Математика на cleverstudents.ru

Неравенства, решение неравенств

Линейные неравенства, примеры, решения.

После того как получены начальные сведения о неравенствах с переменными, можно смело переходить к вопросу решения неравенств. Первыми на этом пути встают линейные неравенства с одной переменной. В этой статье мы подробно разберем, какой вид они имеют, какие методы существуют для решения линейных неравенств, дадим соответствующие алгоритмы и в деталях рассмотрим характерные примеры с решениями и пояснениями.

Сразу отметим, что здесь мы будем говорить лишь про линейные неравенства с одной переменной, а линейным неравенствам с двумя переменными выделим отдельную статью.

Что такое линейное неравенство?

Для начала естественно определиться с тем, что же такое линейное неравенство с одной переменной. Другими словами, нужно узнать, как линейные неравенства выглядят в общем виде, чтобы можно было их отличать от других видов неравенств.

При просмотре школьных учебников по алгебре выяснилось, что определения разнятся, хотя и не принципиально. Приведем варианты определений линейного неравенства.

В учебнике Мордковича А. Г. для 9 классов приводится такое определение:

В свою очередь в учебнике алгебры для 8 классов автора Макарычева Ю. Н. линейные неравенства определяются немного иначе:

Здесь ничего не сказано о том, что коэффициент a при переменной x не может быть равен нулю, значит, допускается его равенство нулю, и неравенства вида 0·x>c и 0·x<c автор называет линейными. В этом определении также не упомянуты знаки нестрогих неравенств; с нашей точки зрения ничего ни мешает и неравенства a·x≤c, a·x≥c считать линейными.

Итак, главное различие между двумя этими определениями состоит в двух моментах:

• в форме записи (a·x+b>0 в первом, и a·x>c – во втором);
• и в допустимости равенства коэффициента a нулю (a≠0 - в первом, и a может быть равно нулю - во втором).

Первый момент не существенен в том плане, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c являются равносильными неравенствами, так как могут быть получены одно из другого переносом слагаемого из одной части в другую с противоположным знаком. Однако отдадим предпочтение первой записи, как мы это сделали и в разговоре о линейных уравнениях. Что же касается коэффициента при переменной, то на практике можно столкнуться, например, с неравенством 0·x+5>0, и так или иначе его придется решать, так что не будем отбрасывать случаи a=0.

Подведем итог нашим рассуждениям: чтобы у нас в дальнейшем не возникало разногласий, давайте условимся считать линейными неравенствами в одной переменной x неравенства вида a·x+b<0, a·x+b>0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b могут быть любыми действительными числами. Понятно, что переменная может быть обозначена не только буквой x, но и любой другой буквой.

Согласно нашей договоренности, неравенства 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, - это примеры линейных неравенств. А вот неравенства 5·x>7, −0,5·y≤−1,2 и т.п. мы будем называть неравенствами, сводящимися к линейным. Здесь же отметим, что масса других неравенств могут сводиться к линейным неравенствам, о них мы еще скажем в последнем пункте этой статьи.

Как решить линейное неравенство?

Теперь можно разбираться, как решаются линейные неравенства a·x+b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Основной способ их решения заключается в использовании равносильных преобразований, позволяющих прийти при a≠0 к элементарным неравенствам вида x<p (≤, >, ≥), p - некоторое число, которые и являются искомым решением, а при a=0 – к числовым неравенствам вида a<p (≤, >, ≥), из которых делается вывод о решении исходного неравенства. Его мы и разберем в первую очередь.

Также не помешает взглянуть на решение линейных неравенств с одной переменной и с других позиций. Поэтому, мы еще покажем, как можно решить линейное неравенство графически и методом интервалов.

Используя равносильные преобразования

Пусть нам нужно решить линейное неравенство a·x+b<0 (≤, >, ≥). Покажем, как это сделать, используя равносильные преобразования неравенства.

Подходы при этом различаются в зависимости от равенства или неравенства нулю коэффициента a при переменной x. Рассмотрим их по очереди. Причем при рассмотрении будем придерживаться схемы из трех пунктов: сначала будем давать суть процесса, дальше – алгоритм решения линейного неравенства, наконец, приводить решения характерных примеров.

