Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Метод Симпсона (парабол).


Задача нахождения точного значения определенного интеграла не всегда имеет решение. Действительно, первообразную подынтегральной функции во многих случаях не удается представить в виде элементарной функции. В этом случае мы не можем точно вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Однако есть методы численного интегрирования, позволяющие получить значение определенного интеграла с требуемой степенью точности. Одним из таких методов является метод Симпсона (его еще называют методом парабол).

Сначала выясним смысл метода парабол, дадим графическую иллюстрацию и выведем формулу для вычисления приближенного значения интеграла. Далее запишем неравенство для оценки абсолютной погрешности метода Симпсона (парабол). Следом перейдем к решению характерных примеров, снабдим их подробными комментариями. В заключении сравним метод Симпсона с методом прямоугольников и методом трапеций.


Метод парабол (Симпсона) - суть метода, формула, оценка погрешности, иллюстрация.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и нам требуется вычислить определенный интеграл формула.

Разобьем отрезок [a; b] на n элементарных отрезков формула длины формула точками формула. Пусть точки формула являются серединами отрезков формула соответственно. В этом случае все "узлы" определяются из равенства формула.

Суть метода парабол.

На каждом интервале формула подынтегральная функция приближается квадратичной параболой формула, проходящей через точки формула. Отсюда и название метода - метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла формула взять формула, который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол.

Геометрически это выглядит так:

изображение

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).

Красной линией изображен график функции y=f(x), синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.

изображение

Вывод формулы метода Симпсона (парабол).

В силу пятого свойства определенного интеграла имеем формула.

Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить формула.

Пусть формула (мы всегда можем к этому прийти, проведя соответствующее геометрическое преобразования сдвига для любого i = 1, 2, ..., n).

Сделаем чертеж.

изображение

Покажем, что через точки формула проходит только одна квадратичная парабола формула. Другими словами, докажем, что коэффициенты формула определяются единственным образом.

Так как формула - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы
формула

Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных формула. Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда формула, а он отличен от нуля для несовпадающих точек формула. Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье решение систем линейных алгебраических уравнений), то есть, коэффициенты формула определяются единственным образом, и через точки формула проходит единственная квадратичная парабола.

Перейдем к нахождению интеграла формула.

Очевидно:
формула

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:
формула

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:
формула

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид
формула.

Оценка абсолютной погрешности метода Симпсона.

Абсолютная погрешность метода Симпсона оценивается как формула.

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом Симпсона (парабол).


Разберем применение метода Симпсона (парабол) при приближенном вычислении определенных интегралов.

Обычно встречается два типа заданий:

Возникает логичный вопрос: "С какой степенью точности проводить промежуточные вычисления"?

Ответ прост - точность промежуточных вычислений должна быть достаточной. Промежуточные вычисления следует проводить с точностью на 3-4 порядка выше, чем порядок формула. Также точность промежуточных вычислений зависит от числа n - чем больше n, тем точнее следует проводить промежуточные вычисления.

Пример.

Вычислите определенный интеграл формула методом Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение.

Из условия мы знаем, что a = 0; b = 5; n = 5; формула.

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид формула. Для ее применения нам требуется вычислить шаг формула, определить узлы формула и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции формула.

Промежуточные вычисления будем проводить с точностью до четырех знаков (округлять на пятом знаке).

Итак, вычисляем шаг формула.

Переходим к узлам и значениям функции в них:
формула

Для наглядности и удобства результаты сведем в таблицу:
формула

Подставляем полученные результаты в формулу метода парабол:
формула

Мы специально взяли определенный интеграл, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы сравнить результаты.
формула

Результаты совпадают с точностью до сотых.

Пример.

Вычислите определенный интеграл формула методом Симпсона с точностью до 0.001.

Решение.

В нашем примере a = 0, формула.

Первым делом нам нужно определить n. Для этого обратимся к неравенству для оценки абсолютной погрешности метода Симпсона формула. Можно сказать, что если мы найдем n, для которого будет выполняться неравенство формула, то при использовании метода парабол для вычисления исходного определенного интеграла абсолютная погрешность не превысит 0.001. Последнее неравенство можно переписать в виде формула.

Выясним, какое наибольшее значение принимает модуль четвертой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.
формула

Область значений функции формула есть интервал формула, а отрезок интегрирования формула содержит точки экстремума, поэтому формула.

Подставляем найденное значение в неравенство и решим его:
формула

Так как n является натуральным числом (это же количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно брать n = 5, 6, 7, … Чтобы не делать лишних вычислений, возьмем n = 5.

Теперь действуем как в предыдущем примере. В промежуточных вычислениях округление будем проводить на шестом порядке.

Вычисляем шаг формула.

Находим узлы формула и значения подынтегральной функции в них:
формула

Результаты вычислений объединяем в таблицу:
формула

Подставляем значения в формулу метода парабол:
формула

Таким образом, по методу Симпсона получено приближенное значение определенного интеграла формула с точностью до 0.001.

Действительно, вычислив исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, получаем
формула

Замечание.

Нахождение формула во многих случаях затруднительно. Можно обойтись без этого, применив альтернативный подход к использованию метода парабол. Его принцип описан в разделе метод трапеций, так что не будем повторяться.

Какой же метод применять при численном интегрировании?

Точность метода Симпсона (парабол) выше точности метода прямоугольников и трапеций для заданного n (это видно из оценки абсолютной погрешности), так что его использование предпочтительнее.

Следует помнить о влиянии вычислительной погрешности на результат при больших n, что может отдалить приближенное значение от точного.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+