Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Геометрический смысл определенного интеграла. Выражение площади криволинейной трапеции интегралом.


Вычисление площади фигуры является одной из наиболее не простых проблем теории площадей. В школьном курсе геометрии мы научились находить площади основных геометрических фигур, например, круга, треугольника, ромба и т.п. Однако намного чаще приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. При решении подобных задач приходится прибегать к интегральному исчислению.

В этой статье мы рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, причем подойдем к ней в геометрическом смысле. Это позволит нам выяснить прямую связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции.


Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и не меняет знак на нем (то есть, неотрицательная или неположительная). Фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), y = 0, x = a и x = b, называют криволинейной трапецией. Обозначим ее площадь S(G).

изображение

Подойдем к задаче вычисления площади криволинейной трапеции следующим образом. В разделе квадрируемые фигуры мы выяснили, что криволинейная трапеция является квадрируемой фигурой. Если разбить отрезок [a; b] на n частей формула точками формула и обозначить формула, а точки формула выбирать так, чтобы формула при формула, то фигуры, соответствующие нижней и верхней суммам Дарбу, можно считать входящей P и объемлющей Q многоугольными фигурами для G.

изображение

Таким образом, формула и при увеличении количества точек разбиения n, мы придем к неравенству формула, где формула - сколь угодно малое положительное число, а s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу для данного разбиения отрезка [a; b]. В другой записи формула. Следовательно, обратившись к понятию определенного интеграла Дарбу, получаем формула.

Последнее равенство означает, что определенный интеграл формула для непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

То есть, вычислив определенный интеграл формула, мы найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = f(x), y = 0, x = a и x = b.

Замечание.

Если функция y = f(x) неположительная на отрезке [a; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена как формула.


Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями формула.

Решение.

Построим фигуру на плоскости: прямая y = 0 совпадает с осью абсцисс, прямые x = -2 и x = 3 параллельны оси ординат, а кривая формула может быть построена с помощью геометрических преобразований графика функции формула.

изображение

Таким образом, нам требуется найти площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла нам указывает на то, что искомая площадь выражается определенным интегралом. Следовательно, формула. Этот определенный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:
формула

Замечание.

При нахождении площадей криволинейных трапеций совсем не обязательно сначала строить эту фигуру. Если Вы знаете, что функция y = f(x) неотрицательная на отрезке [a; b] (как в нашем примере) или неположительная, то можно сразу применять формулы формула или формула.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями формула.

Решение.

Построим эту фигуру. Прямая y = 0 совпадает с осью Ox, прямые x = -2 и x = 4 параллельны оси Oy, а графиком функции формула является парабола с вершиной в точке (-1; -3) ветви которой направлены вверх. Найдем точки пересечения этой параболы с осью абсцисс:
формула

Следовательно, эта парабола пересекает ось абсцисс в точках (-4; 0) и (2; 0).

Таким образом, наша фигура G имеет следующий вид.

изображение

Эта фигура не является криволинейной трапецией, так как функция формула меняет знак на отрезке [-2; 4].

Как же быть в этом случае? Очень просто. Фигуру G можно представить в виде объединения двух криволинейных трапеций формула и по свойству аддитивности площади формула.

изображение

На отрезке [2; 4] график параболы находится в неотрицательной области, поэтому формула. На отрезке [-2; 2] функция формула неположительная, следовательно, в силу замечания к геометрическому смыслу определенного интеграла, имеем формула. Осталось вычислить определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница:
формула

Обратите внимание на то, что нельзя находить площадь этой фигуры как формула.

В нашем примере полученное таким образом значение представляет собой разность формула.

Фигуры, ограниченные линиями y = c, y = d, x = 0 и x = g(y), где функция x = g(y) непрерывна и не меняет знак на отрезке [c; d], также являются криволинейными трапециями.

изображение

Геометрический смысл определенного интеграла формула состоит в том, что его значение равно площади криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции x=g(y) на отрезке [c;d]. Также справедливо формула для непрерывной и неположительной функции x=g(y) на отрезке [c;d].

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат и линиями формула.

Решение.

Построить график функции формула не очень легко. Попробуем обойтись без этого. Эта функция определена для всех положительных значений аргумента y. Оценим значения функции на отрезке [1; 4]. Из свойств основных элементарных функций мы знаем, что функция натурального логарифма является возрастающей на всей своей области определения. Более того, на отрезке [1; 4] она неотрицательна, то есть, формула. Выражение формула на отрезке [1; 4] также будет неотрицательным, так как знаменатель является положительным числом на этом отрезке. Из этого можно заключить, что функция формула является положительной на интервале [1; 4]. Поэтому фигура в этом примере является криволинейной трапецией, и ее площадь мы будем искать как формула.

Осталось вычислить определенный интеграл, для чего найдем одну из первообразных функции формула и применим формулу Ньютона-Лейбница:
формула

Для наглядности все же приведем чертеж.

изображение

Подведем итог.

Мы выяснили геометрический смысл определенного интеграла и обнаружили его связь с площадью криволинейной трапеции. Таким образом, мы получили возможность находить площади и более сложных фигур, которые можно представить объединением криволинейных трапеций. В разделе нахождение площади фигуры, ограниченной линиями вида y=f(x), x=g(y) рассмотрены более общие и сложные примеры.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+