Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Вычисление площади фигуры в полярных координатах.


Эта статья является продолжением темы нахождения площадей плоских фигур.

В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы выяснили, как вычисляется площадь криволинейной трапеции. Далее научились находить площадь фигур, ограниченных линиями y=f(x), x=g(y) в прямоугольной декартовой системе координат.

Сейчас пришло время разобраться с вычислением площади плоских фигур в полярных координатах. Квадрируемость таких фигур мы показали в статье понятие и свойства площади фигуры.

При решении примеров Вам пригодятся навыки построения графиков функций в полярной системе координат, так как все решения будем начинать с изображения фигуры на плоскости.

Краткий обзор статьи.


Полярная система координат и криволинейный сектор.

Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом формула и соответствующим полярным радиусом формула. формула - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а формула - это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).

изображение

На рисунке полюс изображен черной точкой, полярная ось – черным жирным лучом, а красная точка определяется углом формула и расстоянием до полюса формула.

На практике очень часто полярную систему координат рассматривают вместе с прямоугольной декартовой, совмещая начала координат и полярную ось с осью абсцисс.

Связь декартовых и полярных координат задается соотношениями формула и обратно формула.

изображение

На чертеже красная точка имеет координаты формула, а в полярной системе координат определяется углом формула и расстоянием до полюса формула.

В полярной системе координат равенство формула задает луч, выходящий из полюса и составляющий угол формула с полярной осью (формула задается в радианах или градусах). Полярная ось задается уравнением формула. Равенство формула задает окружность с центром в начале координат радиуса C. В свою очередь функция формула определяет некоторую линию в полярных координатах.

Обратите внимание, что мы будем считать функцию формула всегда НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ, так как с геометрической позиции она задает расстояние от полюса до точки для данного значения угла формула. Однако, иногда рассматривают и отрицательные значения функции формула, так что желательно уточнить у преподавателя его отношение к этому вопросу.

Ниже на рисунке приведены несколько примеров линий в полярной системе координат.

изображение

Теперь можно дать определение криволинейного сектора.

Определение.

Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная лучами формула и некоторой линией формула, которая непрерывна на отрезке формула.

На чертеже приведены несколько примеров криволинейных секторов.

изображение

На последнем рисунке фигура заключена между лучами формула, но они не являются ее границами.

Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.


Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора.

Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом формула: формула (формула задается в радианах).

изображение

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами формула, что формула и формула при формула.

изображение

В силу свойств площади фигуры, площадь исходного криволинейного сектора формула представится суммой площадей криволинейных секторов формула на каждом участке разбиения формула.

Пусть формула и формула - наименьшее и наибольшее значение функции формула на i-ом отрезке формула. На каждом таком отрезке построим по два круговых сектора формула и формула с радиусами формула и формула соответственно.

изображение

Обозначим P и Q фигуры, являющиеся объединением круговых секторов формула и формула соответственно.

Их площади будут равны формула и формула, причем формула.

Так как функция формула непрерывна на отрезке формула, то на этом отрезке будет также непрерывна функция формула. Для этой функции S(P) и S(Q) можно рассматривать аналогично нижней и верхней суммам Дарбу, что приводит нас к равенству
формула

Таким образом, площадь криволинейного сектора находится по формуле формула.

Примеры вычисления площади криволинейного сектора.

Разберемся с вычислением площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат, при решении примеров.

Пример.

Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией формула и лучами формула.

Решение.

Функция формула положительна и непрерывна на отрезке формула. Для наглядности изобразим фигуру в полярной системе координат.

изображение

Эта фигура является криволинейным сектором, и мы сразу можем применить соответствующую формулу для нахождения его площади:
формула

Когда заданы два луча формула, ограничивающие фигуру, не приходится думать о пределах интегрирования при вычислении площади. Однако более распространены задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая формула. Как же в этом случае применять формулу формула?

В таких примерах сначала следует решить неравенство формула, откуда становятся видны пределы интегрирования.

Замечание.

Так мы поступаем, если считаем функцию формула неотрицательной, в противном случае ориентируемся только на область определения и период функции.

Разберем на примерах.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой в полярных координатах формула.

Решение.

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство формула:
формула

Построим функцию в полярных координатах на отрезке формула (при k=0). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.

изображение

Применяем формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать формула и формула соответственно для любого целого значения k.
формула

Осталось вычислить полученный определенный интеграл. Справиться с этой задачей нам поможет формула Ньютона-Лейбница. А первообразную для формулы Ньютона-Лейбница найдем, используя рекуррентную формулу вида формула, где формула.
формула

Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна формула.

В полярной системе координат можно задать множество кривых, по форме напоминающих листья клевера или лепестки розы. Лепестки фигур, ограниченных такими кривыми, часто одинаковы. Поэтому, когда стоит задача вычислить площадь такой фигуры, находится площадь одного лепестка и умножается на их количество.

