Квадратные неравенства, решение квадратных неравенств

Решение квадратных неравенств через выделение квадрата двучлена.


Иногда бывает полезно отказаться от стандартов и взглянуть на задачу с другой стороны. В контексте решения квадратных неравенств это означает, что было бы неплохо научиться решать их не только привычным графическим способом или методом интервалов, но и по-другому. Один из таких не совсем обычных подходов к решению мы и изучим в этой статье.

Здесь мы познакомимся с решением квадратных неравенств посредством выделения квадрата двучлена в их левой части. При этом будем по кусочкам излагать теоретическую часть этого вопроса и сразу разъяснять ее, приводя примеры с решениями.


Суть метода

Начнем с сути метода решения квадратных неравенств a·x2+b·x+c<0 (знаки неравенства могут быть и ≤, >, ≥) через выделение квадрата двучлена. Суть проста: используя равносильные преобразования неравенства, от исходного неравенства переходят к равносильному неравенству вида (x−p)2<q (≤, >, ≥), где p и q – некоторые числа, и уже из него делают вывод о решениях исходного неравенства.

Остается выяснить два момента: как исходное квадратное неравенство привести к виду (x−p)2<q (≤, >, ≥), и как решать неравенства такого вида. Осветим их по очереди.

Переход от квадратного неравенства к неравенству (x−p)2<q (≤, >, ≥)


Для приведения квадратного неравенства к виду (x−p)2<q (≤, >, ≥) выполняют следующие действия:

В результате этих действий получается неравенство нужного вида.

Разберемся с этими преобразованиями квадратного неравенства на конкретных примерах.

Начнем с неравенства x2≥0. Коэффициент при x2 равен 1, поэтому переходим ко второму шагу. Его тоже пропускаем, так как отсутствует слагаемое с переменной x. На третьем шаге тоже ничего не нужно делать, так как в левой части нет слагаемого, представленного числом. Итак, исходное неравенство уже записано в нужном нам виде (x−p)2≥q при p=0 и q=0 (что можно было сразу заметить).

Теперь возьмем квадратное неравенство 5·x2<0. Чтобы его привести к виду (x−p)2<q на первом шаге выполняем деление обеих частей на старший коэффициент, в нашем случае он равен 5, а 5 – положительное число, поэтому, сохраняем знак неравенства; после деления имеем x2<0. Это и есть неравенство нужного нам вида при p=0 и q=0 (второй и третий шаги пропускаем).

Смотрим дальше на квадратное неравенство . Делим его обе части на отрицательное число , изменяя при этом знак неравенства, получаем , что то же самое без иррациональности в знаменателе, . Второй шаг пропускаем из-за отсутствия слагаемого с иксом. И на заключительном этапе переносим свободный член в правую часть: . Так мы получили требуемый вид неравенства (x−p)2<q, где p=0, а .

Берем следующий случай . Для приведения его к нужному нам виду сначала выполняем деление его обеих частей на одну третью, что равносильно умножению на обратное число 3, сохраняем знак неравенства, и оно преображается к виду x2+6·x+9≤0. Здесь есть слагаемое с x, поэтому выполняем действие второго шага алгоритма – выделяем квадрат двучлена, в результате имеем (x+3)2≤0. Третий шаг не нужен, так как после выделения квадрата двучлена не осталось числового слагаемого. Итак, исходное квадратное неравенство мы заменили неравенством (x−p)2≤q, где p=−3 и q=0.

Ну и последний пример. Рассмотрим квадратное неравенство 4·x2−4·x−1<0. Делаем коэффициент при x2 равным единице, выполняя деление обеих частей неравенства на 4; получаем . Теперь надо выделить квадрат двучлена: и дальше . На последнем шаге остается перенести оставшееся слагаемое −1/2 в правую часть, изменив его знак. В результате приходим к неравенству нужного нам вида , где p=1/2, q=1/2.

Как решить неравенство (x−p)2<q (≤, >, ≥)?

Итак, мы научились переходить от решения квадратных неравенств к решению равносильных им неравенств вида (x−p)2<q (≤, >, ≥). Теперь нужно разобраться как решать их. Для этого по очереди рассмотрим три случая: q – отрицательное число, q=0 и q – положительное число.

При q<0

В этом случае (и в следующем при q=0) решение базируется на таком свойстве степени: квадрат любого числа есть число неотрицательное, причем квадрат любого отличного от нуля числа есть положительное число, а квадрат числа есть нуль тогда и только тогда, когда число в основании есть нуль. То есть, d2≥0 для любого числа d, причем d2>0 для любого d≠0, и d2=0 тогда и только тогда, когда d=0.

