Вычисление площади фигуры в полярных координатах.
Эта статья является продолжением темы нахождения площадей плоских фигур.
В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы выяснили, как вычисляется площадь криволинейной трапеции. Далее научились находить площадь фигур, ограниченных линиями y=f(x), x=g(y) в прямоугольной декартовой системе координат.
Сейчас пришло время разобраться с вычислением площади плоских фигур в полярных координатах. Квадрируемость таких фигур мы показали в статье понятие и свойства площади фигуры.
При решении примеров Вам пригодятся навыки построения графиков функций в полярной системе координат, так как все решения будем начинать с изображения фигуры на плоскости.
Краткий обзор статьи.
- Во-первых, дадим понятие криволинейного сектора и выведем формулу площади криволинейного сектора, опираясь на понятие определенного интеграла Дарбу.
- Во-вторых, подробно разберем решения примеров вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного известными кривыми в полярной системе координат, такими как кардиоида, лемниската Бернулли, спираль Архимеда и т.п.
- В-третьих, на примерах разберемся с нахождением площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов.
Полярная система координат и криволинейный сектор.
Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом 
и соответствующим полярным радиусом 
. - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а 
- это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).
На рисунке полюс изображен черной точкой, полярная ось – черным жирным лучом, а красная точка определяется углом 
и расстоянием до полюса 
.
На практике очень часто полярную систему координат рассматривают вместе с прямоугольной декартовой, совмещая начала координат и полярную ось с осью абсцисс.
Связь декартовых и полярных координат задается соотношениями 
и обратно 
.
На чертеже красная точка имеет координаты 
, а в полярной системе координат определяется углом 
и расстоянием до полюса 
.
В полярной системе координат равенство 
задает луч, выходящий из полюса и составляющий угол 
с полярной осью (
задается в радианах или градусах). Полярная ось задается уравнением 
. Равенство 
задает окружность с центром в начале координат радиуса C. В свою очередь функция 
определяет некоторую линию в полярных координатах.
Обратите внимание, что мы будем считать функцию всегда НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ, так как с геометрической позиции она задает расстояние от полюса до точки для данного значения угла 
. Однако, иногда рассматривают и отрицательные значения функции 
, так что желательно уточнить у преподавателя его отношение к этому вопросу.
Ниже на рисунке приведены несколько примеров линий в полярной системе координат.
Теперь можно дать определение криволинейного сектора.
Определение.
Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная лучами 
и некоторой линией 
, которая непрерывна на отрезке 
.
На чертеже приведены несколько примеров криволинейных секторов.
На последнем рисунке фигура заключена между лучами 
, но они не являются ее границами.
Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.
Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора.
Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом 
: 
( задается в радианах).
Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами 
, что 
и 
при 
.
В силу свойств площади фигуры, площадь исходного криволинейного сектора 
представится суммой площадей криволинейных секторов 
на каждом участке разбиения 
.
Пусть 
и 
- наименьшее и наибольшее значение функции на i-ом отрезке 
. На каждом таком отрезке построим по два круговых сектора 
и 
с радиусами и соответственно.
Обозначим P и Q фигуры, являющиеся объединением круговых секторов 
и 
соответственно.
Их площади будут равны 
и 
, причем 
.
Так как функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке будет также непрерывна функция 
. Для этой функции S(P) и S(Q) можно рассматривать аналогично нижней и верхней суммам Дарбу, что приводит нас к равенству
Таким образом, площадь криволинейного сектора находится по формуле 
.
Примеры вычисления площади криволинейного сектора.
Разберемся с вычислением площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат, при решении примеров.
Пример.
Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией 
и лучами 
.
Решение.
Функция положительна и непрерывна на отрезке 
. Для наглядности изобразим фигуру в полярной системе координат.
Эта фигура является криволинейным сектором, и мы сразу можем применить соответствующую формулу для нахождения его площади:
Когда заданы два луча 
, ограничивающие фигуру, не приходится думать о пределах интегрирования при вычислении площади. Однако более распространены задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая . Как же в этом случае применять формулу 
?
В таких примерах сначала следует решить неравенство 
, откуда становятся видны пределы интегрирования.
Замечание.
Так мы поступаем, если считаем функцию неотрицательной, в противном случае ориентируемся только на область определения и период функции.
Разберем на примерах.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой в полярных координатах 
.
Решение.
Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство 
:
Построим функцию в полярных координатах на отрезке 
(при k=0). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.
Применяем формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать 
и 
соответственно для любого целого значения k.
Осталось вычислить полученный определенный интеграл. Справиться с этой задачей нам поможет формула Ньютона-Лейбница. А первообразную для формулы Ньютона-Лейбница найдем, используя рекуррентную формулу вида 
, где 
.
Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна 
.
