Решение целых и дробно рациональных неравенств
Продолжаем углубляться в тему «решение неравенств с одной переменной». Нам уже знакомы линейные неравенства и квадратные неравенства. Они являются частными случаями рациональных неравенств, изучением которых мы сейчас и займемся. Начнем с того, что выясним, неравенства какого вида называются рациональными. Дальше разберемся с их подразделением на целые рациональные и дробные рациональные неравенства. А уже после этого будем изучать, как проводится решение рациональных неравенств с одной переменной, запишем соответствующие алгоритмы и рассмотрим решения характерных примеров с детальными пояснениями.
Что такое рациональные неравенства?
В школе на уроках алгебры, как только заходит разговор про решение неравенств, так сразу же и происходит встреча с рациональными неравенствами. Однако сначала их не называют своим именем, так как на этом этапе виды неравенств представляют мало интереса, а основная цель состоит в получении начальных навыков работы с неравенствами. Сам термин «рациональное неравенство» вводится позже в 9 классе, когда начинается детальное изучение неравенств именно этого вида.
Давайте узнаем, что такое рациональные неравенства. Вот определение:
Определение.
Рациональное неравенство – это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения.
В озвученном определении ничего не сказано о числе переменных, значит, допускается любое их количество. В зависимости от этого различают рациональные неравенства с одной, двумя и т.д. переменными. Кстати, в учебнике [1, c.12] дается подобное определение, но для рациональных неравенств с одной переменной. Это и понятно, так как в школе основное внимание уделяется решению неравенств с одной переменной (ниже мы тоже будем говорить лишь о решении рациональных неравенств с одной переменной). Неравенства с двумя переменными рассматривают мало, а неравенствам с тремя и большим числом переменных практически вообще не уделяют внимания.
Итак, рациональное неравенство можно распознать по его записи, для этого достаточно взглянуть на выражения в его левой и правой части и убедиться, что они являются рациональными выражениями. Эти соображения позволяют привести примеры рациональных неравенств. Например, x>4, x3+2·y≤5·(y−1)·(x2+1), 
- это рациональные неравенства. А неравенство 
не является рациональным, так как его левая часть содержит переменную под знаком корня, а, значит, не является рациональным выражением. Неравенство 
тоже не рациональное, так как обе его части не являются рациональными выражениями.
Для удобства дальнейшего описания введем подразделение рациональных неравенств на целые и дробные.
Определение.
Рациональное неравенство будем называть целым, если обе его части – целые рациональные выражения.
Определение.
Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.
Так 0,5·x≤3·(2−5·y), 
- целые неравенства, а 1:x+3>0 и 
- дробно рациональные.
Теперь мы имеем четкое понимание, что представляют собой рациональные неравенства, и можно смело начинать разбираться с принципами решения целых и дробно рациональных неравенств с одной переменной.
Решение целых неравенств
Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x)<s(x) (знак неравенства, естественно, может быть иным ≤, >, ≥), где r(x) и s(x) – некоторые целые рациональные выражения. Для ее решения будем использовать равносильные преобразования неравенства.
Перенесем выражение из правой части в левую, что нас приведет к равносильному неравенству вида r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) с нулем справа. Очевидно, что выражение r(x)−s(x), образовавшееся в левой части, тоже целое, а известно, что можно любое целое выражение преобразовать в многочлен. Преобразовав выражение r(x)−s(x) в тождественно равный ему многочлен h(x) (здесь заметим, что выражения r(x)−s(x) и h(x) имеют одинаковую область допустимых значений переменной x), мы перейдем к равносильному неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥).
В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному. Рассмотрим примеры.
Пример.
Найдите решение целого рационального неравенства x·(x+3)+2·x≤(x+1)2+1.
Решение.
Сначала переносим выражение из правой части в левую: x·(x+3)+2·x−(x+1)2−1≤0. Выполнив все действия с многочленами в левой части, приходим к линейному неравенству 3·x−2≤0, которое равносильно исходному целому неравенству. Его решение не представляет сложности:
3·x≤2,
x≤2/3.
Ответ:
x≤2/3.
Пример.
Решите неравенство (x2+1)2−3·x2>(x2−x)·(x2+x).
Решение.
Начинаем как обычно с переноса выражения из правой части, а дальше выполняем преобразования в левой части, используя формулы сокращенного умножения:
(x2+1)2−3·x2−(x2−x)·(x2+x)>0,
x4+2·x2+1−3·x2−x4+x2>0,
1>0.
Так, выполняя равносильные преобразования, мы пришли к неравенству 1>0, которое верно при любых значениях переменной x. А это означает, что решением исходного целого неравенства является любое действительное число.
Ответ:
x - любое.
Пример.
Выполните решение неравенства x+6+2·x3−2·x·(x2+x−5)>0.
Решение.
В правой части нуль, так что из нее ничего переносить не нужно. Преобразуем целое выражение, находящееся в левой части, в многочлен:
x+6+2·x3−2·x3−2·x2+10·x>0,
−2·x2+11·x+6>0.
