Решение квадратных неравенств методом интервалов.
Метод интервалов является универсальным методом решения неравенств, в частности, он позволяет решать квадратные неравенства с одной переменной. В этой статье мы подробно осветим все нюансы решения квадратных неравенств методом интервалов. Сначала приведем алгоритм, после чего детально разберем готовые решения характерных примеров.
Алгоритм
Первое знакомство с методом интервалов обычно происходит на уроках алгебры, когда учатся решать квадратные неравенства. При этом алгоритм метода интервалов дают в виде, адаптированном именно к решению квадратных неравенств. Отдавая дань простоте, мы тоже дадим его в таком виде, а общий алгоритм метода интервалов Вы можете посмотреть по ссылке в самом начале этой статьи.
Итак, алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов таков:
- Находим нули квадратного трехчлена a·x2+b·x+c из левой части квадратного неравенства.
- Изображаем координатную прямую и при наличии корней отмечаем их на ней. Причем если решаем строгое неравенство, то отмечаем их пустыми (выколотыми) точками, а если решаем нестрогое неравенство – то обычными точками. Они разбивают координатную ось на промежутки.
- Определяем, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге были найдены нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет), как это сделать расскажем чуть ниже. И проставляем над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
- Если решаем квадратное неравенство со знаком > или ≥, то наносим штриховку над промежутками со знаками +, если же решаем неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества, которое и является искомым решением неравенства.
- Записываем ответ.
Как и обещали, разъясняем третий шаг озвученного алгоритма. Существует несколько основных подходов, позволяющих находить знаки на промежутках. Будем их изучать на примерах, и начнем с надежного, но не самого быстрого способа, заключающегося в вычислении значений трехчлена в отдельно взятых точках промежутков.
Возьмем трехчлен x2+4·x−5, его корнями являются числа −5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка (−∞, −5), (−5, 1) и (1, +∞).
Определим знак трехчлена x2+4·x−5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Целесообразно брать такое значение переменной, чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, например, можно взять x=2 (с этим числом вычисления проводить проще, чем, к примеру, с 1,3, 74 или 
). Подставляем его в трехчлен вместо переменной x, в результате получаем 22+4·2−5=7. 7 – положительное число, это означает, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак +.
Для закрепления навыков определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем со знака на интервале (−5, 1). Из этого интервала лучше всего взять x=0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной, имеем 02+4·0−5=−5. Так как −5 – отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными, следовательно, мы определили знак минус.
Осталось выяснить знак на промежутке (−∞, −5). Возьмем x=−6, подставляем его вместо x, получаем (−6)2+4·(−6)−5=7, следовательно, искомым знаком будет плюс.
Но быстрее расставить знаки позволяют следующие факты:
- Когда квадратный трехчлен имеет два корня (при положительном дискриминанте), то знаки его значений на промежутках, на которые эти корни разбивают числовую ось, чередуются (как в предыдущем примере). То есть, достаточно определить знак на одном из трех промежутков, и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей знаков: +, −, + или −, +, −. Более того, можно вообще обойтись без вычисления значения квадратного трехчлена в точке промежутка, а сделать выводы о знаках по значению старшего коэффициента a: если a>0, то имеем последовательность знаков +, −, +, а если a<0 – то −, +, −.
- Если же квадратный трехчлен имеет один корень (когда дискриминант равен нулю), то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. То есть, достаточно определить знак над одним из них, а над другим – поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −. Вывод по знакам можно также сделать на основе значения коэффициента a: если a>0, то будет +, +, а если a<0, то −, −.
- Когда квадратный трехчлен корней не имеет, то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c. Для примера рассмотрим квадратный трехчлен −4·x2−7, он не имеет корней (его дискриминант отрицательный), и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x2 есть отрицательное число −4, и свободный член −7 тоже отрицателен.
Теперь все шаги алгоритма разобраны и остается рассмотреть примеры решения квадратных неравенств с его использованием.
Примеры с решениями
Переходим к практике. Решим несколько квадратных неравенств методом интервалов, затронем основные характерные случаи.
Пример.
Решите неравенство 8·x2−4·x−1≥0.
Решение.
Проведем решение этого квадратного неравенства методом интервалов. Он на первом шаге подразумевает поиск корней квадратного трехчлена 8·x2−4·x−1. Коэффициент при x четный, поэтому удобнее вычислять не дискриминант, а его четвертую часть: D'=(−2)2−8·(−1)=12. Так как он больше нуля, то находим два корня 
и 
.
Теперь отмечаем их на координатной прямой. Несложно видеть, что x1<x2, поэтому точку с координатой x1 располагаем левее точки с координатой x2. А так как мы решаем нестрогое неравенство, то точки изображаем обычными, а не выколотыми:
Дальше по методу интервалов определяем знаки на каждом из трех полученных интервалов. Это удобнее и быстрее всего сделать на основе значения коэффициента при x2, он равен 8, то есть, положителен, следовательно, последовательность знаков будет +, −, +:
Так как мы решаем неравенство со знаком ≥, то изображаем штриховку над промежутками со знаками плюс:
По полученному изображению числового множества не составляет труда описать его аналитически: 
или так 
. Так мы решили исходное квадратное неравенство.
Ответ:
или .
Пример.
Выполните решение квадратного неравенства 
методом интервалов.
Решение.
Находим корни квадратного трехчлена, находящегося в левой части неравенства:
Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
Теперь определяем знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞). Это легко сделать, учитывая, что дискриминант квадратного трехчлена равен нули, а старший коэффициент отрицателен. Имеем знаки −, −:
Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
Хорошо видно, что решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).
Ответ:
(−∞, 7)∪(7, +∞) или в другой записи x≠7.
Пример.
Имеет ли квадратное неравенство x2+x+7<0 решения?
Решение.
Для ответа на поставленный вопрос решим данное квадратное неравенство, и коль скоро мы разбираем метод интервалов, то им и воспользуемся. Как обычно, начинаем с поиска корней квадратного трехчлена из левой части. Находим дискриминант: D=12−4·1·7=1−28=−27, он меньше нуля, значит, действительных корней нет.
Поэтому, просто изображаем координатную прямую, не отмечая на ней никаких точек:
Теперь определяем знак значений квадратного трехчлена. При D<0 он совпадает со знаком коэффициента при x2, то есть, со знаком числа 1, оно положительное, следовательно, имеем знак +:
Мы решаем неравенство со знаком <, поэтому штриховку следует изобразить над промежутками со знаком −, но таковых нет, и в силу этого штриховку не наносим, а чертеж сохраняет свой вид.
В результате мы имеем пустое множество, а это значит, что исходное квадратное неравенство решений не имеет.
Ответ:
нет.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.