Методы интегрирования.
Задача отыскания первообразной функции не всегда имеет решение, в то время как продифференцировать мы можем любую функцию. Это объясняет отсутствие универсального метода интегрирования.
В этой статье мы рассмотрим на примерах с подробными решениями основные методы нахождения неопределенного интеграла. Также сгруппируем виды подынтегральных функций, характерные для каждого метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.
Пример.
Найдите множество первообразных функции 
.
Решение.
Запишем функцию в виде 
.
Так как интеграл суммы функций равен сумме интегралов, то
Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:
Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем 
.
Для нахождения второго интеграла 
воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции 
и правилом 
. То есть, 
.
Следовательно,
где 
Смотрите более детальную информацию в разделе непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)
Интегрирование методом подстановки.
Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.
Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.
Пример.
Найти неопределенный интеграл 
.
Решение.
Введем новую переменную 
. Выразим х через z:
Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:
Из таблицы первообразных имеем 
.
Осталось вернуться к исходной переменной х:
Ответ:
При интегрировании функций с иррациональностью вида 
, где m, n, p – рациональные числа, важно правильно выбрать выражение для введения новой переменной. Смотрите рекомендации в разделе интегрирование иррациональных функций.
Очень часто метод подстановки используется при интегрировании тригонометрических функций. К примеру, использование универсальной тригонометрической подстановки позволяет преобразовать подынтегральное выражение к дробно рациональному виду.
Метод подстановки позволяет объяснить правило интегрирования .
Вводим новую переменную 
, тогда
Подставляем полученные выражения в исходный интеграл:
Если принять 
и вернуться к исходной переменной х, то получим
Подведение под знак дифференциала.
Метод подведения под знак дифференциала основан на приведении подынтегрального выражения к виду 
. Далее применяется метод подстановки: вводится новая переменная 
и после нахождения первообразной для новой переменной, возвращаемся к исходной переменной, то есть
Для удобства, расположите перед глазами таблицу производных в виде дифференциалов, чтобы проще было преобразовывать подынтегральное выражение, а также таблицу первообразных, чтобы видеть к какому виду преобразовывать подынтегральное выражение.
Для примера найдем множество первообразных функции котангенса.
Пример.
Найти неопределенный интеграл 
.
Решение.
Подынтегральное выражение можно преобразовать, используя формулы тригонометрии:
Взглянув в таблицу производных, заключаем, что выражение в числителе можно подвести под знак дифференциала 
, поэтому
То есть 
.
Пусть 
, тогда 
. Из таблицы первообразных видим, что 
. Возвращаемся к исходной переменной 
.
Без пояснения решение записывается так:
Этот метод очень широко используется, так что рекомендуем рассмотреть примеры с решениями в разделе подведение под знак дифференциала.
Интегрирование по частям.
Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения 
и последующем применении формулы 
. Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата. Для примера найдем множество первообразных функции арктангенс.
Пример.
Вычислить неопределенный интеграл 
.
Решение.
Пусть 
, тогда
Следует отметить, что при нахождении функции v(x) не прибавляют произвольную постоянную С.
Теперь применяем формулу интегрирования по частям:
Последний интеграл вычислим по методу подведения под знак дифференциала.
Так как 
, то 
. Поэтому 
Следовательно,
где 
.
Ответ:
.
Основные трудности при интегрировании по частям порождает выбор: какую часть подынтегрального выражения брать за функцию u(x), а какую за дифференциал d(v(x)). Однако существует ряд стандартных рекомендаций, с которыми рекомендуем ознакомиться в разделе интегрирование по частям.
Для нахождения множества первообразных дробно рациональных функций подынтегральную функцию сначала раскладывают на сумму простейших дробей, следом интегрируют полученные простейшие дроби. Подробнее об этом поговорим в разделе интегрирование простейших дробей.
При интегрировании степенных выражений, например 
или 
, пользуются рекуррентными формулами, позволяющими понижать степень от шага к шагу. Эти формулы получены последовательным многократным интегрированием по частям. Рекомендуем ознакомиться с разделом интегрирование с использованием рекуррентных формул.
В заключении хочется обобщить весь материал этой статьи. Основой основ является метод непосредственного интегрирования. Методы подстановки, подведения под знак дифференциала и метод интегрирования по частям позволяют привести исходный интеграл к табличным.
Некогда разбираться?