Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.


Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство формула для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство формула. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.


Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается формула.

Выражение формула называют подынтегральным выражением, а f(x)подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

  1. формула
    Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
  2. формула
    Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
  3. формула, где k – произвольная константа.
    Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
  4. формула
    Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
формула

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.


Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти первообразную функции формула, значение которой равно единице при х = 1.

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что формула (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, формула. По второму свойству формула. То есть, имеем множество первообразных формула. При х = 1 получим значение формула. По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1. Искомая первообразная примет вид формула.

Пример.

Найти неопределенный интеграл формула и результат проверить дифференцированием.

Решение.

По формуле синуса двойного угла из тригонометрии формула, поэтому
формула

Из таблицы производных для тригонометрических функций имеем
формула

То есть, формула

По третьему свойству неопределенного интеграла можем записать формула

Обращаясь ко второму свойству, получим формула.

Следовательно, формула

Проверка.

Для проверки результата продифференцируем полученное выражение:
формула

В итоге получили подынтегральную функцию, значит, интегрирование выполнено правильно. В последнем переходе была использована формула синуса двойного угла.

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Но об этом читайте в следующем разделе: таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+