Получили квадратное неравенство, которое равносильно исходному неравенству. Решаем его любым известным нам методом. Проведем решение квадратного неравенства графическим способом.
Находим корни квадратного трехчлена −2·x2+11·x+6:
Делаем схематический чертеж, на котором отмечаем найденные нули, и учитываем, что ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный:
Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это имеет место на интервале (−0,5, 6), он и является искомым решением.
Ответ:
(−0,5, 6).
В более сложных случаях в левой части полученного неравенства h(x)<0 (≤, >, ≥) будет многочлен третьей или более высокой степени. Для решения таких неравенств подходит метод интервалов, на первом шаге которого нужно будет найти все корни многочлена h(x), что частенько делается через разложение многочлена на множители.
Пример.
Найдите решение целого рационального неравенства (x2+2)·(x+4)<14−9·x.
Решение.
Перенесем все в левую часть, после чего там раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
(x2+2)·(x+4)−14+9·x<0,
x3+4·x2+2·x+8−14+9·x<0,
x3+4·x2+11·x−6<0.
Проделанные манипуляции приводят нас к неравенству, которое равносильно исходному. В его левой части многочлен третьей степени. Решить его можно методом интервалов. Для этого в первую очередь надо найти корни многочлена, что упирается в решение кубического уравнения x3+4·x2+11·x−6=0. Выясним, имеет ли оно рациональные корни, которые могут быть лишь среди делителей свободного члена, то есть, среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6. Подставляя по очереди эти числа вместо переменной x в уравнение x3+4·x2+11·x−6=0, выясняем, что корнями уравнения являются числа 1, 2 и 3. Это позволяет представить многочлен x3+4·x2+11·x−6 в виде произведения (x−1)·(x−2)·(x−3), а неравенство x3+4·x2+11·x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0. Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
А дальше остается выполнить стандартные шаги метода интервалов: отметить на числовой прямой точки с координатами 1, 2 и 3, которые разбивают эту прямую на четыре промежутка, определить и расставить знаки, изобразить штриховку над промежутками со знаком минус (так как мы решаем неравенство со знаком <) и записать ответ.
Откуда имеем (−∞, 1)∪(2, 3).
Ответ:
(−∞, 1)∪(2, 3).
Следует отметить, что иногда нецелесообразно от неравенства r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходить к неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥), где h(x) – многочлен степени выше второй. Это касается тех случаев, когда сложнее разложить многочлен h(x) на множители, чем представить выражение r(x)−s(x) в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, например, путем вынесения за скобки общего множителя. Поясним это на примере.
Пример.
Решите неравенство (x2−2·x−1)·(x2−19)≥2·x·(x2−2·x−1).
Решение.
Это целое неравенство. Если перенести выражение из его правой части в левую, после чего раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится неравенство x4−4·x3−16·x2+40·x+19≥0. Решить его очень непросто, так как это предполагает поиск корней многочлена четвертой степени. Несложно проверить, что рациональных корней он не имеет (ими могли бы быть числа 1, −1, 19 или −19), а другие его корни искать проблематично. Поэтому этот путь тупиковый.
Давайте поищем другие возможности решения. Несложно заметить, что после переноса выражения из правой части исходного целого неравенства в левую, можно вынести за скобки общий множитель x2−2·x−1:
(x2−2·x−1)·(x2−19)−2·x·(x2−2·x−1)≥0,
(x2−2·x−1)·(x2−2·x−19)≥0.
Проделанное преобразование является равносильным, поэтому решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства.
А теперь мы можем найти нули выражения, находящегося в левой части полученного неравенства, для этого надо решить квадратные уравнения x2−2·x−1=0 и x2−2·x−19=0. Их корнями являются числа 
. Это позволяет перейти к равносильному неравенству 
, а его мы можем решить методом интервалов:
По чертежу записываем ответ 
.
Ответ:
.
В заключение этого пункта хочется лишь добавить, что далеко не всегда есть возможность найти все корни многочлена h(x), и как следствие разложить его в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов. В этих случаях нет возможности решить неравенство h(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, нет возможности найти решение исходного целого рационального уравнения.
Решение дробно рациональных неравенств
Теперь займемся решением такой задачи: пусть требуется решить дробно рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x)<s(x) (≤, >, ≥), где r(x) и s(x) – некоторые рациональные выражения, причем хотя бы одно из них – дробное. Давайте сразу приведем алгоритм ее решения, после чего внесем необходимые пояснения.
Алгоритм решения дробно рационального неравенства с одной переменной r(x)<s(x) (≤, >, ≥):
- Сначала надо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного неравенства.
- Дальше нужно перенести выражение из правой части неравенства в левую, и образовавшееся там выражение r(x)−s(x) преобразовать к виду дроби p(x)/q(x), где p(x) и q(x) – целые выражения, представляющие собой произведения линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов и их степеней с натуральным показателем.
