Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Методы интегрирования.


Задача отыскания первообразной функции не всегда имеет решение, в то время как продифференцировать мы можем любую функцию. Это объясняет отсутствие универсального метода интегрирования.

В этой статье мы рассмотрим на примерах с подробными решениями основные методы нахождения неопределенного интеграла. Также сгруппируем виды подынтегральных функций, характерные для каждого метода интегрирования.


Непосредственное интегрирование.

Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.

Пример.

Найдите множество первообразных функции формула.

Решение.

Запишем функцию в виде формула.

Так как интеграл суммы функций равен сумме интегралов, то
формула

Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:
формула

Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем формула.

Для нахождения второго интеграла формула воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции формула и правилом формула. То есть, формула.

Следовательно,
формула
где формула

Смотрите более детальную информацию в разделе непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Интегрирование методом подстановки.


Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.

Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти неопределенный интеграл формула.

Решение.

Введем новую переменную формула. Выразим х через z:
формула

Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:
формула

Из таблицы первообразных имеем формула.

Осталось вернуться к исходной переменной х:
формула

Ответ:

формула

При интегрировании функций с иррациональностью вида формула, где m, n, p – рациональные числа, важно правильно выбрать выражение для введения новой переменной. Смотрите рекомендации в разделе интегрирование иррациональных функций.

Очень часто метод подстановки используется при интегрировании тригонометрических функций. К примеру, использование универсальной тригонометрической подстановки позволяет преобразовать подынтегральное выражение к дробно рациональному виду.

Метод подстановки позволяет объяснить правило интегрирования формула.

Вводим новую переменную формула, тогда
формула

Подставляем полученные выражения в исходный интеграл:
формула

Если принять формула и вернуться к исходной переменной х, то получим
формула

Подведение под знак дифференциала.

Метод подведения под знак дифференциала основан на приведении подынтегрального выражения к виду формула. Далее применяется метод подстановки: вводится новая переменная формула и после нахождения первообразной для новой переменной, возвращаемся к исходной переменной, то есть
формула

Для удобства, расположите перед глазами таблицу производных в виде дифференциалов, чтобы проще было преобразовывать подынтегральное выражение, а также таблицу первообразных, чтобы видеть к какому виду преобразовывать подынтегральное выражение.

Для примера найдем множество первообразных функции котангенса.

Пример.

Найти неопределенный интеграл формула.

Решение.

Подынтегральное выражение можно преобразовать, используя формулы тригонометрии:
формула

Взглянув в таблицу производных, заключаем, что выражение в числителе можно подвести под знак дифференциала формула, поэтому
формула

То есть формула.

Пусть формула, тогда формула. Из таблицы первообразных видим, что формула. Возвращаемся к исходной переменной формула.

Без пояснения решение записывается так:
формула

Этот метод очень широко используется, так что рекомендуем рассмотреть примеры с решениями в разделе подведение под знак дифференциала.

Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения формула и последующем применении формулы формула. Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата. Для примера найдем множество первообразных функции арктангенс.

Пример.

Вычислить неопределенный интеграл формула.

Решение.

Пусть формула, тогда
формула

Следует отметить, что при нахождении функции v(x) не прибавляют произвольную постоянную С.

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:
формула

Последний интеграл вычислим по методу подведения под знак дифференциала.

Так как формула, то формула. Поэтому формула

Следовательно,
формула
где формула.

Ответ:

формула.

Основные трудности при интегрировании по частям порождает выбор: какую часть подынтегрального выражения брать за функцию u(x), а какую за дифференциал d(v(x)). Однако существует ряд стандартных рекомендаций, с которыми рекомендуем ознакомиться в разделе интегрирование по частям.

Для нахождения множества первообразных дробно рациональных функций подынтегральную функцию сначала раскладывают на сумму простейших дробей, следом интегрируют полученные простейшие дроби. Подробнее об этом поговорим в разделе интегрирование простейших дробей.

При интегрировании степенных выражений, например формула или формула, пользуются рекуррентными формулами, позволяющими понижать степень от шага к шагу. Эти формулы получены последовательным многократным интегрированием по частям. Рекомендуем ознакомиться с разделом интегрирование с использованием рекуррентных формул.

В заключении хочется обобщить весь материал этой статьи. Основой основ является метод непосредственного интегрирования. Методы подстановки, подведения под знак дифференциала и метод интегрирования по частям позволяют привести исходный интеграл к табличным.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+