Математика на cleverstudents.ru

Неравенства, решение неравенств

Квадратные неравенства, примеры, решения.

В этой статье собран материал, покрывающий тему «решение квадратных неравенств». Сначала показано, что представляют собой квадратные неравенства с одной переменной, дан их общий вид. А дальше детально разобрано как решать квадратные неравенства. Показаны основные подходы к решению: графический способ, метод интервалов и путем выделение квадрата двучлена в левой части неравенства. Приведены решения характерных примеров.

Что такое квадратное неравенство?

Естественно, прежде чем говорить о решении квадратных неравенств, надо отчетливо понимать, что такое квадратное неравенство. Иными словами, нужно по виду записи уметь отличать квадратные неравенства от неравенств других видов.

Сразу дадим еще одно название квадратных неравенств – неравенства второй степени. Это название объясняется тем, что в левой части неравенств a·x²+b·x+c<0 находится многочлен второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Также иногда можно слышать, что квадратные неравенства называют квадратичными неравенствами. Это не совсем корректно: определение «квадратичные» относится к функциям, заданным уравнениями вида y=a·x²+b·x+c. Итак, есть квадратные неравенства и квадратичные функции, но не квадратичные неравенства.

Покажем несколько примеров квадратных неравенств: 5·x²−3·x+1>0, здесь a=5, b=−3 и c=1; −2,2·z²−0,5·z−11≤0, коэффициенты этого квадратного неравенства есть a=−2,2, b=−0,5 и c=−11; , в этом случае .

Обратите внимание, что в определении квадратного неравенства коэффициент a при x² считается отличным от нуля. Это и понятно, равенство коэффициента a нулю фактически «уберет» квадрат, и мы будем иметь дело с линейным неравенством вида b·x+c>0 без квадрата переменной. А вот коэффициенты b и c могут быть равными нулю, причем как по отдельности, так и одновременно. Вот примеры таких квадратных неравенств: x²−5≥0, здесь коэффициент b при переменной x равен нулю; −3·x²−0,6·x<0, здесь c=0; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z²>0 и b, и c равны нулю.

Как решать квадратные неравенства?

Теперь можно озадачиться вопросом как решать квадратные неравенства. В основном для решения используются три основных метода:

• графический способ (или, как у А. Г. Мордковича, функционально-графический),
• метод интервалов,
• и решение квадратных неравенств через выделение квадрата двучлена в левой части.

Графическим способом

Сразу оговоримся, что метод решения квадратных неравенств, к рассмотрению которого мы приступаем, в школьных учебниках алгебры не называют графическим. Однако по сути это он и есть. Более того, первое знакомство с графическим способом решения неравенств обычно и начинается тогда, когда встает вопрос, как решать квадратные неравенства.

Графический способ решения квадратных неравенств a·x²+b·x+c<0 (≤, >, ≥) заключается в анализе графика квадратичной функции y=a·x²+b·x+c для нахождения промежутков, в которых указанная функция принимает отрицательные, положительные, неположительные или неотрицательные значения. Эти промежутки и составляют решения квадратных неравенств a·x²+b·x+c<0, a·x²+b·x+c>0, a·x²+b·x+c≤0 и a·x²+b·x+c≥0 соответственно.

Разбор всех тонкостей этого способа, соответствующий ему алгоритм и детальные решения характерных примеров из-за довольно внушительного объема информации мы вынесли в отдельную статью - решение квадратных неравенств графическим способом.

Методом интервалов

Для решения квадратных неравенств с одной переменной помимо графического метода достаточно удобен метод интервалов, который сам по себе очень универсален, и подходит для решения различных неравенств, а не только квадратных. Его теоретическая сторона лежит за пределами курса алгебры 8, 9 классов, когда учатся решать квадратные неравенства. Поэтому здесь мы не будем вдаваться в теоретическое обоснование метода интервалов, а сосредоточимся на том, как с его помощью решаются именно квадратные неравенства.

Суть метода интервалов, по отношению к решению квадратных неравенств a·x²+b·x+c<0 (≤, >, ≥), состоит в определении знаков, которые имеют значения квадратного трехчлена a·x²+b·x+c на промежутках, на которые разбивается координатная ось нулями этого трехчлена (при их наличии). Промежутки со знаками минус составляют решения квадратного неравенства a·x²+b·x+c<0, со знаками плюс – неравенства a·x²+b·x+c>0, а при решении нестрогих неравенств к указанным промежуткам добавляются точки, отвечающие нулям трехчлена.

Познакомиться со всеми деталями этого метода, его алгоритмом, правилами расстановки знаков на промежутках и рассмотреть готовые решения типовых примеров с приведенными иллюстрациями Вы можете, обратившись к материалу статьи решение квадратных неравенств методом интервалов.

Путем выделения квадрата двучлена

Кроме графического метода и метода интервалов существуют и другие подходы, позволяющие решать квадратные неравенства. И мы подошли к одному из них, в основе которого лежит выделение квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства.

Принцип этого способа решения квадратных неравенств состоит в выполнении равносильных преобразований неравенства, позволяющих перейти к решению равносильного неравенства вида (x−p)²<q (≤, >, ≥), где p и q – некоторые числа.

А как осуществляется переход к неравенству (x−p)²<q (≤, >, ≥) и как его решить разъясняет материал статьи решение квадратных неравенств путем выделения квадрата двучлена. Там же представлены примеры решения квадратных неравенств этим способом и даны необходимые графические иллюстрации.

Неравенства, сводящиеся к квадратным

На практике очень часто приходится сталкиваться с неравенствами, приводящимися с помощью равносильных преобразований к квадратным неравенствам вида a·x²+b·x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Начнем с примеров самых простых неравенств, которые сводятся к квадратным. Иногда, чтобы перейти к квадратному неравенству, достаточно переставить в данном неравенстве слагаемые или перенести их из одной части в другую. Например, если перенести все слагаемые из правой части неравенства 5≤2·x−3·x² в левую, то получим квадратное неравенство в оговоренном выше виде 3·x²−2·x+5≤0. Еще пример: переставив в левой части неравенства 5+0,6·x²−x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x²−x+5<0.

В школе на уроках алгебры, когда учатся решать квадратные неравенства, одновременно разбираются и с решением рациональных неравенств, сводящихся к квадратным. Их решение предполагает перенос всех слагаемых в левую часть с последующим преобразованием образовавшегося там выражения к виду a·x²+b·x+c путем выполнения действий с многочленами. Рассмотрим пример.

К квадратным неравенствам часто сводятся и другие неравенства, которые изучаются немного позже. Например, иррациональное неравенство равносильно квадратному неравенству x²−6·x−9<0, а логарифмическое неравенство – неравенству x²+x−2≥0.