Неравенства, решение неравенств

Метод интервалов, примеры, решения.


Метод интервалов (или как его еще иногда называют метод промежутков) – это универсальный метод решения неравенств. Он подходит для решения разнообразных неравенств, однако наиболее удобен в решении рациональных неравенств с одной переменной. Поэтому в школьном курсе алгебры метод интервалов вплотную привязывают именно к рациональным неравенствам, а решению других неравенств с его помощью практически не уделяют внимания.

В этой статье мы детально разберем метод интервалов и затронем все тонкости решения неравенств с одной переменной с его помощью. Начнем с того, что приведем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Дальше поясним, на каких теоретических аспектах он базируется, и разберем шаги алгоритма, в частности, подробно остановимся на определении знаков на интервалах. После этого перейдем к практике и покажем решения нескольких типовых примеров. А в заключение рассмотрим метод интервалов в общем виде (то есть, без привязки к рациональным неравенствам), другими словами, обобщенный метод интервалов.


Алгоритм

Знакомство с методом интервалов в школе начинается при решении неравенств вида f(x)<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, > или ≥), где f(x) – это либо многочлен, представленный в виде произведения линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной x и/или квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом и их степеней, либо отношение таких многочленов. Для наглядности приведем примеры подобных неравенств: (x−5)·(x+5)≤0, (x+3)·(x2−x+1)·(x+2)3≥0, , .

Чтобы сделать дальнейший разговор предметным, сразу запишем алгоритм решения неравенств указанного выше вида методом интервалов, а потом разберемся, что да как да почему. Итак, по методу интервалов:

Заметим, что приведенный алгоритм согласован с описанием метода интервалов в школьных учебниках [1, с. 12-23; 2, с. 88-91].

На чем базируется метод?


Подход, лежащий в основе метода интервалов, имеет место в силу следующего свойства непрерывной функции [3, с. 125]: если на интервале (a, b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак (от себя добавим, что аналогичное свойство справедливо и для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞)). А это свойство в свою очередь следует из теоремы Больцано-Коши (ее рассмотрение выходит за рамки школьной программы), формулировку и доказательство которой при необходимости можно найти, например, в книге [4, с. 123-124].

Для выражений f(x), имеющих указанный в предыдущем пункте вид, постоянство знака на промежутках можно обосновать и иначе, отталкиваясь от свойств числовых неравенств и учитывая правила умножения и деления чисел с одинаковыми знаками и разными знаками.

В качестве примера рассмотрим неравенство . Нули его числителя и знаменателя разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞). Покажем, что на промежутке (−∞, −1) выражение из левой части неравенства имеет постоянный знак (можно взять и другой промежуток, рассуждения будут аналогичными). Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно, очевидно, будет удовлетворять неравенству t<−1, и так как −1<5, то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5. Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1). Тогда правило деления отрицательных чисел позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1). Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Так мы плавно подошли к вопросу определения знаков на промежутках, но не будем перескакивать через первый шаг метода интервалов, подразумевающий нахождение нулей числителя и знаменателя.

Как находить нули числителя и знаменателя?

С нахождением нулей числителя и знаменателя дроби указанного в первом пункте вида обычно не возникает никаких проблем. Для этого выражения из числителя и знаменателя приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения. Принцип решения уравнений такого вида подробно изложен в статье решение уравнений методом разложения на множители. Здесь лишь ограничимся примером.

Рассмотрим дробь и найдем нули ее числителя и знаменателя. Начнем с нулей числителя. Приравниваем числитель к нулю, получаем уравнение x·(x−0,6)=0, от которого переходим к совокупности двух уравнений x=0 и x−0,6=0, откуда находим два корня 0 и 0,6. Это искомые нули числителя. Теперь находим нули знаменателя. Составляем уравнение x7·(x2+2·x+7)2·(x+5)3=0, оно равносильно совокупности трех уравнений x7=0, (x2+2·x+7)2=0, (x+5)3=0, и дальше x=0, x2+2·x+7=0, x+5=0. Корень первого из этих уравнений очевиден, это 0, второе уравнение корней не имеет, так как его дискриминант отрицательный, а корень третьего уравнения есть −5. Итак, мы нашли нули знаменателя, их оказалось два: 0 и −5. Заметим, что 0 оказался как нулем числителя, так и нулем знаменателя.

Для нахождения нулей числителя и знаменателя в общем случае, когда в левой части неравенства дробь, но не обязательно рациональная, также числитель и знаменатель приравниваются к нулю, и решаются соответствующие уравнения.

