Определенный интеграл Римана, Дарбу, Ньютона-Лейбница, виды интегрируемых функций.
В школе к понятию определенного интеграла нас подводили рассмотрением задачи о вычислении площади криволинейной трапеции. Рассматривалась непрерывная неотрицательная функция y = f(x) на отрезке [a; b], этот отрезок разбивался на n равных частей точками 
, и соответствующая площадь криволинейной трапеции приближенно представлялась суммой площадей элементарных прямоугольников
Далее делалось предположение, что значение этого выражения стремиться к некоторому числу 
при бесконечном увеличении количества точек разбиения отрезка [a; b]. В итоге это предположение обобщали для любой непрерывной на отрезке функции y = f(x) (не обязательно неотрицательной) и число назвали определенным интегралом. Можно сказать, что к понятию определенного интеграла в школе мы подходили в геометрическом смысле.
В этой статье мы сначала рассмотрим определения определенного интеграла, данные Риманом и Дарбу, также покажем, что подразумевается под определенным интегралом в смысле Ньютона-Лейбница. После этого озвучим необходимое условие интегрируемости функции на отрезке и перечислим виды интегрируемых функций.
Определенный интеграл Римана.
Рассмотрим функцию y = f(x), которая определена на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n частей 
точками .
Обозначим 
, а точки 
будем выбирать так, чтобы 
при 
. Внутри каждого отрезка 
выберем точку 
.
При озвученных условиях существует множество способов выбора точек и 
.
Интегральной суммой функции y = f(x) для данного разбиения отрезка [a; b] и данного выбора точек называют выражение
Для конкретного разбиения отрезка [a; b] и выбора точек мы получим свою интегральную сумму. То есть, мы имеем множество интегральных сумм для различных вариантов выбора и .
Число называется пределом интегральных сумм 
при , если для любого сколь угодно малого положительного ипсилон 
существует такое сколь угодно малое положительное, зависящее от ипсилон, дельта 
, что как только 
, то при любом выборе точек справедливо неравенство 
.
Функция y = f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], если существует конечный предел ее интегральных сумм при . Значение предела есть определенный интеграл Римана.
Принято следующее обозначение интеграла Римана: 
. Тогда по определению определенного интеграла Римана имеем 
.
Числа a и b называются нижним и верхним пределом интегрирования соответственно, f(x) называется подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования.
Значение определенного интеграла Римана не зависит от переменной интегрирования, то есть, 
.
Определенный интеграл Дарбу.
Для понимания необходимого и достаточного условия существования определенного интеграла Дарбу нам потребуется несколько дополнительных определений.
Рассмотрим ограниченную на отрезке [a; b] функцию y = f(x). Вновь разобьем отрезок [a; b] на n частей точками при прежнем условии при . Пусть 
и 
- точная нижняя и точная верхняя грань множества значений функции y = f(x) на i-ом отрезке, 
. Для непрерывной и ограниченной функции 
.
Выражения вида
и
для данного разбиения отрезка [a; b] называют нижней и верхней суммами Дарбу соответственно.
Очевидно, что для фиксированного разбиения отрезка [a; b] справедливо двойное неравенство 
. Другими словами, s и S – точная нижняя и точная верхняя грань множества интегральных сумм соответственно.
Для интегрируемости ограниченной на отрезке [a; b] функции y = f(x) необходимо и достаточно, чтобы предел разности верхней и нижней сумм Дарбу был равен нулю при , то есть, чтобы выполнялось условие 
. Это условие есть необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла Дарбу, а определенный интеграл, рассмотренный в смысле озвученного условия, называют определенным интегралом Дарбу.
Определенный интеграл Дарбу обозначают также, как и интеграл Римана, то есть, .
Определенный интеграл Ньютона-Лейбница.
Сейчас покажем, как дается понятие определенного интеграла Ньютона-Лейбница.
Пусть функция y=f(x) имеет первообразную F(x) на отрезке [a; b], причем значение первообразной в точке x=a равно нулю: F(a)=0. Определенным интегралом Ньютона-Лейбница называется значение этой первообразной в точке b, то есть, 
при F(a)=0.
Это определение тесно связано с формулой Ньютона-Лейбница 
. В формуле Ньютона-Лейбница F(x) – любая первообразная из их множества, а в понятии определенного интеграла Ньютона-Лейбница фигурирует именно та первообразная, которая обращается в ноль при x=a.
Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке, виды интегрируемых функций.
Сформулируем необходимое условие существования определенного интеграла функции на отрезке.
Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на нем.
Немного поясним. Это условие является необходимым, но не является достаточным. Что это значит? Если функция ограничена на отрезке, то не обязательно она интегрируема на нем. Но, если функция не ограничена на отрезке, тогда она не интегрируема на нем. Это условие используется для проверки возможности интегрирования функции на отрезке, то есть, проверяется ограниченность функции.
Перечислим виды функций, для которых существует определенный интеграл.
- Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на нем.
-
Если функция ограничена на отрезке [a; b] и непрерывна во всех точках, кроме конечного их числа, то она интегрируема на [a; b]. На рисунке ниже приведен пример такой интегрируемой функции.
Подведем итог.
Определенный интеграл Римана задается через предел интегральных сумм, интеграл Дарбу – через предел разности верхних и нижних сумм Дарбу, а интеграл Ньютона-Лейбница – через значение первообразной.
Следует отметить, что если интеграл Римана и интеграл Ньютона-Лейбница одновременно существуют для функции y = f(x) на отрезке [a; b], то их значения равны. Определенный интеграл Римана и интеграл Дарбу для ограниченной функции одновременно существуют или не существуют.
Некогда разбираться?