Начнем с алгоритма решения линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0.

• Во-первых, число b переносится в правую часть неравенства с противоположным знаком. Это позволяет перейти к равносильному неравенству a·x<−b (≤, >, ≥).
• Во-вторых, проводится деление обеих частей полученного неравенства на отличное от нуля число a. При этом, если a – положительное число, то знак неравенства сохраняется, а если a - отрицательное число, то знак неравенства изменяется на противоположный. В результате получается элементарное неравенство, равносильное исходному линейному неравенству, оно и является ответом.

Остается разобраться с применением озвученного алгоритма на примерах. Рассмотрим, как с его помощью решаются линейные неравенства при a≠0.

Теперь переходим к случаю, когда a=0. Принцип решения линейного неравенства a·x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0, то есть, неравенства 0·x+b<0, заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

На чем это основано? Очень просто: на определении решения неравенства. Каким образом? Да вот каким: какое бы значение переменной x мы не подставили в исходное линейное неравенство, мы получим числовое неравенство вида b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0, откуда b<0). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Сформулируем приведенные рассуждения в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥):

• Рассматриваем числовое неравенство b<0 (≤, >, ≥) и
• если оно верное, то решением исходного неравенства является любое число;
• если же оно неверное, то исходное линейное неравенство не имеет решений.

А теперь разберемся с этим на примерах.

В заключение этого пункта разберем решения двух линейных неравенств, оба коэффициента которых равны нулю.

Методом интервалов

Вообще, метод интервалов изучается в школьном курсе алгебры позже, чем проходится тема решение линейных неравенств с одной переменной. Но метод интервалов позволяет решать самые разные неравенства, в том числе и линейные. Поэтому, остановимся на нем.

Сразу заметим, что метод интервалов целесообразно применять для решения линейных неравенств с отличным от нуля коэффициентом при переменной x. В противном случае вывод о решении неравенства быстрее и удобнее сделать способом, разобранным в конце предыдущего пункта.

Метод интервалов подразумевает

• введение функции, отвечающей левой части неравенства, в нашем случае – линейной функции y=a·x+b,
• нахождение ее нулей, которые разбивают область определения на промежутки,
• определение знаков, которые имеют значения функции на этих промежутках, на основе которых делается вывод о решении линейного неравенства.

Соберем эти моменты в алгоритм, раскрывающий как решать линейные неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 методом интервалов:

• Находятся нули функции y=a·x+b, для чего решается линейное уравнение a·x+b=0. Как известно, при a≠0 оно имеет единственный корень, который обозначим x₀.
• Строится координатная прямая, и на ней изображается точка с координатой x₀. Причем, если решается строгое неравенство (со знаком < или >), то эту точку делают выколотой (с пустым центром), а если нестрогое (со знаком ≤ или ≥), то ставят обычную точку. Эта точка разбивает координатную прямую на два промежутка (−∞, x₀) и (x₀, +∞).
• Определяются знаки функции y=a·x+b на этих промежутках. Для этого вычисляется значение этой функции в любой точке промежутка (−∞, x₀), и знак этого значения и будет искомым знаком на промежутке (−∞, x₀). Аналогично, знак на промежутке (x₀, +∞) совпадает со знаком значения функции y=a·x+b в любой точке этого промежутка. Но можно обойтись без этих вычислений, а выводы о знаках сделать по значению коэффициента a: если a>0, то на промежутках (−∞, x₀) и (x₀, +∞) будут знаки − и + соответственно, а если a>0, то + и −.
• Если решается неравенство со знаками > или ≥, то ставится штриховка над промежутком со знаком плюс, а если решаются неравенства со знаками < или ≤, то – со знаком минус. В результате получается геометрическое изображение числового множества, которое и является искомым решением линейного неравенства.

Рассмотрим пример решения линейного неравенства методом интервалов.

Графическим способом

Полезно иметь представление о геометрической интерпретации решения линейных неравенств с одной переменной. Чтобы его получить, давайте рассмотрим четыре линейных неравенства с одной и той же левой частью: 0,5·x−1<0, 0,5·x−1≤0, 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0, их решениями являются соответственно x<2, x≤2, x>2 и x≥2, а также изобразим график линейной функции y=0,5·x−1.

