Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Свойства определенного интеграла.


В этой статье мы перечислим основные свойства определенного интеграла. Большинство этих свойств доказываются на основе понятий определенного интеграла Римана и Дарбу.

Вычисление определенного интеграла очень часто проводится с использованием первых пяти свойств, так что мы будем при надобности на них ссылаться. Остальные свойства определенного интеграла, в основном, применяются для оценки различных выражений.


Прежде чем перейти к основным свойствам определенного интеграла, условимся, что a не превосходит b.

  1. Для функции y = f(x), определенной при x = a, справедливо равенство формула.

    То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Это свойство является следствием определения интеграла Римана, так как в этом случае каждая интегральная сумма формула для любого разбиения промежутка [a; a] и любого выбора точек формула равна нулю, так как формула, следовательно, пределом интегральных сумм является ноль.

  2. Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется формула.

    Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное. Это свойство определенного интеграла также следует из понятия интеграла Римана, только нумерацию разбиения отрезка следует начинать с точки x = b.

  3. формула для интегрируемых на отрезке [a; b] функций y = f(x) и y = g(x).

    Доказательство.

    Запишем интегральную сумму функции формула для данного разбиения отрезка и данного выбора точек формула:
    формула
    где формула и формула - интегральные суммы функций y = f(x) и y = g(x) для данного разбиения отрезка соответственно.

    Переходя к пределу при формула получим формула, что по определению интеграла Римана равносильно утверждению доказываемого свойства.

  4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке [a; b] функции y = f(x) и произвольного числа k справедливо равенство формула.

    Доказательство этого свойства определенного интеграла абсолютно схоже с предыдущим:
    формула

  5. Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X, причем формула и формула, тогда формула.

    Это свойство справедливо как для формула, так и для формула или формула.

    Доказательство можно провести, опираясь на предыдущие свойства определенного интеграла.

  6. Если функция интегрируема на отрезке [a; b], то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке формула.

    Доказательство основано на свойстве сумм Дарбу: если к имеющемуся разбиению отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя – не увеличиться.

  7. Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b] и формула для любого значения аргумента формула, то формула.

    Это свойство доказывается через определение интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек формула при формула будет неотрицательной (не положительной).

    Следствие.

    Для интегрируемых на отрезке [a; b] функций y = f(x) и y = g(x) справедливы неравенства:
    формула

    Это утверждение означает, что допустимо интегрирование неравенств. Этим следствием мы будем пользоваться при доказательстве следующих свойств.

  8. Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], тогда справедливо неравенство формула.

    Доказательство.

    Очевидно, что формула. В предыдущем свойстве мы выяснили, что неравенство можно почленно интегрировать, поэтому, справедливо формула. Это двойное неравенство можно записать как формула.

  9. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] и формула для любого значения аргумента формула, тогда формула, где формула и формула.

    Доказательство проводится аналогично. Так как m и M – наименьшее и наибольшее значение функции y = f(x) на отрезке [a; b], то формула. Домножение двойного неравенства на неотрицательную функцию y = g(x) приводит нас к следующему двойному неравенству формула. Интегрируя его на отрезке [a; b], придем к доказываемому утверждению.

    Следствие.

    Если взять g(x) = 1, то неравенство примет вид формула.

  10. Первая формула среднего значения.

    Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], формула и формула, тогда существует такое число формула, что формула.

    Следствие.

    Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое число формула, что формула.

    Первая формула среднего значения в обобщенной форме.

    Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b], формула и формула, а g(x) > 0 для любого значения аргумента формула. Тогда существует такое число формула, что формула.

  11. Вторая формула среднего значения.

    Если на отрезке [a; b] функция y = f(x) интегрируема, а y = g(x) монотонна, то существует такое число формула, что справедливо равенство формула.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+