Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
В большинстве прикладных задач вычислять точное значение определенного интеграла не целесообразно, более того, это далеко не всегда возможно. Часто нам бывает достаточно знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, например, с точностью до одной тысячной.
Для нахождения приближенного значения определенного интеграла с требуемой точностью применяют численное интегрирование, к примеру, метод Симпсона (метод парабол), метод трапеций или метод прямоугольников. Однако, в некоторых случаях можно вычислить определенный интеграл точно.
В этой статье мы остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем подробное решение характерных примеров. Также на примерах разберемся с заменой переменной в определенном интеграле и с нахождением значения определенного интеграла при интегрировании по частям.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: 
.
Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.
Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента 
интеграл вида 
является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию 
, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство 
.
Действительно, запишем приращение функции 
, соответствующее приращению аргумента 
и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:
где 
.
Перепишем это равенство в виде 
. Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при 
, то получим 
. То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как 
, где С – произвольная постоянная.
Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла: 
, следовательно, 
. Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b): 
, то есть 
. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .
Приращение функции принято обозначать как 
. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид 
.
Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.
Пример.
Вычислить значение определенного интеграла 
по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение.
Для начала отметим, что подынтегральная функция 
непрерывна на отрезке [1;3], следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).
Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для 
) записывается как 
. Возьмем первообразную при C = 0: 
.
Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: 
.
Пример.
По формуле Ньютона-Лейбница вычислите определенный интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [-1;2], поэтому, интегрируема на нем.
Найдем неопределенный интеграл 
методом подведения под знак дифференциала: 
. Так мы получили множество всех первообразных функции 
для всех действительных x, следовательно, и для 
.
Возьмем первообразную при С=0 и применим формулу Ньютона-Лейбница:
Пример.
Вычислить определенные интегралы 
.
Решение.
На отрезке 
подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема.
Найдем множество первообразных функции 
: 
.
Возьмем первообразную 
и по формуле Ньютона-Лейбница вычислим требуемый определенный интеграл:
Переходим ко второму определенному интегралу.
На отрезке [-1;1] подынтегральная функция не ограничена, так как 
, то есть, не выполняется необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Более того, не является первообразной функции на отрезке [-1;1], поскольку точка 0, принадлежащая отрезку, не входит в область определения функции. Следовательно, не существует определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции на отрезке [-1;1].
Итак, перед применением формулы Ньютона-Лейбница обязательно нужно убедиться, что указанный определенный интеграл существует.
Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z), которая определена на интервале 
и имеет на нем непрерывную производную, причем 
и 
, тогда 
.
Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл 
, причем неопределенный интеграл 
мы бы искали методом подстановки.
Разберем на примере для ясности.
Пример.
Вычислить значение определенного интеграла 
.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, следовательно, определенный интеграл существует.
Обозначим 
. При x=9 имеем 
, а при x=18 имеем 
, то есть, 
. Подставляем полученные результаты в формулу :
Из таблицы неопределенных интегралов видно, что одной из первообразных функции 
является функция 
, поэтому, по формуле Ньютона-Лейбница имеем
Можно было обойтись и без формулы .
Если методом замены переменной взять неопределенный интеграл 
, то мы придем к результату 
.
Таким образом, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определенный интеграл:
Как видите, результаты совпадают.
Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.
Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x) вместе со своими производными первого порядка и функция 
– интегрируема, тогда на этом отрезке интегрируема функция 
и справедливо равенство 
.
Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали интегрированием по частям.
Пример.
Вычислить определенный интеграл 
.
Решение.
Функция 
является интегрируемой на отрезке 
в силу своей непрерывности.
Пусть u(x) = x, а 
, тогда 
, а 
. По формуле получаем
Этот пример можно решить и по-другому.
Находим множество первообразных функции интегрированием по частям и применяем формулу Ньютона-Лейбница:
Некогда разбираться?