В полярной системе координат можно задать множество кривых, по форме напоминающих листья клевера или лепестки розы. Лепестки фигур, ограниченных такими кривыми, часто одинаковы. Поэтому, когда стоит задача вычислить площадь такой фигуры, находится площадь одного лепестка и умножается на их количество.
Пример.
Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией 
.
Решение.
Эта функция неотрицательна для любого 
из области определения. Найдем область определения:
Таким образом, период функции равен 
, то есть, фигура будет состоять из трех равных областей. Построим ее.
Вычислим площадь одного лепестка, расположенного на интервале 
(при k=1):
Таким образом, площадь всей фигуры будет равна утроенному значению, то есть, девяти.
Аналогично находятся площади схожих фигур, например, лемнискаты Бернулли.
Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли.
Наиболее известной кривой в полярной системе координат, ограничивающих плоские фигуры, является лемниската Бернулли, которая задается уравнением 
, где a – положительное число, влияющее на размер линии (но не на конфигурацию, схожую с символом бесконечности). Лемниската Бернулли строится при 
.
Площадь фигуры, границей которой служит лемниската, можно представить как удвоенную площадь одного из лепестков. Используем ранее полученную формулу для вычисления площади:
То есть, площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли, равна квадрату коэффициента а.
Площадь фигуры, границей которой является кардиоида.
Перейдем к вычислению площади фигуры, ограниченной в полярной системе координат кардиоидой, которая задается в полярной системе координат уравнением вида 
, где а – некоторое положительное число.
Функция, задающая кардиоиду, определена для всех действительных значений угла и является периодической с периодом 
. Поэтому, при вычислении площади в качестве нижнего предела интегрирования можно взять любое число, а верхний предел интегрирования взять на больше нижнего.
Вычислим площадь фигуры, которую ограничивает кардиоида , для 
:
Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля.
Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля. Улитка Паскаля в полярной системе координат задается уравнением 
, где а – некоторое положительное число, b – любое действительное число. При b=2a имеем кардиоиду.
В зависимости от значений параметров а и b улитка Паскаля принимает различный вид. Мы будем рассматривать неотрицательную функцию r.
-
При b < -2a функция отрицательная для любого значения угла .
- При b = -2a улитка Паскаля изображается одной единственной точкой, совпадающей с началом полярной системы координат.
-
При -2a < b < 0 функция неотрицательна для
. Фигура, ограниченная линией улитки Паскаля в этом случае имеет вид схожий с
-
При 0 < b < 2a функция неотрицательна для и ограничивает фигуру, схожую с кардиоидой:
-
При b > 2a функция неотрицательная для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже
Таким образом, при вычислении площади фигуры, ограниченной улиткой Паскаля, следует обращать внимание на соотношение параметров a и b, чтобы не ошибиться с пределами интегрирования.
Разберем на примерах.
Пример.
Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах уравнениями 
и 
.
Решение.
Улитка Паскаля, определяемая формулой , соответствует третьему пункту (смотрите чуть выше по тексту). Функция определена для всех значений угла . Выясним, при каких функция неотрицательна:
Вычисляем площадь фигуры, ограниченной данной улиткой Паскаля:
.
Улитка Паскаля, определяемая формулой , соответствует пятому пункту. Функция определена и положительна для всех действительных значений . Поэтому, площадь фигуры в этом случае равна:
Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль.
Для полноты картины рассмотрим нахождение площади фигуры, которую ограничивает спираль Архимеда или логарифмическая спираль.
Пример.
Вычислить в полярных координатах площадь фигур, первая из которых ограниченна первым витком спирали Архимеда 
, а вторая - первым витком логарифмической спирали 
.
Решение.
Что значит фраза: «Фигура ограничена первым витком спирали Архимеда»? Это значит, что угол изменяется от нуля до двух пи.
Применяем формулу для нахождения площади фигуры:
Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:
Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов.
Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами и непрерывными и неотрицательными на интервале 
функциями 
и 
, причем 
для любого угла .
В этом случае площадь фигуры находится по формуле 
.
Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов 
и 
.
Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:
Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в полярных координатах 
.
Решение.
Построим фигуру.
Очевидно, что 
больше 
для любого 
. Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:
В заключении рассмотрим пример, когда линии, ограничивающие фигуру, заданы в прямоугольной декартовой системе координат, но площадь удобно вычислять в полярных координатах.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми 
и окружностями 
.
Решение.
В декартовых координатах площадь этой фигуры вычислять достаточно хлопотно, хотя можно. Подобные примеры мы разбирали в разделе вычисление площади фигур в прямоугольной системе координат. В нашем случае удобнее перейти к полярным координатам, используя формулы перехода, что существенно упрощает задачу.
Функция 
больше 
для любого 
. Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:
Некогда разбираться?