Пример.

Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией формула.

Решение.

Эта функция неотрицательна для любого формула из области определения. Найдем область определения:
формула

Таким образом, период функции формула равен формула, то есть, фигура будет состоять из трех равных областей. Построим ее.

изображение

Вычислим площадь одного лепестка, расположенного на интервале формула (при k=1):
формула

Таким образом, площадь всей фигуры будет равна утроенному значению, то есть, девяти.

Аналогично находятся площади схожих фигур, например, лемнискаты Бернулли.

Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли.

Наиболее известной кривой в полярной системе координат, ограничивающих плоские фигуры, является лемниската Бернулли, которая задается уравнением формула, где a – положительное число, влияющее на размер линии (но не на конфигурацию, схожую с символом бесконечности). Лемниската Бернулли строится при формула.

изображение

Площадь фигуры, границей которой служит лемниската, можно представить как удвоенную площадь одного из лепестков. Используем ранее полученную формулу для вычисления площади:
формула

То есть, площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли, равна квадрату коэффициента а.

Площадь фигуры, границей которой является кардиоида.

Перейдем к вычислению площади фигуры, ограниченной в полярной системе координат кардиоидой, которая задается в полярной системе координат уравнением вида формула, где а – некоторое положительное число.

Функция, задающая кардиоиду, определена для всех действительных значений угла и является периодической с периодом формула. Поэтому, при вычислении площади в качестве нижнего предела интегрирования можно взять любое число, а верхний предел интегрирования взять на формула больше нижнего.

изображение

Вычислим площадь фигуры, которую ограничивает кардиоида формула, для формула:

формула

Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля.

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля. Улитка Паскаля в полярной системе координат задается уравнением формула, где а – некоторое положительное число, b – любое действительное число. При b=2a имеем кардиоиду.

В зависимости от значений параметров а и b улитка Паскаля принимает различный вид. Мы будем рассматривать неотрицательную функцию r.

  1. При b < -2a функция формула отрицательная для любого значения угла формула.
  2. При b = -2a улитка Паскаля изображается одной единственной точкой, совпадающей с началом полярной системы координат.
  3. При -2a < b < 0 функция формула неотрицательна для формула. Фигура, ограниченная линией улитки Паскаля в этом случае имеет вид схожий с
    изображение
  4. При 0 < b < 2a функция формула неотрицательна для формула и ограничивает фигуру, схожую с кардиоидой:
    изображение
  5. При b > 2a функция формула неотрицательная для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже
    изображение

Таким образом, при вычислении площади фигуры, ограниченной улиткой Паскаля, следует обращать внимание на соотношение параметров a и b, чтобы не ошибиться с пределами интегрирования.

Разберем на примерах.

Пример.

Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах уравнениями формула и формула.

Решение.

Улитка Паскаля, определяемая формулой формула, соответствует третьему пункту (смотрите чуть выше по тексту). Функция формула определена для всех значений угла формула. Выясним, при каких формула функция неотрицательна:
формула

Вычисляем площадь фигуры, ограниченной данной улиткой Паскаля:
формула.

Улитка Паскаля, определяемая формулой формула, соответствует пятому пункту. Функция формула определена и положительна для всех действительных значений формула. Поэтому, площадь фигуры в этом случае равна:
формула

Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль.

Для полноты картины рассмотрим нахождение площади фигуры, которую ограничивает спираль Архимеда или логарифмическая спираль.

Пример.

Вычислить в полярных координатах площадь фигур, первая из которых ограниченна первым витком спирали Архимеда формула, а вторая - первым витком логарифмической спирали формула.

Решение.

Что значит фраза: «Фигура ограничена первым витком спирали Архимеда»? Это значит, что угол формула изменяется от нуля до двух пи.

изображение

Применяем формулу для нахождения площади фигуры:

формула

Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:
формула

изображение

Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов.

Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами формула и непрерывными и неотрицательными на интервале формула функциями формула и формула, причем формула для любого угла формула.

изображение

В этом случае площадь фигуры находится по формуле формула.

Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов формула и формула.

изображение

Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:

формула

Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в полярных координатах формула.

Решение.

Построим фигуру.

изображение

Очевидно, что формула больше формула для любого формула. Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:
формула

В заключении рассмотрим пример, когда линии, ограничивающие фигуру, заданы в прямоугольной декартовой системе координат, но площадь удобно вычислять в полярных координатах.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми формула и окружностями формула.

Решение.

изображение

В декартовых координатах площадь этой фигуры вычислять достаточно хлопотно, хотя можно. Подобные примеры мы разбирали в разделе вычисление площади фигур в прямоугольной системе координат. В нашем случае удобнее перейти к полярным координатам, используя формулы перехода, что существенно упрощает задачу.
формула

изображение

Функция формула больше формула для любого формула. Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:
формула

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+