Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y).
В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G. Вот полученные формулы:
для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b],
для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке [a;b].
Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более сложными фигурами.
В этой статье мы поговорим о вычислении площади фигур, границы которых заданы функциями в явном виде, то есть, как y=f(x) или x=g(y), и подробно разберем решение характерных примеров.
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).
Теорема.
Пусть функции 
и 
определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем 
для любого значения x из [a;b]. Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, и вычисляется по формуле 
.
Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c, y=d, 
и 
: 
.
Доказательство.
Покажем справедливость формулы для трех случаев:
В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G и криволинейной трапеции 
равна площади фигуры 
. Следовательно,
Поэтому, 
. Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.
Аналогично, во втором случае справедливо равенство 
. Вот графическая иллюстрация:
В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем 
. Проиллюстрируем это:
Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции и пересекают ось Ox.
Обозначим точки пересечения 
. Эти точки разбивают отрезок [a; b] на n частей 
, где 
. Фигуру G можно представить объединением фигур 
. Очевидно, что на своем интервале 
попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как
Следовательно,
Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.
Таким образом, формула доказана.
Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y).
Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).
Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это нам позволит сложную фигуру представить как объединение более простых фигур. При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: основные элементарные функции, их свойства и графики; геометрические преобразования графиков функций и исследование функции и построение графика.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
и прямыми 
, x=1, x=4.
Решение.
Построим эти линии на плоскости.
Всюду на отрезке [1;4] график параболы выше прямой . Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
Немного усложним пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
Решение.
В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Ранее у нас всегда были две прямых, параллельных оси абсцисс, а сейчас только одна x=7. Сразу возникает вопрос: где взять второй предел интегрирования? Давайте для этого взглянем на чертеж.
Стало понятно, что нижним пределом интегрирования при нахождении площади фигуры является абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы 
. Эту абсциссу найдем из равенства:
Следовательно, абсциссой точки пересечения является x=2.
Обратите внимание.
В нашем примере и по чертежу видно, что линии и y=x пересекаются в точке (2;2) и предыдущие вычисления кажутся излишними. Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий.
Очевидно, график функции y=x расположен выше графика функции на интервале [2;7]. Применяем формулу для вычисления площади:
Еще усложним задание.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
и 
.
Решение.
Построим график обратной пропорциональности и параболы .
Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения 
и 
.
При отличных от нуля значениях x равенство 
эквивалентно уравнению третьей степени 
с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу решение кубических уравнений чтобы вспомнить алгоритм его решения.
Легко проверить, что x=1 является корнем этого уравнения: 
.
Разделив выражение 
на двучлен x-1, имеем:
Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения 
:
Теперь из чертежа стало видно, что фигура G заключена выше синей и ниже красной линии на интервале 
. Таким образом, искомая площадь будет равна
Рассмотрим еще один характерный пример.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 
и осью абсцисс.
Решение.
Сделаем чертеж.
- это обычная степенная функция с показателем одна треть, график функции 
можно получить из графика 
отобразив его симметрично относительно оси абсцисс и подняв на единицу вверх.
Найдем точки пересечения всех линий.
Ось абсцисс имеет уравнение y=0.
Графики функций и y=0 пересекаются в точке (0;0) так как x=0 является единственным действительным корнем уравнения 
.
Графики функций и y=0 пересекаются в точке (2;0), так как x=2 является единственным корнем уравнения 
.
Графики функций и пересекаются в точке (1;1), так как x=1 является единственным корнем уравнения 
. Это утверждение не совсем очевидно, но 
- функция строго возрастающая, а - строго убывающая, поэтому, уравнение имеет не более одного корня.
Как же действовать дальше? Здесь есть несколько вариантов.
-
Можно фигуру G представить суммой двух криволинейных трапеций. Первая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке
, вторая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже красной линии на отрезке 
. Следовательно, искомая площадь будет равна 
.
-
Можно фигуру G представить разностью двух фигур. Первая фигура является криволинейной трапецией и расположена выше оси Ox и ниже синей линии на отрезке
, вторая фигура расположена выше красной и ниже синей линии на отрезке . В этом случае площадь представляем как 
.
-
А можно фигуру G рассматривать на отрезке
, заключенной правее синей линии и левее красной. Вот на этом варианте и остановимся.
Единственное замечание: в этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида 
. То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y. Это сделать в нашем случае достаточно легко. Разрешим уравнения и относительно x:
Таким образом, искомая площадь равна
Мы бы пришли к этому же результату и в двух других случаях.
Можно переходить к последнему примеру.
Пример.
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
.
Решение.
С построением этих линий проблем возникнуть не должно. На чертеже красной линией изображен график функции 
, синей линией 
, а черной линией 
.
Определим точки пересечения линий.
Начнем с графиков функций и :
Найдем точку пересечения графиков функций и :
Осталось найти точку пересечения прямых и :
Дальше можно поступить двояко:
-
Площадь искомой фигуры можно представить суммой площадей фигур, изображенных на рисунке
Тогда площадь фигуры равна:
-
Также можно было площадь исходной фигуры выразить суммой площадей, показанных на чертеже
Для этого случая, перед применением формулы для вычисления площади фигуры, разрешим уравнения линий относительно x:
Таким образом, площадь равна:
Как видите, значения совпадают.
Подведем итог.
Мы разобрали все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями. Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие навыков вычисления определенных интегралов.
Некогда разбираться?