Квадратные неравенства, решение квадратных неравенств

Решение квадратных неравенств графически.


Один из самых удобных методов решения квадратных неравенств – это графический метод. В этой статье мы разберем, как решаются квадратные неравенства графическим способом. Сначала обсудим, в чем суть этого способа. А дальше приведем алгоритм и рассмотрим примеры решения квадратных неравенств графическим способом.


Суть графического способа

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функции y=f(x) и y=g(x), которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого. Те промежутки, на которых

Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x).

Перенесем эти результаты на наш случай – для решения квадратного неравенства a·x2+b·x+c<0 (≤, >, ≥).

Вводим две функции: первая y=a·x2+b·x+c (при этом f(x)=a·x2+b·x+c) отвечает левой части квадратного неравенства, вторая y=0 (при этом g(x)=0) отвечает правой части неравенства. Графиком квадратичной функции f является парабола, а графиком постоянной функции g – прямая, совпадающая с осью абсцисс Ox.

Дальше согласно графическому способу решения неравенств надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже другого, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства. В нашем случае нужно проанализировать положение параболы относительно оси Ox.

В зависимости от значений коэффициентов a, b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy, так как ее положение не влияет на решения неравенства):



  1. На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox в двух точках, абсциссы которых есть x1 и x2. Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент a – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена a·x2+b·x+c (при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x1 и x2, причем приняли, что x1<x2, так как на оси Ox изобразили точку с абсциссой x1 левее точки с абсциссой x2). Если хочется конкретики, то постройте параболу y=x2−x−6, ее коэффициент a=1>0, D=b2−4·a·c=(−1)2−4·1·(−6)=25>0, x1=−2, x2=3.

    Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс.

    Теперь выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):

    Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка (−∞, x1) и (x2, +∞), на них парабола выше оси Ox, они составляют решение квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0, а синим цветом подсвечен промежуток (x1, x2), на нем парабола ниже оси Ox, он представляет собой решение неравенства a·x2+b·x+c<0. Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x2+b·x+c≥0 и a·x2+b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x1 и x2, отвечающие равенству a·x2+b·x+c=0.

    А теперь кратко: при a>0 и D=b2−4·a·c>0 (или D'=D/4>0 при четном коэффициенте b)

    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0 является (−∞, x1)∪(x2, +∞) или в другой записи x<x1, x>x2;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≥0 является (−∞, x1]∪[x2, +∞) или в другой записи x≤x1, x≥x2;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c<0 является (x1, x2) или в другой записи x1<x<x2;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≤0 является [x1, x2] или в другой записи x1≤x≤x2,

    где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена a·x2+b·x+c, причем x1<x2.



  2. Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x0. Представленному случаю отвечает a>0 (ветви направлены вверх) и D=0 (квадратный трехчлен имеет один корень x0). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x2−4·x+4, здесь a=1>0, D=(−4)2−4·1·4=0 и x0=2.

    По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x0), (x0, ∞). Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом.

    Делаем выводы: при a>0 и D=0

    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0 является (−∞, x0)∪(x0, +∞) или в другой записи x≠x0;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R;
    • квадратное неравенство a·x2+b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox);
    • квадратное неравенство a·x2+b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x0 (его дает точка касания),

    где x0 - корень квадратного трехчлена a·x2+b·x+c.



  3. В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0 (ветви направлены вверх) и D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x2+1, здесь a=2>0, D=02−4·2·1=−8<0.

    Очевидно, парабола расположена выше оси Ox на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox, нет точки касания).

    Таким образом, при a>0 и D<0 решением квадратных неравенств a·x2+b·x+c>0 и a·x2+b·x+c≥0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x2+b·x+c<0 и a·x2+b·x+c≤0 не имеют решений.

И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox. В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x2. Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты.



  1. При a<0 и D>0

    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c>0 является (x1, x2) или в другой записи x1<x<x2;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≥0 является [x1, x2] или в другой записи x1≤x≤x2;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c<0 является (−∞, x1)∪(x2, +∞) или в другой записи x<x1, x>x2;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≤0 является (−∞, x1]∪[x2, +∞) или в другой записи x≤x1, x≥x2,

    где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена a·x2+b·x+c, причем x1<x2.



  2. При a<0 и D=0

    • квадратное неравенство a·x2+b·x+c>0 не имеет решений;
    • квадратное неравенство a·x2+b·x+c≥0 имеет единственное решение x=x0;
    • решением неравенства a·x2+b·x+c<0 является (−∞, x0)∪(x0, +∞) или в другой записи x≠x0;
    • решением квадратного неравенства a·x2+b·x+c≤0 является множество всех действительных чисел (−∞, +∞) или в другой записи x∈R,

    где x0 - корень квадратного трехчлена a·x2+b·x+c.



  3. При a<0 и D<0 квадратные неравенства a·x2+b·x+c>0 и a·x2+b·x+c≥0 не имеют решений, а решением неравенств a·x2+b·x+c<0 и a·x2+b·x+c≤0 является множество всех действительных чисел.

Алгоритм решения


Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом:

Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма.