- Дальше надо решить полученное неравенство методом интервалов.
- Наконец, из полученного на предыдущем шаге решения нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ переменной x для исходного неравенства, которая была найдена на первом шаге.
Так будет получено искомое решение дробно рационального неравенства.
Пояснений требует второй шаг алгоритма. Перенос выражения из правой части неравенства в левую дает неравенство r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), которое равносильно исходному. Здесь все понятно. А вот вопросы вызывает дальнейшее его преобразование к виду p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Первый вопрос: «Всегда ли его возможно провести»? Теоретически, да. Мы знаем, что можно любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь. В числителе и знаменателе рациональной дроби находятся многочлены. А из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что любой многочлен степени n с одной переменной можно представить в виде произведения линейных двучленов. Это и объясняет возможность проведения указанного преобразования.
На практике же довольно сложно раскладывать многочлены на множители, а если их степень выше четвертой, то и не всегда возможно. Если разложение на множители невозможно, то не будет и возможности найти решение исходного неравенства, но в школе такие случаи обычно не встречаются.
Второй вопрос: «Будет ли неравенство p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) равносильно неравенству r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, и исходному»? Оно может быть как равносильно, так и неравносильно. Оно равносильно тогда, когда ОДЗ для выражения p(x)/q(x) совпадает с ОДЗ для выражения r(x)−s(x). В этом случае последний шаг алгоритма будет излишним. Но ОДЗ для выражения p(x)/q(x) может оказаться шире, чем ОДЗ для выражения r(x)−s(x). Расширение ОДЗ может происходить при сокращении дробей, как, например, при переходе от 
к 
. Также расширению ОДЗ может способствовать приведение подобных слагаемых, как, например, при переходе от 
к 
. Для этого случая и предназначен последний шаг алгоритма, на котором исключаются посторонние решения, возникающие из-за расширения ОДЗ. Давайте последим за этим, когда будем разбирать ниже решения примеров.
Пример.
Решите рациональное неравенство 
.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом решения рациональных неравенств.
Начинаем с нахождения ОДЗ. Ее определяет система неравенств 
, ее решением, очевидно, является множество (−∞, −1)∪(−1, 3)∪(3, +∞).
Теперь добиваемся того, чтобы в правой части неравенства был нуль, для этого переносим выражение из правой части в левую, не забыв изменить знак этого выражения. В результате приходим к равносильному неравенству 
.
Дальше нужно преобразовать выражение в левой части к виду, удобному для применения метода интервалов. Сначала выполним приведение алгебраических дробей к наименьшему общему знаменателю, который очевидно есть (x−3)2·(x+1):
Еще выражение в числителе можно свернуть по формуле квадрат суммы:
Несложно заметить, что ОДЗ переменной x для полученного выражения есть (−∞, −1)∪(−1, 3)∪(3, +∞), то есть, совпадает с ОДЗ переменной x для исходного неравенства. Таким образом, неравенство 
равносильно исходному, и последний шаг алгоритма выполнять не придется.
Решаем полученное неравенство методом интервалов:
откуда видно решение {−2}∪(−1, 3)∪(3, +∞). Это и есть нужное нам решение рационального неравенства .
Ответ:
{−2}∪(−1, 3)∪(3, +∞).
Пример.
Найдите решение неравенства 
.
Решение.
ОДЗ переменной x для этого рационального неравенства состоит из всех действительных чисел, за исключением −2, −1, 0 и 1.
Соберем все в левой части неравенства: 
.
Теперь преобразуем выражение в левой части неравенства. Начнем с первой дроби:
С учетом этого результата имеем
ОДЗ для полученного выражения 
есть множество всех действительных чисел, кроме 1. Таким образом, в результате проделанных преобразований произошло расширение области допустимых значений: в нее добавились числа −2, −1 и 0. Поэтому, нужно будет обязательно выполнить последний шаг алгоритма.
Так мы пришли к неравенству 
, оно в свою очередь равносильно неравенству 
. Решив его методом интервалов, получаем (−∞, 1).
Остается из полученного интервала исключить точки, не входящие в ОДЗ переменной x для исходного неравенства. В нашем случае из множества (−∞, 1) нужно исключить числа −2, −1 и 0. Итак, решение рационального неравенства - это (−∞, −2)∪(−2, −1)∪(−1, 0)∪(0, 1).
Ответ:
(−∞, −2)∪(−2, −1)∪(−1, 0)∪(0, 1).
Заканчивая тему, покажем пример, в котором вывод о решении рационального неравенства делается на основе ОДЗ.
Пример.
Каково решение рационального неравенства 
?
Решение.
Начинаем как всегда с ОДЗ, ей отвечает система 
. Эта система не имеет решений, так как
Таким образом, рациональное неравенство не имеет решений, так как оно не имеет смысла ни при каких значениях переменной.
Ответ:
∅.
Список литературы.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.