Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры.


Так уж сложилось, что мы воспринимаем понятие площади как нечто привычное, естественное и данное изначально. Постоянно приходится слышать про площади различных объектов, будь то любимый дачный участок, складское помещение, квартира или дом. При этом очень часто на вопрос «что же такое площадь» не сразу находится ответ.

В этой статье дадим определение квадрируемой области, озвучим понятие площади фигуры и свойства площади. В заключении остановимся на математическом описании квадрируемых фигур и приведем несколько примеров.


Понятие площади, свойства площади.

Вычисление площади основывается на следующих основных свойствах площади:

За единицу измерения площади примем площадь элементарного квадрата со стороной r.

Рассмотрим ограниченную фигуру G в прямоугольной декартовой системе координат, ее площадь обозначим S(G). Построим прямые, параллельные оси абсцисс и оси ординат на расстоянии r друг от друга. Эти прямые образуют сетку и разбивают плоскость xOy на элементарные квадраты. Обозначим формула – фигуру, состоящую из элементарных квадратов, полностью лежащих внутри G и не касающихся ее границы (красная заштрихованная область на рисунке), а формула - фигуру, состоящую из элементарных квадратов, которые имеют с границей G хотя бы одну общую точку (синяя заштрихованная область на рисунке), а формула - фигуру, являющуюся объединением формула и формула (объединение заштрихованных синей и красной областей). Обозначим площади фигур формула и формула соответственно формула и формула, они равны количеству составляющих их элементарных квадратов.

изображение

Если бесконечно уменьшать длину стороны элементарного квадрата r (делать сетку гуще), то получим множество значений площадей формула и формула.

изображение

Множество формула ограничено сверху, следовательно, имеет точную верхнюю грань формула, назовем ее внутренней площадью фигуры G. Множество формула ограничено снизу, следовательно, имеет точную нижнюю грань формула, назовем ее внешней площадью фигуры G.

Фигуру G, у которой внешняя площадь равна внутренней, называют квадрируемой и число формула есть площадь этой фигуры.

Равенство формула означает, что площадь квадрируемой фигуры есть единственное число, обладающее этим свойством.

Площадью границы фигуры G называют предел последовательности значений площади формула при формула. Для квадрируемой фигуры G площадь границы равна нулю.

Следует заметить, что понятие квадрируемости можно ввести и иначе, например, если рассматривать вписанные и описанные многоугольные фигуры (многоугольной фигурой называют фигуру, которую можно составить из конечного числа треугольников без общих внутренних точек).

Фигура G называется квадрируемой, если для любого сколь угодно малого положительного числа формула существуют такие входящая и объемлющая многоугольные фигуры P и Q, что формула и формула.

В качестве примера можно привести круг с вписанными и описанными правильными формула-угольниками, где n – натуральное число.

Квадрируемые фигуры.


Сейчас выясним как же выглядят и как задаются квадрируемые фигуры. Другими словами, площадь каких фигур нам предстоит находить.

Сразу скажем, что фигуры, с которыми мы обычно встречаемся в геометрии (круг, эллипс, квадрат и т.п.), являются квадрируемыми.

Отметим, что любая квадрируемая фигура ограничена. То есть, мы не будем говорить о площади неограниченных фигур.

Объединение и пересечение, а также разность квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура.

Сейчас перечислим виды квадрируемых фигур, с которыми мы будем наиболее часто встречаться при вычислении площадей.

Подведем итог.

Площадь – это единственная функция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладающая свойствами положительности, аддитивности, инвариантности и нормированности.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+