Итак, пусть q – отрицательное число. Значение выражения (x−p)2 всегда неотрицательно в силу упомянутого выше свойства квадрата. Значит, неравенства (x−p)2>p и (x−p)2≥p справедливы для любых значений x, следовательно, их решением является любое действительное число. В свою очередь, неравенства (x−p)2<p и (x−p)2≤p не будут справедливыми ни при каких x, откуда заключаем, что они не имеют решений.

Пример.

Решите квадратное неравенство x2+4·x+5>0.

Решение.

Выделим полный квадрат в левой части квадратного неравенства: x2+2·2·x+22−22+5>0, (x+2)2+1>0, и перенесем единицу в правую часть (x+2)2>−1. Полученное неравенство равносильно исходному квадратному неравенству. Его решением является любое действительное число, так как значение выражения в левой части неотрицательно для любого x, и для любого x неравенство (x+2)2>−1 будет справедливо. Следовательно, решением исходного неравенства также будет любое действительное число.

Ответ:

x – любое число.

Пример.

Решите неравенство 9·x2+6·x+28≤0.

Решение.

Решим данное квадратное неравенство путем выделения квадрата двучлена. Для этого делим обе части неравенства на 9, после чего выделяем квадрат двучлена, и оставшееся после этого слагаемое переносим в правую часть:

Значение выражения в левой части неотрицательно для любого x, и оно не может быть меньше или равно отрицательному числу −3. Следовательно, последнее неравенство не имеет решений, а значит, не имеет решений и равносильное ему исходное квадратное неравенство.

Ответ:

нет решений.

При q=0

Пусть q=0 (то есть, мы рассматриваем неравенства (x−p)2<0, (x−p)2≤0, (x−p)2>0 и (x−p)2≥0). В силу указанного в предыдущем пункте свойства квадрата числа, значение выражения (x−p)2 больше нуля для всех x, удовлетворяющих условию x−p≠0, и равно нулю, когда x−p=0. Отсюда следует, что

Пример.

Имеет ли квадратное неравенство −0,2·x2+4·x−20≥0 решения?

Решение.

Выполним некоторые равносильные преобразования:
x2−20·x+100≤0,
(x−10)2≤0.

Полученное неравенство возможно лишь тогда, когда x−10=0, то есть, при x=10. Значит, исходное неравенство имеет единственное решение 10.

Ответ:

имеет, x=10.

Пример.

Найдите решение неравенства 16·x2+40·x+25>0.

Решение.

Разделим обе части на 16, затем выделим квадрат двучлена:

Это неравенство справедливо для всех значений x, кроме того, которое обращает основание степени в нуль, то есть, для .

Ответ:

.

При q>0

Осталось разобраться с решением неравенств (x−p)2<q, (x−p)2≤q, (x−p)2>q и (x−p)2≥q при положительном q.

В основе их решения лежат два свойства корня: для положительных чисел u и v из неравенства u<v (≤, >, ≥) следует неравенство (≤, >, ≥), и для любого действительного числа t имеет место равенство . Эти свойства от неравенства (x−p)2<q (≤, >, ≥) позволяют перейти к равносильному иррациональному неравенству , и дальше к неравенству с модулем (≤, >, ≥).

Неравенства с модулем обычно решаются через раскрытие модуля. Например, от неравенства можно перейти к двум системам неравенств без модуля и . Для наглядности решим пример.

Пример.

Решите квадратное неравенство x2−6·x−7>0 путем выделения квадрата двучлена.

Решение.

Выделяем квадрат двучлена в левой части: x2−2·3·x+32−32−7>0, (x−3)2−16>0, и переносим слагаемое −16 в правую часть со знаком плюс, получаем (x−3)2>16. А это неравенство равносильно неравенству , и дальше |x−3|>4. Теперь избавляемся от модуля, переходя к решению совокупности двух систем неравенств,

Таким образом, решением исходного квадратного неравенства является x<−1, x>7.

Ответ:

x<−1, x>7.

Покажем еще один достаточно удобный, а главное – наглядный, способ решения неравенств вида (≤, >, ≥), позволяющий обходиться без решения систем. В его основе лежит геометрический смысл модуля.

В геометрическом толковании модуль |x−p| - это расстояние на координатной прямой от точки с координатой x до точки с координатой p. Поэтому,

А сейчас для сравнения решим предыдущий пример, основываясь на только что приведенных выкладках.

Пример.

Решите квадратное неравенство x2−6·x−7>0.

Решение.

Равносильные преобразования, включающие выделение квадрата двучлена в левой части, позволяют привести исходное квадратное неравенство к виду (x−3)2>16, и дальше

А ему удовлетворяют координаты всех таких точек, которые расположены от точки с координатой 3 на расстоянии большем, чем 4. Изобразим их:

Отсюда видно искомое решение: x<−1, x>7.

Ответ:

x<−1, x>7.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Некогда разбираться?

Закажите решение