Математика на cleverstudents.ru

Неравенства, решение неравенств

Метод интервалов, примеры, решения.

Метод интервалов (или как его еще иногда называют метод промежутков) – это универсальный метод решения неравенств. Он подходит для решения разнообразных неравенств, однако наиболее удобен в решении рациональных неравенств с одной переменной. Поэтому в школьном курсе алгебры метод интервалов вплотную привязывают именно к рациональным неравенствам, а решению других неравенств с его помощью практически не уделяют внимания.

В этой статье мы детально разберем метод интервалов и затронем все тонкости решения неравенств с одной переменной с его помощью. Начнем с того, что приведем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Дальше поясним, на каких теоретических аспектах он базируется, и разберем шаги алгоритма, в частности, подробно остановимся на определении знаков на интервалах. После этого перейдем к практике и покажем решения нескольких типовых примеров. А в заключение рассмотрим метод интервалов в общем виде (то есть, без привязки к рациональным неравенствам), другими словами, обобщенный метод интервалов.

Алгоритм

Знакомство с методом интервалов в школе начинается при решении неравенств вида f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, > или ≥), где f(x) – это либо многочлен, представленный в виде произведения линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной x и/или квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом и их степеней, либо отношение таких многочленов. Для наглядности приведем примеры подобных неравенств: (x−5)·(x+5)≤0, (x+3)·(x²−x+1)·(x+2)³≥0, , .

Чтобы сделать дальнейший разговор предметным, сразу запишем алгоритм решения неравенств указанного выше вида методом интервалов, а потом разберемся, что да как да почему. Итак, по методу интервалов:

• Сначала находятся нули числителя и нули знаменателя. Для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения.
• После этого точки, соответствующие найденным нулям, отмечаются черточками на координатной прямой. Достаточно схематического чертежа, на котором не обязательно соблюдать масштаб, главное придерживаться расположения точек относительно друг друга: точка с меньшей координатой находится левее точки с большей координатой. После этого выясняется, какими следует их изобразить: обычными или выколотыми (с пустым центром). При решении строгого неравенства (со знаком < или >) все точки изображаются выколотыми. При решении нестрогого неравенства (со знаком ≤ или ≥) точки, отвечающие нулям знаменателя, делаются выколотыми, а оставшиеся отмеченные черточками точки – обычными. Эти точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков.
• Дальше определяются знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке (как это делается, подробно расскажем в одном из следующих пунктов), и над ними проставляются + или − в соответствии с определенными на них знаками.
• Наконец, при решении неравенства со знаком < или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком > или ≥ - над промежутками, отмеченными знаком +. В результате получается геометрическое представление числового множества, которое и является искомым решением неравенства.

Заметим, что приведенный алгоритм согласован с описанием метода интервалов в школьных учебниках [1, с. 12-23; 2, с. 88-91].

На чем базируется метод?

Подход, лежащий в основе метода интервалов, имеет место в силу следующего свойства непрерывной функции [3, с. 125]: если на интервале (a, b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак (от себя добавим, что аналогичное свойство справедливо и для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞)). А это свойство в свою очередь следует из теоремы Больцано-Коши (ее рассмотрение выходит за рамки школьной программы), формулировку и доказательство которой при необходимости можно найти, например, в книге [4, с. 123-124].

Для выражений f(x), имеющих указанный в предыдущем пункте вид, постоянство знака на промежутках можно обосновать и иначе, отталкиваясь от свойств числовых неравенств и учитывая правила умножения и деления чисел с одинаковыми знаками и разными знаками.

В качестве примера рассмотрим неравенство . Нули его числителя и знаменателя разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞). Покажем, что на промежутке (−∞, −1) выражение из левой части неравенства имеет постоянный знак (можно взять и другой промежуток, рассуждения будут аналогичными). Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно, очевидно, будет удовлетворять неравенству t<−1, и так как −1<5, то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5. Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1). Тогда правило деления отрицательных чисел позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1). Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Так мы плавно подошли к вопросу определения знаков на промежутках, но не будем перескакивать через первый шаг метода интервалов, подразумевающий нахождение нулей числителя и знаменателя.

