравенство 
, то формула трапеций при данных n даст нам приближенное значение определенного интеграла с требуемой точностью.
Найдем сначала наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [1; 2].
Вторая производная функции является квадратичной параболой 
, мы знаем из ее свойств, что она положительная и возрастающая на отрезке [1; 2], поэтому 
. Как видите, в нашем примере процесс нахождения 
достаточно прост. В более сложных случаях обращайтесь к разделу наибольшее и наименьшее значение функции. Если же найти очень сложно, то после этого примера мы приведем альтернативный метод действий.
Вернемся к нашему неравенству и подставим в него полученное значение:
Так как n – число натуральное (n - количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно брать n = 6, 7, 8, ... Возьмем n = 6. Это позволит нам достичь требуемой точности метода трапеций при минимуме расчетов (хотя для нашего случая при n = 10 производить вычисления вручную удобнее).
Итак, n найдено, теперь действуем как в предыдущем примере.
Вычисляем шаг: 
.
Находим узлы сетки и значения подынтегральной функции в них:
Занесем в таблицу результаты расчетов:
Подставляем полученные результаты в формулу трапеций:
Вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы сравнить значения: 
Следовательно, требуемая точность достигнута.
Следует отметить, что нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности является не очень простой процедурой, особенно для подынтегральных функций сложного вида. Поэтому логично прибегнуть к следующему методу.
Приближенное значение определенного интеграла, полученное по методу трапеций для n узлов, будем обозначать 
.
Выбираем произвольно число n, например n = 10. Вычисляем по формуле метода трапеций исходный интеграл для n = 10 и для удвоенного числа узлов, то есть, для n = 20. Находим абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений 
. Если она меньше требуемой точности 
, то прекращаем вычисления и в качестве приближенного значения определенного интеграла берем значение 
, предварительно округлив его до требуемого порядка точности. В противном случае удваиваем количество узлов (берем n = 40) и повторяем действия.
Этот способ подразумевает большой объем вычислительной работы, поэтому разумно использовать вычислительную технику.
Разберем этот алгоритм на примере. Промежуточные вычисления метода трапеций будем опускать.
Пример.
Вычислите определенный интеграл 
методом трапеций с точностью до одной тысячной.
Решение.
Возьмем n = 10 и по формуле трапеций получим 
.
Для n = 20 имеем 
. В этом случае 
, поэтому продолжаем процесс.
Для n = 40 получим 
. Получаем 
. Идем дальше.
Для n = 80 имеем 
и 
. Опять удваиваем число узлов.
Для n = 160 имеем 
и 
.
Следовательно, округлив 
до тысячных, получим приближенное значение исходного интеграла 
.
Вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница для сравнения резульатов:
. (Первообразная была найдена методом интегрирования по частям).
Как видите, требуемая точность достигнута.
Немного о погрешностях.
Теоретически приближенное значение определенного интеграла, вычисленное по методу трапеций, стремиться к истинному значению при 
. Однако следует учитывать тот факт, что промежуточные вычисления в своем большинстве проводятся приближенно, и при больших n начинает накапливаться вычислительная погрешность.
Взглянем на оценки абсолютных погрешностей метода трапеций 
и метода средних прямоугольников 
.
Можно ожидать вдвое меньшую погрешность для заданного n при использовании метода прямоугольников при одинаковом объеме вычислительной работы, то есть, использование этого метода как бы предпочтительнее. Это так и есть, когда известны значения функции в средних точках элементарных отрезков. Но иногда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах. В этом случае мы не сможем применить формулу средних прямоугольников, но сможем воспользоваться методом трапеций.
Методы правых и левых прямоугольников уступают методу трапеций в точности результата для заданного числа разбиений отрезка интегрирования.
Некогда разбираться?