Примеры с решениями

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Нам требуется решить квадратное неравенство, воспользуемся алгоритмом из предыдущего пункта. На первом шаге нам нужно изобразить эскиз графика квадратичной функции . Коэффициент при x2 равен 2, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Выясним еще, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки, для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена . Имеем . Дискриминант оказался больше нуля, следовательно, трехчлен имеет два действительных корня: и , то есть, x1=−3 и x2=1/3.

Отсюда понятно, что парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами −3 и 1/3. Эти точки изобразим на чертеже обычными точками, так как решаем нестрогое неравенство. По выясненным данным получаем следующий чертеж (он подходит под первый шаблон из первого пункта статьи):

Переходим ко второму шагу алгоритма. Так как мы решаем нестрогое квадратное неравенство со знаком ≤, то нам нужно определить промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс и добавить к ним абсциссы точек пересечения.

Из чертежа видно, что парабола ниже оси абсцисс на интервале (−3, 1/3) и к нему добавляем абсциссы точек пересечения, то есть, числа −3 и 1/3. В результате приходим к числовому отрезку [−3, 1/3]. Это и есть искомое решение. Его можно записать в виде двойного неравенства −3≤x≤1/3.

Ответ:

[−3, 1/3] или −3≤x≤1/3.

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства −x2+16·x−63<0.

Решение.

По обыкновению начинаем с чертежа. Числовой коэффициент при квадрате переменной отрицательный, −1, поэтому, ветви параболы направлены вниз. Вычислим дискриминант, а лучше – его четвертую часть: D'=82−(−1)·(−63)=64−63=1. Его значение положительно, вычислим корни квадратного трехчлена: и , x1=7 и x2=9. Так парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами 7 и 9 (исходное неравенство строгое, поэтому эти точки будем изображать с пустым центром).Теперь можно сделать схематический рисунок:

Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком <, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

По чертежу видно, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7), (9, +∞).

Ответ:

(−∞, 7)∪(9, +∞) или в другой записи x<7, x>9.

При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является.

Пример.

Имеет ли квадратное неравенство 10·x2−14·x+4,9≤0 хотя бы одно решение?

Решение.

Построим график функции y=10·x2−14·x+4,9. Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7, так как D'=(−7)2−10·4,9=0, откуда или 0,7 в виде десятичной дроби. Схематически это выглядит так:

Так как мы решаем квадратное неравенство со знаком ≤, то его решением будут промежутки, на которых парабола ниже оси Ox, а также абсцисса точки касания. Из чертежа видно, что нет ни одного промежутка, где бы парабола была ниже оси Ox, поэтому его решением будет лишь абсцисса точки касания, то есть, 0,7.

Ответ:

данное неравенство имеет единственное решение 0,7.

Пример.

Решите квадратное неравенство –x2+8·x−16<0.

Решение.

Действуем по алгоритму решения квадратных неравенств и начинаем с построения графика. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x2 отрицательный, −1. Найдем дискриминант квадратного трехчлена –x2+8·x−16, имеем D’=42−(−1)·(−16)=16−16=0 и дальше x0=−4/(−1), x0=4. Итак, парабола касается оси Ox в точке с абсциссой 4. Выполним чертеж:

Смотрим на знак исходного неравенства, он есть <. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

В нашем случае это открытые лучи (−∞, 4), (4, +∞). Отдельно заметим, что 4 - абсцисса точки касания - не является решением, так как в точке касания парабола не ниже оси Ox.

Ответ:

(−∞, 4)∪(4, +∞) или в другой записи x≠4.

Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства 3·x2+1>0.

Решение.

Как обычно начинаем с чертежа. Коэффициент a равен 3, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычисляем дискриминант: D=02−4·3·1=−12. Так как дискриминант отрицателен, то парабола не имеет с осью Ox общих точек. Полученных сведений достаточно для схематичного графика:

Мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком >. Его решением будут все промежутки, на которых парабола находится выше оси Ox. В нашем случае парабола выше оси абсцисс на всем ее протяжении, поэтому искомым решением будет множество всех действительных чисел.

Ответ:

x – любое действительное число, или в другой записи −∞<x<+∞, или так (−∞, +∞), или так x∈R.

Пример.

Решите квадратное неравенство −2·x2−7·x−12≥0.

Решение.

Ветви параболы y=−2·x2−7·x−12 направлены вниз, на что указывает отрицательный коэффициент −2. Общих точек с осью абсцисс она не имеет, так как дискриминант квадратного трехчлена −2·x2−7·x−12 отрицателен (D=(−7)2−4·(−2)·(−12)=−47<0). Таким образом, схематический чертеж выглядит следующим образом:

У неравенства знак ≥, поэтому из алгоритма решения квадратного неравенства с таким знаком заключаем, что его решение должны составлять промежутки, на которых парабола выше оси Ox, а также к ним нужно добавить абсциссы точек пересечения или абсциссу точки касания. Но по чертежу хорошо видно, что таких промежутков нет (так как парабола всюду ниже оси абсцисс), как нет и точек пересечения, как нет и точки касания. Следовательно, исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Ответ:

нет решений или в другой записи ∅.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Некогда разбираться?

Закажите решение