Неравенства, решение неравенств

Квадратные неравенства, примеры, решения.


В этой статье собран материал, покрывающий тему «решение квадратных неравенств». Сначала показано, что представляют собой квадратные неравенства с одной переменной, дан их общий вид. А дальше детально разобрано как решать квадратные неравенства. Показаны основные подходы к решению: графический способ, метод интервалов и путем выделение квадрата двучлена в левой части неравенства. Приведены решения характерных примеров.


Что такое квадратное неравенство?

Естественно, прежде чем говорить о решении квадратных неравенств, надо отчетливо понимать, что такое квадратное неравенство. Иными словами, нужно по виду записи уметь отличать квадратные неравенства от неравенств других видов.

Определение.

Квадратное неравенство – это неравенство вида a·x2+b·x+c<0 (вместо знака > может быть любой другой знак неравенства ≤, >, ≥), где a, b и c – некоторые числа, причем a≠0, а x – переменная (переменная может быть обозначена и любой другой буквой).

Сразу дадим еще одно название квадратных неравенств – неравенства второй степени. Это название объясняется тем, что в левой части неравенств a·x2+b·x+c<0 находится многочлен второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Также иногда можно слышать, что квадратные неравенства называют квадратичными неравенствами. Это не совсем корректно: определение «квадратичные» относится к функциям, заданным уравнениями вида y=a·x2+b·x+c. Итак, есть квадратные неравенства и квадратичные функции, но не квадратичные неравенства.

Покажем несколько примеров квадратных неравенств: 5·x2−3·x+1>0, здесь a=5, b=−3 и c=1; −2,2·z2−0,5·z−11≤0, коэффициенты этого квадратного неравенства есть a=−2,2, b=−0,5 и c=−11; , в этом случае .

Обратите внимание, что в определении квадратного неравенства коэффициент a при x2 считается отличным от нуля. Это и понятно, равенство коэффициента a нулю фактически «уберет» квадрат, и мы будем иметь дело с линейным неравенством вида b·x+c>0 без квадрата переменной. А вот коэффициенты b и c могут быть равными нулю, причем как по отдельности, так и одновременно. Вот примеры таких квадратных неравенств: x2−5≥0, здесь коэффициент b при переменной x равен нулю; −3·x2−0,6·x<0, здесь c=0; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z2>0 и b, и c равны нулю.

Как решать квадратные неравенства?


Теперь можно озадачиться вопросом как решать квадратные неравенства. В основном для решения используются три основных метода:

Графическим способом

Сразу оговоримся, что метод решения квадратных неравенств, к рассмотрению которого мы приступаем, в школьных учебниках алгебры не называют графическим. Однако по сути это он и есть. Более того, первое знакомство с графическим способом решения неравенств обычно и начинается тогда, когда встает вопрос, как решать квадратные неравенства.

Графический способ решения квадратных неравенств a·x2+b·x+c<0 (≤, >, ≥) заключается в анализе графика квадратичной функции y=a·x2+b·x+c для нахождения промежутков, в которых указанная функция принимает отрицательные, положительные, неположительные или неотрицательные значения. Эти промежутки и составляют решения квадратных неравенств a·x2+b·x+c<0, a·x2+b·x+c>0, a·x2+b·x+c≤0 и a·x2+b·x+c≥0 соответственно.

Разбор всех тонкостей этого способа, соответствующий ему алгоритм и детальные решения характерных примеров из-за довольно внушительного объема информации мы вынесли в отдельную статью - решение квадратных неравенств графическим способом.

Методом интервалов

Для решения квадратных неравенств с одной переменной помимо графического метода достаточно удобен метод интервалов, который сам по себе очень универсален, и подходит для решения различных неравенств, а не только квадратных. Его теоретическая сторона лежит за пределами курса алгебры 8, 9 классов, когда учатся решать квадратные неравенства. Поэтому здесь мы не будем вдаваться в теоретическое обоснование метода интервалов, а сосредоточимся на том, как с его помощью решаются именно квадратные неравенства.

Суть метода интервалов, по отношению к решению квадратных неравенств a·x2+b·x+c<0 (≤, >, ≥), состоит в определении знаков, которые имеют значения квадратного трехчлена a·x2+b·x+c на промежутках, на которые разбивается координатная ось нулями этого трехчлена (при их наличии). Промежутки со знаками минус составляют решения квадратного неравенства a·x2+b·x+c<0, со знаками плюс – неравенства a·x2+b·x+c>0, а при решении нестрогих неравенств к указанным промежуткам добавляются точки, отвечающие нулям трехчлена.

Познакомиться со всеми деталями этого метода, его алгоритмом, правилами расстановки знаков на промежутках и рассмотреть готовые решения типовых примеров с приведенными иллюстрациями Вы можете, обратившись к материалу статьи решение квадратных неравенств методом интервалов.

Путем выделения квадрата двучлена

Кроме графического метода и метода интервалов существуют и другие подходы, позволяющие решать квадратные неравенства. И мы подошли к одному из них, в основе которого лежит выделение квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства.

Принцип этого способа решения квадратных неравенств состоит в выполнении равносильных преобразований неравенства, позволяющих перейти к решению равносильного неравенства вида (x−p)2<q (≤, >, ≥), где p и q – некоторые числа.

А как осуществляется переход к неравенству (x−p)2<q (≤, >, ≥) и как его решить разъясняет материал статьи решение квадратных неравенств путем выделения квадрата двучлена. Там же представлены примеры решения квадратных неравенств этим способом и даны необходимые графические иллюстрации.

Неравенства, сводящиеся к квадратным

На практике очень часто приходится сталкиваться с неравенствами, приводящимися с помощью равносильных преобразований к квадратным неравенствам вида a·x2+b·x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Начнем с примеров самых простых неравенств, которые сводятся к квадратным. Иногда, чтобы перейти к квадратному неравенству, достаточно переставить в данном неравенстве слагаемые или перенести их из одной части в другую. Например, если перенести все слагаемые из правой части неравенства 5≤2·x−3·x2 в левую, то получим квадратное неравенство в оговоренном выше виде 3·x2−2·x+5≤0. Еще пример: переставив в левой части неравенства 5+0,6·x2−x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x2−x+5<0.

В школе на уроках алгебры, когда учатся решать квадратные неравенства, одновременно разбираются и с решением рациональных неравенств, сводящихся к квадратным. Их решение предполагает перенос всех слагаемых в левую часть с последующим преобразованием образовавшегося там выражения к виду a·x2+b·x+c путем выполнения действий с многочленами. Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите множество решений неравенства 3·(x−1)·(x+1)<(x−2)2+x2+5.

Решение.

Соберем все слагаемые в левой части неравенства, дальше применим формулы сокращенного умножения, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
3·(x−1)·(x+1)−(x−2)2−x2−5<0,
3·(x2−1)−(x2−4·x+4)−x2−5<0,
3·x2−3−x2+4·x−4−x2−5<0,
x2+4·x−12<0.

Так исходное неравенство свелось к равносильному квадратному неравенству, решить которое не составляет труда, например, графическим способом:
D’=22−1·(−12)=16,
x1=−6, x2=2,

Отсюда видно, что множеством решений является интервал (−6, 2).

Ответ:

(−6, 2).

К квадратным неравенствам часто сводятся и другие неравенства, которые изучаются немного позже. Например, иррациональное неравенство равносильно квадратному неравенству x2−6·x−9<0, а логарифмическое неравенство – неравенству x2+x−2≥0.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Профиль автора статьи в Google+