Неравенства, решение неравенств

Линейные неравенства, примеры, решения.


После того как получены начальные сведения о неравенствах с переменными, можно смело переходить к вопросу решения неравенств. Первыми на этом пути встают линейные неравенства с одной переменной. В этой статье мы подробно разберем, какой вид они имеют, какие методы существуют для решения линейных неравенств, дадим соответствующие алгоритмы и в деталях рассмотрим характерные примеры с решениями и пояснениями.

Сразу отметим, что здесь мы будем говорить лишь про линейные неравенства с одной переменной, а линейным неравенствам с двумя переменными выделим отдельную статью.


Что такое линейное неравенство?

Для начала естественно определиться с тем, что же такое линейное неравенство с одной переменной. Другими словами, нужно узнать, как линейные неравенства выглядят в общем виде, чтобы можно было их отличать от других видов неравенств.

При просмотре школьных учебников по алгебре выяснилось, что определения разнятся, хотя и не принципиально. Приведем варианты определений линейного неравенства.

В учебнике Мордковича А. Г. для 9 классов приводится такое определение:

Определение.

Линейным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида a·x+b>0, где вместо знака > естественно может быть любой другой знак неравенства (<, ≤, ≥), а a и bдействительные числа, причем a≠0.

В свою очередь в учебнике алгебры для 8 классов автора Макарычева Ю. Н. линейные неравенства определяются немного иначе:

Определение.

Неравенства вида a·x<c или a·x>c, где x – переменная, а a и c – некоторые числа, называются линейными неравенствами с одной переменной.

Здесь ничего не сказано о том, что коэффициент a при переменной x не может быть равен нулю, значит, допускается его равенство нулю, и неравенства вида 0·x>c и 0·x<c автор называет линейными. В этом определении также не упомянуты знаки нестрогих неравенств; с нашей точки зрения ничего ни мешает и неравенства a·x≤c, a·x≥c считать линейными.

Итак, главное различие между двумя этими определениями состоит в двух моментах:

Первый момент не существенен в том плане, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c являются равносильными неравенствами, так как могут быть получены одно из другого переносом слагаемого из одной части в другую с противоположным знаком. Однако отдадим предпочтение первой записи, как мы это сделали и в разговоре о линейных уравнениях. Что же касается коэффициента при переменной, то на практике можно столкнуться, например, с неравенством 0·x+5>0, и так или иначе его придется решать, так что не будем отбрасывать случаи a=0.

Подведем итог нашим рассуждениям: чтобы у нас в дальнейшем не возникало разногласий, давайте условимся считать линейными неравенствами в одной переменной x неравенства вида a·x+b<0, a·x+b>0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b могут быть любыми действительными числами. Понятно, что переменная может быть обозначена не только буквой x, но и любой другой буквой.

Согласно нашей договоренности, неравенства 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, - это примеры линейных неравенств. А вот неравенства 5·x>7, −0,5·y≤−1,2 и т.п. мы будем называть неравенствами, сводящимися к линейным. Здесь же отметим, что масса других неравенств могут сводиться к линейным неравенствам, о них мы еще скажем в последнем пункте этой статьи.

Как решить линейное неравенство?


Теперь можно разбираться, как решаются линейные неравенства a·x+b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Основной способ их решения заключается в использовании равносильных преобразований, позволяющих прийти при a≠0 к элементарным неравенствам вида x<p (≤, >, ≥), p - некоторое число, которые и являются искомым решением, а при a=0 – к числовым неравенствам вида a<p (≤, >, ≥), из которых делается вывод о решении исходного неравенства. Его мы и разберем в первую очередь.

Также не помешает взглянуть на решение линейных неравенств с одной переменной и с других позиций. Поэтому, мы еще покажем, как можно решить линейное неравенство графически и методом интервалов.

Используя равносильные преобразования

Пусть нам нужно решить линейное неравенство a·x+b<0 (≤, >, ≥). Покажем, как это сделать, используя равносильные преобразования неравенства.

Подходы при этом различаются в зависимости от равенства или неравенства нулю коэффициента a при переменной x. Рассмотрим их по очереди. Причем при рассмотрении будем придерживаться схемы из трех пунктов: сначала будем давать суть процесса, дальше – алгоритм решения линейного неравенства, наконец, приводить решения характерных примеров.

Начнем с алгоритма решения линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0.

Остается разобраться с применением озвученного алгоритма на примерах. Рассмотрим, как с его помощью решаются линейные неравенства при a≠0.

Пример.

Решите неравенство 3·x+12≤0.

Решение.

Для данного линейного неравенства имеем a=3 и b=12. Очевидно, коэффициент a при переменной x отличен от нуля. Воспользуемся соответствующим алгоритмом решения, приведенным выше.

Во-первых, переносим слагаемое 12 в правую часть неравенства, не забывая изменить его знак, то есть, в правой части окажется −12. В результате приходим к равносильному неравенству 3·x≤−12.

И, во-вторых, делим обе части полученного неравенства на 3, так как 3 – число положительное, то знак неравенства не изменяем. Имеем (3·x):3≤(−12):3, что то же самое x≤−4.

Полученное элементарное неравенство x≤−4 равносильно исходному линейному неравенству и является его искомым решением.

Итак, решением линейного неравенства 3·x+12≤0 является любое действительное число, меньшее или равное минус четырем. Ответ можно записать и в виде числового промежутка, отвечающего неравенству x≤−4, то есть, как (−∞, −4].