Как определять знаки на интервалах?

Самый надежный способ определения знака выражения из левой части неравенства на каждом промежутке состоит в вычислении значения этого выражения в какой-либо одной точке из каждого промежутка. При этом искомый знак на промежутке совпадает со знаком значения выражения в любой точке этого промежутка. Поясним это на примере.

Возьмем неравенство . Выражение из его левой части не имеет нулей числителя, а нулем знаменателя является число −3. Оно делит числовую прямую на два промежутка (−∞, −3) и (−3, +∞). Определим знаки на них. Для этого возьмем по одной точке из этих промежутков, и вычислим значения выражения в них. Сразу заметим, что целесообразно брать такие точки, чтобы проводить вычисления было легко. Например, из первого промежутка (−∞, −3) можно взять −4. При x=−4 имеем , получили значение со знаком минус (отрицательное), поэтому, на этом интервале будет знак минус. Переходим к определению знака на втором промежутке (−3, +∞). Из него удобно взять 0 (если 0 входит в промежуток, то целесообразно всегда брать его, так как при x=0 вычисления оказываются наиболее простыми). При x=0 имеем . Это значение со знаком плюс (положительное), поэтому, на этом интервале будет знак плюс.

Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль. Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя, но не знаменателя, или через нуль знаменателя, но не числителя, знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная. А при переходе через точку, являющуюся одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя, знак изменяется, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная.

Кстати, если выражение в правой части неравенства имеет вид, указанный в начале первого пункта этой статьи, то на крайнем правом промежутке будет знак плюс.

Чтобы все стало понятно, рассмотрим пример.

Пусть перед нами неравенство , и мы его решаем методом интервалов. Для этого находим нули числителя 2, 3, 4 и нули знаменателя 1, 3, 4, отмечаем их на координатной прямой сначала черточками

затем нули знаменателя заменяем изображениями выколотых точек

и так как решаем нестрогое неравенство, то оставшиеся черточки заменяем обыкновенными точками

А дальше наступает момент определения знаков на промежутках. Как мы заметили перед этим примером, на крайнем правом промежутке (4, +∞) будет знак +:

Определим остальные знаки, при этом будем продвигаться от промежутка к промежутку справа налево. Переходя к следующему интервалу (3, 4), мы переходим через точку с координатой 4. Это нуль как числителя, так и знаменателя, эти нули дают выражения (x−4)2 и x−4, сумма их степеней равна 2+1=3, а это нечетное число, значит, при переходе через эту точку нужно изменить знак. Поэтому, на интервале (3, 4) будет знак минус:

Идем дальше к интервалу (2, 3), при этом переходим через точку с координатой 3. Это нуль также как числителя, так и знаменателя, его дают выражения (x−3)3 и (x−3)5, сумма их степеней равна 3+5=8, а это четное число, поэтому, знак останется неизменным:

Продвигаемся дальше к интервалу (1, 2). Путь к нему нам преграждает точка с координатой 2. Это нуль числителя, его дает выражение x−2, его степень равна 1, то есть она нечетная, следовательно, при переходе через эту точку знак изменится:

Наконец, осталось определить знак на последнем интервале (−∞, 1). Чтобы попасть на него, нам необходимо преодолеть точку с координатой 1. Это нуль знаменателя, его дает выражение (x−1)4, его степень равна 4, то есть, она четная, следовательно, знак при переходе через эту точку изменяться не будет. Так мы определили все знаки, и рисунок приобретает такой вид:

Понятно, что применение рассмотренного метода особенно оправдано, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. К примеру, вычислите-ка значение выражения в любой точке интервала .

Будем считать, что с нахождением знаков на промежутках разобрались.

Примеры решения неравенств методом интервалов

Теперь можно собрать воедино всю представленную информацию, достаточную для решения неравенств методом интервалов, и разобрать решения нескольких примеров.

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Проведем решение этого неравенства методом интервалов. Очевидно, нули числителя это 1 и −5, а нули знаменателя и 1. Отмечаем их на числовой прямой, при этом точки с координатами и 1 выколотые как нули знаменателя, а оставшийся нуль числителя −5 изобразим обычной точкой, так как решаем нестрогое неравенство:

Теперь проставляем знаки на промежутках, придерживаясь правила сохранения или изменения знака при переходе через нули. Над крайним справа промежутком будет знак + (это можно проверить, вычислив значение выражения в левой части неравенства в какой-либо точке этого промежутка, например, при x=3). При переходе через знак изменяем, при переходе через 1 – оставляем таким же, и при переходе через −5 опять оставляем знак без изменения:

Так как мы решаем неравенство со знаком ≤, то осталось изобразить штриховку над промежутками, отмеченными знаком −, и по полученному изображению записать ответ.

