Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y).


В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G. Вот полученные формулы:
формула для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b],
формула для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке [a;b].

Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более сложными фигурами.

В этой статье мы поговорим о вычислении площади фигур, границы которых заданы функциями в явном виде, то есть, как y=f(x) или x=g(y), и подробно разберем решение характерных примеров.


Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

Теорема.

Пусть функции формула и формула определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем формула для любого значения x из [a;b]. Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, формула и формула вычисляется по формуле формула.

Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c, y=d, формула и формула: формула.

Доказательство.

Покажем справедливость формулы для трех случаев:

изображение

В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G и криволинейной трапеции формула равна площади фигуры формула. Следовательно,

изображение

Поэтому, формула. Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Аналогично, во втором случае справедливо равенство формула. Вот графическая иллюстрация:

изображение

В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем формула. Проиллюстрируем это:

изображение

Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции формула и формула пересекают ось Ox.

Обозначим точки пересечения формула. Эти точки разбивают отрезок [a; b] на n частей формула, где формула. Фигуру G можно представить объединением фигур формула. Очевидно, что на своем интервале формула попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как
формула

Следовательно,
формула

Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.

Графическая иллюстрация общего случая.
изображение

Таким образом, формула формула доказана.

Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y).

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).


Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это нам позволит сложную фигуру представить как объединение более простых фигур. При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: основные элементарные функции, их свойства и графики; геометрические преобразования графиков функций и исследование функции и построение графика.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой формула и прямыми формула, x=1, x=4.

Решение.

Построим эти линии на плоскости.

изображение

Всюду на отрезке [1;4] график параболы формула выше прямой формула. Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
формула

Немного усложним пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями формула.

Решение.

В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Ранее у нас всегда были две прямых, параллельных оси абсцисс, а сейчас только одна x=7. Сразу возникает вопрос: где взять второй предел интегрирования? Давайте для этого взглянем на чертеж.

изображение

Стало понятно, что нижним пределом интегрирования при нахождении площади фигуры является абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы формула. Эту абсциссу найдем из равенства:
формула

Следовательно, абсциссой точки пересечения является x=2.

Обратите внимание.

В нашем примере и по чертежу видно, что линии формула и y=x пересекаются в точке (2;2) и предыдущие вычисления кажутся излишними. Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий.

Очевидно, график функции y=x расположен выше графика функции формула на интервале [2;7]. Применяем формулу для вычисления площади:
формула

Еще усложним задание.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций формула и формула.

Решение.

Построим график обратной пропорциональности формула и параболы формула.

изображение

Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения формула и формула.

При отличных от нуля значениях x равенство формула эквивалентно уравнению третьей степени формула с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу решение кубических уравнений чтобы вспомнить алгоритм его решения.

Легко проверить, что x=1 является корнем этого уравнения: формула.

Разделив выражение формула на двучлен x-1, имеем:
формула

Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения формула:
формула

Теперь из чертежа стало видно, что фигура G заключена выше синей и ниже красной линии на интервале формула. Таким образом, искомая площадь будет равна
формула

Рассмотрим еще один характерный пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми формула и осью абсцисс.

Решение.

Сделаем чертеж.

формула - это обычная степенная функция с показателем одна треть, график функции формула можно получить из графика формула отобразив его симметрично относительно оси абсцисс и подняв на единицу вверх.

изображение

Найдем точки пересечения всех линий.

Ось абсцисс имеет уравнение y=0.

Графики функций формула и y=0 пересекаются в точке (0;0) так как x=0 является единственным действительным корнем уравнения формула.

Графики функций формула и y=0 пересекаются в точке (2;0), так как x=2 является единственным корнем уравнения формула.

Графики функций формула и формула пересекаются в точке (1;1), так как x=1 является единственным корнем уравнения формула. Это утверждение не совсем очевидно, но формула - функция строго возрастающая, а формула - строго убывающая, поэтому, уравнение формула имеет не более одного корня.

Как же действовать дальше? Здесь есть несколько вариантов.

  1. Можно фигуру G представить суммой двух криволинейных трапеций. Первая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке формула, вторая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже красной линии на отрезке формула. Следовательно, искомая площадь будет равна формула.
  2. Можно фигуру G представить разностью двух фигур. Первая фигура является криволинейной трапецией и расположена выше оси Ox и ниже синей линии на отрезке формула, вторая фигура расположена выше красной и ниже синей линии на отрезке формула. В этом случае площадь представляем как формула.
  3. А можно фигуру G рассматривать на отрезке формула, заключенной правее синей линии и левее красной. Вот на этом варианте и остановимся.

Единственное замечание: в этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида формула. То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y. Это сделать в нашем случае достаточно легко. Разрешим уравнения формула и формула относительно x:
формула

Таким образом, искомая площадь равна
формула

Мы бы пришли к этому же результату и в двух других случаях.

Можно переходить к последнему примеру.

Пример.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями формула.

Решение.

С построением этих линий проблем возникнуть не должно. На чертеже красной линией изображен график функции формула, синей линией формула, а черной линией формула.

изображение

Определим точки пересечения линий.

Начнем с графиков функций формула и формула:
формула

Найдем точку пересечения графиков функций формула и формула:
формула

Осталось найти точку пересечения прямых формула и формула:
формула

Дальше можно поступить двояко:

  • Площадь искомой фигуры можно представить суммой площадей фигур, изображенных на рисунке

    изображение

    Тогда площадь фигуры равна:
    формула

  • Также можно было площадь исходной фигуры выразить суммой площадей, показанных на чертеже

    изображение

    Для этого случая, перед применением формулы для вычисления площади фигуры, разрешим уравнения линий относительно x:
    формула

    Таким образом, площадь равна:
    формула

Как видите, значения совпадают.

Подведем итог.

Мы разобрали все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями. Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие навыков вычисления определенных интегралов.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+