Математика на cleverstudents.ru

Квадратные неравенства, решение квадратных неравенств

Решение квадратных неравенств графически.

Один из самых удобных методов решения квадратных неравенств – это графический метод. В этой статье мы разберем, как решаются квадратные неравенства графическим способом. Сначала обсудим, в чем суть этого способа. А дальше приведем алгоритм и рассмотрим примеры решения квадратных неравенств графическим способом.

Суть графического способа

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функции y=f(x) и y=g(x), которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого. Те промежутки, на которых

• график функции f выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)>g(x);
• график функции f не ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)≥g(x);
• график функции f ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)<g(x);
• график функции f не выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)≤g(x).

Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x).

Перенесем эти результаты на наш случай – для решения квадратного неравенства a·x²+b·x+c<0 (≤, >, ≥).

Вводим две функции: первая y=a·x²+b·x+c (при этом f(x)=a·x²+b·x+c) отвечает левой части квадратного неравенства, вторая y=0 (при этом g(x)=0) отвечает правой части неравенства. Графиком квадратичной функции f является парабола, а графиком постоянной функции g – прямая, совпадающая с осью абсцисс Ox.

Дальше согласно графическому способу решения неравенств надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже другого, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства. В нашем случае нужно проанализировать положение параболы относительно оси Ox.

В зависимости от значений коэффициентов a, b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy, так как ее положение не влияет на решения неравенства):

1. 
   
   На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox в двух точках, абсциссы которых есть x₁ и x₂. Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент a – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена a·x²+b·x+c (при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x₁ и x₂, причем приняли, что x₁<x₂, так как на оси Ox изобразили точку с абсциссой x₁ левее точки с абсциссой x₂). Если хочется конкретики, то постройте параболу y=x²−x−6, ее коэффициент a=1>0, D=b²−4·a·c=(−1)²−4·1·(−6)=25>0, x₁=−2, x₂=3.

   Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс.
   

   Теперь выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):
   

   Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка (−∞, x₁) и (x₂, +∞), на них парабола выше оси Ox, они составляют решение квадратного неравенства a·x²+b·x+c>0, а синим цветом подсвечен промежуток (x₁, x₂), на нем парабола ниже оси Ox, он представляет собой решение неравенства a·x²+b·x+c<0. Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x²+b·x+c≥0 и a·x²+b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x₁ и x₂, отвечающие равенству a·x²+b·x+c=0.

   А теперь кратко: при a>0 и D=b²−4·a·c>0 (или D'=D/4>0 при четном коэффициенте b)

   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c>0 является (−∞, x₁)∪(x₂, +∞) или в другой записи x<x₁, x>x₂;
   • решением квадратного неравенства a·x₂+b·x+c≥0 является (−∞, x₁]∪[x₂, +∞) или в другой записи x≤x₁, x≥x₂;
   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c<0 является (x₁, x₂) или в другой записи x₁<x<x₂;
   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c≤0 является [x₁, x₂] или в другой записи x₁≤x≤x₂,

   где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена a·x²+b·x+c, причем x₁<x₂.

2. 
   
   Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x₀. Представленному случаю отвечает a>0 (ветви направлены вверх) и D=0 (квадратный трехчлен имеет один корень x₀). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x²−4·x+4, здесь a=1>0, D=(−4)²−4·1·4=0 и x₀=2.

   По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x₀), (x₀, ∞). Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом.
   

   Делаем выводы: при a>0 и D=0

   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c>0 является (−∞, x₀)∪(x₀, +∞) или в другой записи x≠x₀;
   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R;
   • квадратное неравенство a·x²+b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox);
   • квадратное неравенство a·x²+b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x₀ (его дает точка касания),

   где x₀ - корень квадратного трехчлена a·x²+b·x+c.

3. 
   
   В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0 (ветви направлены вверх) и D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x²+1, здесь a=2>0, D=0²−4·2·1=−8<0.

   Очевидно, парабола расположена выше оси Ox на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox, нет точки касания).
   

   Таким образом, при a>0 и D<0 решением квадратных неравенств a·x²+b·x+c>0 и a·x²+b·x+c≥0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x²+b·x+c<0 и a·x²+b·x+c≤0 не имеют решений.

И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox. В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x². Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты.

4. 
   
   При a<0 и D>0

   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c>0 является (x₁, x₂) или в другой записи x₁<x<x₂;
   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c≥0 является [x₁, x₂] или в другой записи x₁≤x≤x₂;
   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c<0 является (−∞, x₁)∪(x₂, +∞) или в другой записи x<x₁, x>x₂;
   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c≤0 является (−∞, x₁]∪[x₂, +∞) или в другой записи x≤x₁, x≥x₂,

   где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена a·x²+b·x+c, причем x₁<x₂.

5. 
   
   При a<0 и D=0

   • квадратное неравенство a·x²+b·x+c>0 не имеет решений;
   • квадратное неравенство a·x²+b·x+c≥0 имеет единственное решение x=x₀;
   • решением неравенства a·x²+b·x+c<0 является (−∞, x₀)∪(x₀, +∞) или в другой записи x≠x₀;
   • решением квадратного неравенства a·x²+b·x+c≤0 является множество всех действительных чисел (−∞, +∞) или в другой записи x∈R,

   где x₀ - корень квадратного трехчлена a·x²+b·x+c.

6. 
   
   При a<0 и D<0 квадратные неравенства a·x²+b·x+c>0 и a·x²+b·x+c≥0 не имеют решений, а решением неравенств a·x²+b·x+c<0 и a·x²+b·x+c≤0 является множество всех действительных чисел.

Алгоритм решения

Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом:

• На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox (ось Oy изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x²+b·x+c. Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента:

  • Во-первых, по значению коэффициента a выясняется, куда направлены ее ветви (при a>0 – вверх, при a<0 – вниз).
  • А во-вторых, по значению дискриминанта квадратного трехчлена a·x²+b·x+c выясняется, пересекает ли парабола ось абсцисс в двух точках (при D>0), касается ее в одной точке (при D=0), или не имеет общих точек с осью Ox (при D<0). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма

  • при решении квадратного неравенства a·x²+b·x+c>0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс;
  • при решении неравенства a·x²+b·x+c≥0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
  • при решении неравенства a·x²+b·x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox;
  • наконец, при решении квадратного неравенства вида a·x²+b·x+c≤0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);

  они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма.

Примеры с решениями

При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является.

Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.