Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры.
Так уж сложилось, что мы воспринимаем понятие площади как нечто привычное, естественное и данное изначально. Постоянно приходится слышать про площади различных объектов, будь то любимый дачный участок, складское помещение, квартира или дом. При этом очень часто на вопрос «что же такое площадь» не сразу находится ответ.
В этой статье дадим определение квадрируемой области, озвучим понятие площади фигуры и свойства площади. В заключении остановимся на математическом описании квадрируемых фигур и приведем несколько примеров.
Понятие площади, свойства площади.
Вычисление площади основывается на следующих основных свойствах площади:
- Положительность. Площадь есть неотрицательное число.
- Аддитивность. Площадь замкнутой области, составленных из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур.
- Инвариантность. Площади равных фигур одинаковы.
- Нормированность. Площадь квадрата, построенного на единичном отрезке, равна единице.
За единицу измерения площади примем площадь элементарного квадрата со стороной r.
Рассмотрим ограниченную фигуру G в прямоугольной декартовой системе координат, ее площадь обозначим S(G). Построим прямые, параллельные оси абсцисс и оси ординат на расстоянии r друг от друга. Эти прямые образуют сетку и разбивают плоскость xOy на элементарные квадраты. Обозначим 
– фигуру, состоящую из элементарных квадратов, полностью лежащих внутри G и не касающихся ее границы (красная заштрихованная область на рисунке), а 
- фигуру, состоящую из элементарных квадратов, которые имеют с границей G хотя бы одну общую точку (синяя заштрихованная область на рисунке), а 
- фигуру, являющуюся объединением и (объединение заштрихованных синей и красной областей). Обозначим площади фигур и 
соответственно 
и 
, они равны количеству составляющих их элементарных квадратов.
Если бесконечно уменьшать длину стороны элементарного квадрата r (делать сетку гуще), то получим множество значений площадей 
и 
.
Множество ограничено сверху, следовательно, имеет точную верхнюю грань 
, назовем ее внутренней площадью фигуры G. Множество ограничено снизу, следовательно, имеет точную нижнюю грань 
, назовем ее внешней площадью фигуры G.
Фигуру G, у которой внешняя площадь равна внутренней, называют квадрируемой и число 
есть площадь этой фигуры.
Равенство означает, что площадь квадрируемой фигуры есть единственное число, обладающее этим свойством.
Площадью границы фигуры G называют предел последовательности значений площади 
при 
. Для квадрируемой фигуры G площадь границы равна нулю.
Следует заметить, что понятие квадрируемости можно ввести и иначе, например, если рассматривать вписанные и описанные многоугольные фигуры (многоугольной фигурой называют фигуру, которую можно составить из конечного числа треугольников без общих внутренних точек).
Фигура G называется квадрируемой, если для любого сколь угодно малого положительного числа 
существуют такие входящая и объемлющая многоугольные фигуры P и Q, что 
и 
.
В качестве примера можно привести круг с вписанными и описанными правильными 
-угольниками, где n – натуральное число.
Квадрируемые фигуры.
Сейчас выясним как же выглядят и как задаются квадрируемые фигуры. Другими словами, площадь каких фигур нам предстоит находить.
Сразу скажем, что фигуры, с которыми мы обычно встречаемся в геометрии (круг, эллипс, квадрат и т.п.), являются квадрируемыми.
Отметим, что любая квадрируемая фигура ограничена. То есть, мы не будем говорить о площади неограниченных фигур.
Объединение и пересечение, а также разность квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура.
Сейчас перечислим виды квадрируемых фигур, с которыми мы будем наиболее часто встречаться при вычислении площадей.
-
Фигура квадрируема, если она ограничена непрерывными линиями, являющимися частями графиков функций y = f(x) и x = g(y). Ниже приведены примеры таких фигур. На первом рисунке область сверху ограничена параболой
, снизу кривой 
, справа и слева прямыми x = 1 и x = 9. На втором рисунке в качестве границ области выступают линии 
.
Примеры вычисления площадей таких фигур Вы можете посмотреть в статье нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y).
-
Фигура квадрируема, если она ограничена гладкими кривыми. То есть, часть границы может быть задана параметрически
. Функции 
и 
непрерывны вместе со своими производными на некотором интервале 
и не имеют самопересечений, что равносильно условию 
для любого 
. В качестве примера можно привести фигуру, ограниченную осями координат и частю астроиды 
для 
.
Нахождению площадей таких квадрируемых фигур посвящена статья вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.
-
Фигура квадрируема, если она ограничена простыми замкнутыми кривыми, начало которых совпадает с концом (наиболее часто задаются в полярной системе координат). Для примера приведем один лепесток фигуры
.
Можете ознакомиться с материалом статьи вычисление площади фигуры в полярных координатах.
Подведем итог.
Площадь – это единственная функция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладающая свойствами положительности, аддитивности, инвариантности и нормированности.
Некогда разбираться?