Итак, искомое решение таково: .

Ответ:

.

Справедливости ради обратим внимание на то, что в подавляющем большинстве случаев при решении рациональных неравенств их предварительно приходится преобразовывать к нужному виду, чтобы стало возможным их решение методом интервалов. Как проводить такие преобразования мы подробно обсудим в статье решение рациональных неравенств, а сейчас приведем пример, иллюстрирующий один важный момент, касающийся квадратных трехчленов в записи неравенств.

Пример.

Найдите решение неравенства .

Решение.

С первого взгляда на данное неравенство кажется, что его вид подходит для применения метода интервалов. Но не помешает проверить, действительно ли дискриминанты квадратных трехчленов в его записи отрицательны. Вычислим их для успокоения совести. Для трехчлена x2+3·x+3 имеем D=32−4·1·3=−3<0, а для трехчлена x2+2·x−8 получаем D’=12−1·(−8)=9>0. Это означает, что для придания этому неравенству нужного вида требуются преобразования. В данном случае достаточно трехчлен x2+2·x−8 представить как (x+4)·(x−2), и дальше решать методом интервалов неравенство .

Ответ:

.

Обобщенный метод интервалов

Обобщенный метод интервалов позволяет решать неравенства вида f(x)<0 (≤, >, ≥), где f(x) – произвольное выражение с одной переменной x. Запишем алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов:

Понятно, что алгоритм, приведенный в начале статьи, является частным случаем этого алгоритма. В нем нахождение нулей знаменателя по сути является нахождением области определения функции, соответствующей левой части неравенства.

Покажем применение обобщенного метода интервалов на практике.

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Вводим функцию f такую, что . Сначала нужно найти область определения функции f:

Также нам нужны нули этой функции. Для их нахождения проводим решение иррационального уравнения , находим единственный корень x=12.

Отмечаем оранжевым цветом на числовой прямой граничные точки области определения, сплошными делаем точки с координатами −6 и 4, а точку с координатой 7 делаем выколотой. Отдельных точек область определения не имеет. Вот что мы получаем:

Теперь на числовую прямую добавляем нуль функции, отмечаем его выколотой точкой, так как решаем строгое неравенство. (Если бы нуль функции совпал с граничной точкой −6 или 4, то мы бы ее из сплошной оранжевой сделали выколотой черной, с семеркой нуль совпасть, естественно, не мог бы, так как в ней функция не определена). Имеем:

Теперь нам надо определить знаки на четырех промежутках (12, +∞), (7, 12), [4, 7) и (−∞, −6] (на интервале (−6, 4) знак не определяем, так как он не является частью области определения функции). Для этого возьмем по одной точке из каждого промежутка, например, 16, 8, 6 и −8, и вычислим в них значение функции f:

Если возникли вопросы как было выяснено, какими являются вычисленные значения функции, положительными или отрицательными, то изучите материал статьи сравнение чисел.

Расставляем только что определенные знаки, и наносим штриховку над промежутками со знаком минус:

В ответ записываем объединение двух промежутков со знаком −, имеем (−∞, −6]∪(7, 12). Обратите внимание, что −6 включено в ответ (соответствующая точка сплошная, а не выколотая). Дело в том, что это не нуль функции (который при решении строгого неравенства мы бы не включили в ответ), а граничная точка области определения (она цветная, а не черная), при этом входящая в область определения. Значение функции в этой точке отрицательно (о чем свидетельствует знак минус над соответствующим промежутком), то есть, она удовлетворяет неравенству. А вот 4 включать в ответ не нужно (как и весь промежуток [4, 7)), несмотря на то, что она изображена сплошной. Почему? Да потому что в ней, как и на веем промежутке [4, 7), значения функции положительны (о чем свидетельствует знак плюс над ним), а это не удовлетворяет решаемому неравенству.

Итак, невыколотые цветные точки включаются в ответ в двух случаях:

  • если они являются частью промежутка со штриховкой,
  • если они являются отдельными точками области определения функции, значения функции в которых удовлетворяют решаемому неравенству.

Ответ:

(−∞, −6]∪(7, 12).



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  1. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. – М.: Высш. школа, 1981, т. 1. – 687 с., ил.

Профиль автора статьи в Google+