Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.


В большинстве прикладных задач вычислять точное значение определенного интеграла не целесообразно, более того, это далеко не всегда возможно. Часто нам бывает достаточно знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, например, с точностью до одной тысячной.

Для нахождения приближенного значения определенного интеграла с требуемой точностью применяют численное интегрирование, к примеру, метод Симпсона (метод парабол), метод трапеций или метод прямоугольников. Однако, в некоторых случаях можно вычислить определенный интеграл точно.

В этой статье мы остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем подробное решение характерных примеров. Также на примерах разберемся с заменой переменной в определенном интеграле и с нахождением значения определенного интеграла при интегрировании по частям.


Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: формула.

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента формула интеграл вида формула является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию формула, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство формула.

Действительно, запишем приращение функции формула, соответствующее приращению аргумента формула и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:
формула
где формула.

Перепишем это равенство в виде формула. Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при формула, то получим формула. То есть, формула - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как формула, где С – произвольная постоянная.

Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла: формула, следовательно, формула. Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b): формула, то есть формула. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница формула.

Приращение функции принято обозначать как формула. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид формула.

Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла формула по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция формула непрерывна на отрезке [1;3], следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции формула множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для формула) записывается как формула. Возьмем первообразную при C = 0: формула.

Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: формула.

Пример.

По формуле Ньютона-Лейбница вычислите определенный интеграл формула.

Решение.

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [-1;2], поэтому, интегрируема на нем.

Найдем неопределенный интеграл формула методом подведения под знак дифференциала: формула. Так мы получили множество всех первообразных функции формула для всех действительных x, следовательно, и для формула.

Возьмем первообразную при С=0 и применим формулу Ньютона-Лейбница:
формула

Пример.

Вычислить определенные интегралы формула.

Решение.

На отрезке формула подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема.

Найдем множество первообразных функции формула: формула.

Возьмем первообразную формула и по формуле Ньютона-Лейбница вычислим требуемый определенный интеграл:
формула

Переходим ко второму определенному интегралу.

На отрезке [-1;1] подынтегральная функция не ограничена, так как формула, то есть, не выполняется необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Более того, формула не является первообразной функции формула на отрезке [-1;1], поскольку точка 0, принадлежащая отрезку, не входит в область определения функции. Следовательно, не существует определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции формула на отрезке [-1;1].

Итак, перед применением формулы Ньютона-Лейбница обязательно нужно убедиться, что указанный определенный интеграл существует.

Замена переменной в определенном интеграле.


Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z), которая определена на интервале формула и имеет на нем непрерывную производную, причем формула и формула, тогда формула.

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл формула, причем неопределенный интеграл формула мы бы искали методом подстановки.

Разберем на примере для ясности.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла формула.

Решение.

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, следовательно, определенный интеграл существует.

Обозначим формула. При x=9 имеем формула, а при x=18 имеем формула, то есть, формула. Подставляем полученные результаты в формулу формула:

формула

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что одной из первообразных функции формула является функция формула, поэтому, по формуле Ньютона-Лейбница имеем

формула

Можно было обойтись и без формулы формула.

Если методом замены переменной взять неопределенный интеграл формула, то мы придем к результату формула.

Таким образом, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определенный интеграл:

формула

Как видите, результаты совпадают.

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x) вместе со своими производными первого порядка и функция формула – интегрируема, тогда на этом отрезке интегрируема функция формула и справедливо равенство формула.

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл формула, причем неопределенный интеграл формула мы бы искали интегрированием по частям.

Пример.

Вычислить определенный интеграл формула.

Решение.

Функция формула является интегрируемой на отрезке формула в силу своей непрерывности.

Пусть u(x) = x, а формула, тогда формула, а формула. По формуле формула получаем
формула

Этот пример можно решить и по-другому.

Находим множество первообразных функции формула интегрированием по частям и применяем формулу Ньютона-Лейбница:
формула

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+