Несложно заметить, что

• решение неравенства 0,5·x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• решение неравенства 0,5·x−1≤0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 находится ниже оси Ox или совпадает с ней (другими словами, не выше оси абсцисс),
• аналогично решение неравенства 0,5·x−1>0 есть промежуток, на котором график функции выше оси Ox (эта часть графика изображена красным цветом),
• и решение неравенства 0,5·x−1≥0 является промежутком, на котором график функции выше или совпадает с осью абсцисс.

Графический способ решения неравенств, в частности линейных, и подразумевает нахождение промежутков, на которых график функции, соответствующей левой части неравенства, располагается выше, ниже, не ниже или не выше графика функции, соответствующей правой части неравенства. В нашем случае линейного неравенства функция, отвечающая левой части, есть y=a·x+b, а правой части – y=0, совпадающая с осью Ox.

Учитывая приведенную информацию, несложно сформулировать алгоритм решения линейных неравенств графическим способом:

• Строится график функции y=a·x+b (можно схематически) и
• при решении неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox,
• при решении неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, на котором график ниже или совпадает с осью Ox,
• при решении неравенства a·x+b>0 определяется промежуток, на котором график выше оси Ox,
• при решении неравенства a·x+b≥0 определяется промежуток, на котором график выше или совпадает с осью Ox.

Графическим способом можно решать и линейные неравенства с коэффициентом a, равным нулю. В этом случае левой части будет отвечать функция вида y=0·x+b, она же y=b. А ее графиком является прямая, параллельная оси Ox, или же совпадающая с ней при b=0. В этих случаях линейные неравенства либо не имеют решений, либо их решением является любое действительное число.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Огромное количество неравенств с помощью равносильных преобразований можно заменить равносильным линейным неравенством, другими словами, свести к линейному неравенству. Такие неравенства называют неравенствами, сводящимися к линейным.

В школе почти одновременно с решением линейных неравенств рассматривают и несложные неравенства, сводящиеся к линейным. Они представляют собой частные случаи целых неравенств, а именно в их левой и правой части находятся целые выражения, которые представляют собой или линейные двучлены, или преобразуются к ним путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Для наглядности приведем несколько примеров таких неравенств: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Неравенства, которые подобны по виду указанным выше, всегда можно свести к линейным. Это можно сделать путем раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, перестановки слагаемых местами и переноса слагаемых из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Например, чтобы свести неравенство 5−2·x>0 к линейному, достаточно переставить слагаемые в его левой части местами, имеем −2·x+5>0. Для сведения второго неравенства 7·(x−1)+3≤4·x−2+x к линейному нужно немного больше действий: в левой части раскрываем скобки 7·x−7+3≤4·x−2+x, после этого приводим подобные слагаемые в обеих частях 7·x−4≤5·x−2, дальше переносим слагаемые из правой части в левую 7·x−4−5·x+2≤0, наконец, приводим подобные слагаемые в левой части 2·x−2≤0. Подобным образом и третье неравенство можно свести к линейному неравенству.

Из-за того, что подобные неравенства всегда можно свести к линейным, некоторые авторы даже называют их тоже линейными. Но все же будем их считать сводящимися к линейным.

Теперь становится понятно, почему подобные неравенства рассматривают вместе с линейными неравенствами. Да и принцип их решения абсолютно такой же: выполняя равносильные преобразования, их можно привести к элементарным неравенствам, представляющим собой искомые решения.

Чтобы решить неравенство подобного вида можно его предварительно свести к линейному, после чего решить это линейное неравенство. Но рациональнее и удобнее поступать так:

• после раскрытия скобок собрать все слагаемые с переменной в левой части неравенства, а все числа – в правой,
• после чего привести подобные слагаемые,
• а дальше – выполнить деление обеих частей полученного неравенства на коэффициент при x (если он, конечно, отличен от нуля). Это даст ответ.

В заключение отметим, что существует и масса других неравенств, сводящихся к линейным неравенствам, или к неравенствам рассмотренного выше вида. Например, решение показательного неравенства 5^2·x−1≥1 сводится к решению линейного неравенства 2·x−1≥0. Но об этом будем говорить, разбирая решения неравенств соответствующего вида.