Интеграл, методы интегрирования Помощь в написании работ

Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.


При выяснении геометрического смысла определенного интеграла, мы получили формулу для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми x=a, x=b и непрерывной неотрицательной (неположительной) функцией y=f(x). В некоторых случаях функцию, которая ограничивает фигуру, удобно задать в параметрическом виде, то есть, представить функциональную зависимость через параметр t. В этой статье мы разберемся, как находить площадь фигуры в случае параметрического задания ограничивающей кривой.

После краткого обзора теории и вывода формулы, мы подробно рассмотрим решение характерных примеров на нахождение площади фигуры, ограниченной параметрически заданной линией.


Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданной линией.

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a, x=b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая формула, причем функции формула и формула непрерывны на интервале формула, формула монотонно возрастает на нем и формула.

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле формула.

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции формула подстановкой формула:
формула

Если функция формула является монотонно убывающей на интервале формула, то формула примет вид формула.

Если функция формула не является основной элементарной, то для выяснения ее возрастания или убывания может потребоваться теория из раздела возрастание и убывание функции на интервале.

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.


Рассмотрим примеры применения полученной формулы, позволяющей вычислять площади фигур, ограниченных параметрически заданными линиями.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, параметрические уравнения которой имеют вид формула.

Решение.

В нашем примере параметрически заданная линия представляет собой эллипс с полуосями 2 и 3 единицы. Построим его.

изображение

Найдем площадь четверти эллипса, расположенной в первом квадранте. Эта область лежит в интервале формула. Площадь всей фигуры вычислим, умножив полученное значение на четыре.

Что мы имеем:
формула

Для k = 0 получаем интервал формула. На этом интервале функция формула монотонно убывающая (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Применяем формулу для вычисления площади и определенный интеграл находим по формуле Ньютона-Лейбница:
формула

Таким образом, площадь исходной фигуры равна формула.

Замечание.

Возникает логичный вопрос: почему мы брали четверть эллипса, а не половину? Можно было рассмотреть верхнюю (или нижнюю) половину фигуры. Она находится на интервале формула. Для этого случая мы бы получили
формула

То есть, для k = 0 получаем интервал формула. На этом интервале функция формула монотонно убывающая.

Тогда площадь половины эллипса находится как
формула

А вот правую или левую половины эллипса взять не получится.

Параметрическое представление эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b имеет вид формула. Если действовать так же, как и в разобранном примере, то получим формулу для вычисления площади эллипса формула.

Окружность с центром в начале координат радиуса R через параметр t задается системой уравнений формула. Если воспользоваться полученной формулой площади эллипса, то сразу можно записать формулу для нахождения площади круга радиуса R: формула.

Решим еще один пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически формула.

Решение.

Забегая немного вперед, кривая является «вытянутой» астроидой. (Астроида имеет следующее параметрическое представление формула).

Остановимся подробно на построении кривой, ограничивающей фигуру. Строить ее мы будем по точкам. Обычно такого построения достаточно для решения большинства задач. В более сложных случаях, несомненно, потребуется детальное исследование параметрически заданной функции с помощью дифференциального исчисления.

В нашем примере формула.

Эти функции определены для всех действительных значений параметра t, причем, из свойств синуса и косинуса мы знаем, что они периодические с периодом два пи. Таким образом, вычисляя значения функций формула для некоторых формула (например формула), получим набор точек формула.

Для удобства занесем значения в таблицу:
формула

Отмечаем точки на плоскости и ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО соединяем их линией.

изображение

Вычислим площадь области, расположенной в первой координатной четверти. Для этой области формула.
формула

При k=0 получаем интервал формула, на котором функция формула монотонно убывает. Применяем формулу для нахождения площади:
формула

Полученные определенные интегралы вычислим по формуле Ньютона-Лейбница, а первообразные для формулы Ньютона-Лейбница найдем с помощью рекуррентной формулы вида формула, где формула.

формула

Следовательно, площадь четверти фигуры равна формула, тогда площадь всей фигуры равна формула.

Аналогично можно показать, что площадь астроиды формула находится как формула, а площадь фигуры, ограниченной линией формула, вычисляется по формуле формула.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+