Как находить нули числителя и знаменателя?

С нахождением нулей числителя и знаменателя дроби указанного в первом пункте вида обычно не возникает никаких проблем. Для этого выражения из числителя и знаменателя приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения. Принцип решения уравнений такого вида подробно изложен в статье решение уравнений методом разложения на множители. Здесь лишь ограничимся примером.

Рассмотрим дробь и найдем нули ее числителя и знаменателя. Начнем с нулей числителя. Приравниваем числитель к нулю, получаем уравнение x·(x−0,6)=0, от которого переходим к совокупности двух уравнений x=0 и x−0,6=0, откуда находим два корня 0 и 0,6. Это искомые нули числителя. Теперь находим нули знаменателя. Составляем уравнение x⁷·(x²+2·x+7)²·(x+5)³=0, оно равносильно совокупности трех уравнений x⁷=0, (x²+2·x+7)²=0, (x+5)³=0, и дальше x=0, x²+2·x+7=0, x+5=0. Корень первого из этих уравнений очевиден, это 0, второе уравнение корней не имеет, так как его дискриминант отрицательный, а корень третьего уравнения есть −5. Итак, мы нашли нули знаменателя, их оказалось два: 0 и −5. Заметим, что 0 оказался как нулем числителя, так и нулем знаменателя.

Для нахождения нулей числителя и знаменателя в общем случае, когда в левой части неравенства дробь, но не обязательно рациональная, также числитель и знаменатель приравниваются к нулю, и решаются соответствующие уравнения.

Как определять знаки на интервалах?

Самый надежный способ определения знака выражения из левой части неравенства на каждом промежутке состоит в вычислении значения этого выражения в какой-либо одной точке из каждого промежутка. При этом искомый знак на промежутке совпадает со знаком значения выражения в любой точке этого промежутка. Поясним это на примере.

Возьмем неравенство . Выражение из его левой части не имеет нулей числителя, а нулем знаменателя является число −3. Оно делит числовую прямую на два промежутка (−∞, −3) и (−3, +∞). Определим знаки на них. Для этого возьмем по одной точке из этих промежутков, и вычислим значения выражения в них. Сразу заметим, что целесообразно брать такие точки, чтобы проводить вычисления было легко. Например, из первого промежутка (−∞, −3) можно взять −4. При x=−4 имеем , получили значение со знаком минус (отрицательное), поэтому, на этом интервале будет знак минус. Переходим к определению знака на втором промежутке (−3, +∞). Из него удобно взять 0 (если 0 входит в промежуток, то целесообразно всегда брать его, так как при x=0 вычисления оказываются наиболее простыми). При x=0 имеем . Это значение со знаком плюс (положительное), поэтому, на этом интервале будет знак плюс.

Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль. Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя, но не знаменателя, или через нуль знаменателя, но не числителя, знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная. А при переходе через точку, являющуюся одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя, знак изменяется, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная.

Кстати, если выражение в правой части неравенства имеет вид, указанный в начале первого пункта этой статьи, то на крайнем правом промежутке будет знак плюс.

Чтобы все стало понятно, рассмотрим пример.

Пусть перед нами неравенство , и мы его решаем методом интервалов. Для этого находим нули числителя 2, 3, 4 и нули знаменателя 1, 3, 4, отмечаем их на координатной прямой сначала черточками

затем нули знаменателя заменяем изображениями выколотых точек

и так как решаем нестрогое неравенство, то оставшиеся черточки заменяем обыкновенными точками

А дальше наступает момент определения знаков на промежутках. Как мы заметили перед этим примером, на крайнем правом промежутке (4, +∞) будет знак +:

Определим остальные знаки, при этом будем продвигаться от промежутка к промежутку справа налево. Переходя к следующему интервалу (3, 4), мы переходим через точку с координатой 4. Это нуль как числителя, так и знаменателя, эти нули дают выражения (x−4)² и x−4, сумма их степеней равна 2+1=3, а это нечетное число, значит, при переходе через эту точку нужно изменить знак. Поэтому, на интервале (3, 4) будет знак минус:

Идем дальше к интервалу (2, 3), при этом переходим через точку с координатой 3. Это нуль также как числителя, так и знаменателя, его дают выражения (x−3)³ и (x−3)⁵, сумма их степеней равна 3+5=8, а это четное число, поэтому, знак останется неизменным:

Продвигаемся дальше к интервалу (1, 2). Путь к нему нам преграждает точка с координатой 2. Это нуль числителя, его дает выражение x−2, его степень равна 1, то есть она нечетная, следовательно, при переходе через эту точку знак изменится:

Наконец, осталось определить знак на последнем интервале (−∞, 1). Чтобы попасть на него, нам необходимо преодолеть точку с координатой 1. Это нуль знаменателя, его дает выражение (x−1)⁴, его степень равна 4, то есть, она четная, следовательно, знак при переходе через эту точку изменяться не будет. Так мы определили все знаки, и рисунок приобретает такой вид:

Понятно, что применение рассмотренного метода особенно оправдано, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. К примеру, вычислите-ка значение выражения в любой точке интервала .

Будем считать, что с нахождением знаков на промежутках разобрались.

Примеры решения неравенств методом интервалов

Теперь можно собрать воедино всю представленную информацию, достаточную для решения неравенств методом интервалов, и разобрать решения нескольких примеров.

Справедливости ради обратим внимание на то, что в подавляющем большинстве случаев при решении рациональных неравенств их предварительно приходится преобразовывать к нужному виду, чтобы стало возможным их решение методом интервалов. Как проводить такие преобразования мы подробно обсудим в статье решение рациональных неравенств, а сейчас приведем пример, иллюстрирующий один важный момент, касающийся квадратных трехчленов в записи неравенств.

Обобщенный метод интервалов

Обобщенный метод интервалов позволяет решать неравенства вида f(x)<0 (≤, >, ≥), где f(x) – произвольное выражение с одной переменной x. Запишем алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов:

• Сначала надо найти область определения функции f и нули этой функции.
• На числовой прямой отмечаются граничные, в том числе и отдельные точки области определения. Например, если областью определения функции служит множество (−5, 1]∪{3}∪[4, 7)∪{10}, то мы отметим точки с координатами −5, 1, 3, 4, 7 и 10, причем точки с координатами −5 и 7 сделаем выколотыми, а остальные - сплошными. Для удобства будем их изображать цветными, например, оранжевыми, чтобы в дальнейшем не путать с нулями функции.
• Дальше на числовую прямую переносятся нули функции. Они изображаются выколотыми точками при решении строгих неравенств, а при решении нестрогих неравенств – обыкновенными точками. Возможны случаи, когда нули функции будут совпадать с граничными и/или отдельными точками области определения. При этом точки из цветного перекрашиваются в основной черный цвет и при решении строгих неравенств делаются выколотыми. Нули разбивают область определения функции на промежутки.
• Определяются знаки на каждом промежутке области определения, в основном путем вычисления значения функции f в какой-либо одной точке из каждого промежутка, а также знаки функции во всех отдельных точках (при их наличии).
• Дальше наносится штриховка. Если решается неравенство со знаком < или ≤, то наносится штриховка над промежутками со знаком −, а если решается неравенство со знаком > или ≥, то над промежутками со знаком +.
• Наконец, записывается ответ. Им будет числовое множество, включающее в себя
• все промежутки со штриховкой
• все отдельные точки области определения со знаком +, если знак решаемого неравенства > или ≥, со знаком −, если знак решаемого неравенства < или ≤.

Понятно, что алгоритм, приведенный в начале статьи, является частным случаем этого алгоритма. В нем нахождение нулей знаменателя по сути является нахождением области определения функции, соответствующей левой части неравенства.

Покажем применение обобщенного метода интервалов на практике.