Приобретя сноровку в работе с линейными неравенствами, их решения можно будет записывать кратко без пояснений. При этом сначала записывают исходное линейное неравенство, а ниже – равносильные ему неравенства, получающиеся на каждом шаге решения:
3·x+12≤0;
3·x≤−12;
x≤−4.

Ответ:

x≤−4 или (−∞, −4].

Пример.

Укажите все решения линейного неравенства −2,7·z>0.

Решение.

Здесь коэффициент a при переменной z равен −2,7. А коэффициент b отсутствует в явном виде, то есть, он равен нулю. Поэтому, первый шаг алгоритма решения линейного неравенства с одной переменной выполнять не нужно, так как перенос нуля из левой части в правую не изменит вид исходного неравенства.

Остается разделить обе части неравенства на −2,7, не забыв изменить знак неравенства на противоположный, так как −2,7 – отрицательное число. Имеем (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7), и дальше z<0.

А теперь кратко:
−2,7·z>0;
z<0.

Ответ:

z<0 или (−∞, 0).

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Нам нужно решить линейное неравенство с коэффициентом a при переменной x, равным −5, и с коэффициентом b, которому отвечает дробь −15/22. Действуем по известной схеме: сначала переносим −15/22 в правую часть с противоположным знаком, после чего выполняем деление обеих частей неравенства на отрицательное число −5, изменяя при этом знак неравенства:

В последнем переходе в правой части используется правило деления чисел с разными знаками , затем выполняется деление обыкновенной дроби на натуральное число .

Ответ:

или .

Теперь переходим к случаю, когда a=0. Принцип решения линейного неравенства a·x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0, то есть, неравенства 0·x+b<0, заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

На чем это основано? Очень просто: на определении решения неравенства. Каким образом? Да вот каким: какое бы значение переменной x мы не подставили в исходное линейное неравенство, мы получим числовое неравенство вида b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0, откуда b<0). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Сформулируем приведенные рассуждения в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥):

А теперь разберемся с этим на примерах.

Пример.

Решите неравенство 0·x+7>0.

Решение.

Для любого значения переменной x линейное неравенство 0·x+7>0 обратится в числовое неравенство 7>0. Последнее неравенство верное, следовательно, любое число является решением исходного неравенства.

Ответ:

решением является любое число или (−∞, +∞).

Пример.

Имеет ли решения линейное неравенство 0·x−12,7≥0.

Решение.

Если подставить вместо переменной x любое число, то исходное неравенство обратиться в числовое неравенство −12,7≥0, которое неверное. А это значит, что ни одно число не является решением линейного неравенства 0·x−12,7≥0.

Ответ:

нет, не имеет.

В заключение этого пункта разберем решения двух линейных неравенств, оба коэффициента которых равны нулю.

Пример.

Какое из линейных неравенств 0·x+0>0 и 0·x+0≥0 не имеет решений, а какое – имеет бесконечно много решений?

Решение.

Если вместо переменной x подставить любое число, то первое неравенство примет вид 0>0, а второе – 0≥0. Первое из них неверное, а второе – верное. Следовательно, линейное неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений, а именно, его решением является любое число.

Ответ:

неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений.

Методом интервалов

Вообще, метод интервалов изучается в школьном курсе алгебры позже, чем проходится тема решение линейных неравенств с одной переменной. Но метод интервалов позволяет решать самые разные неравенства, в том числе и линейные. Поэтому, остановимся на нем.

Сразу заметим, что метод интервалов целесообразно применять для решения линейных неравенств с отличным от нуля коэффициентом при переменной x. В противном случае вывод о решении неравенства быстрее и удобнее сделать способом, разобранным в конце предыдущего пункта.

Метод интервалов подразумевает

Соберем эти моменты в алгоритм, раскрывающий как решать линейные неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 методом интервалов:

Рассмотрим пример решения линейного неравенства методом интервалов.

Пример.

Решите неравенство −3·x+12>0.

Решение.

Коль скоро мы разбираем метод интервалов, то им и воспользуемся. Согласно алгоритму, сначала находим корень уравнения −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Дальше изображаем координатную прямую и отмечаем на ней точку с координатой 4, причем эту точку делаем выколотой, так как решаем строгое неравенство:

Теперь определяем знаки на промежутках. Для определения знака на промежутке (−∞, 4) можно вычислить значение функции y=−3·x+12, например, при x=3. Имеем −3·3+12=3>0, значит, на этом промежутке знак +. Для определения знака на другом промежутке (4, +∞) можно вычислить значение функции y=−3·x+12, к примеру, в точке x=5. Имеем −3·5+12=−3<0, значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x: так как он равен −3, то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Так как мы решаем неравенство со знаком >, то изображаем штриховку над промежутком со знаком +, чертеж принимает вид

По полученному изображению делаем вывод, что искомым решением является (−∞, 4) или в другой записи x<4.

Ответ:

(−∞, 4) или x<4.

Графическим способом

Полезно иметь представление о геометрической интерпретации решения линейных неравенств с одной переменной. Чтобы его получить, давайте рассмотрим четыре линейных неравенства с одной и той же левой частью: 0,5·x−1<0, 0,5·x−1≤0, 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0, их решениями являются соответственно x<2, x≤2, x>2 и x≥2, а также изобразим график линейной функции y=0,5·x−1.

Несложно заметить, что

Графический способ решения неравенств, в частности линейных, и подразумевает нахождение промежутков, на которых график функции, соответствующей левой части неравенства, располагается выше, ниже, не ниже или не выше графика функции, соответствующей правой части неравенства. В нашем случае линейного неравенства функция, отвечающая левой части, есть y=a·x+b, а правой части – y=0, совпадающая с осью Ox.

Учитывая приведенную информацию, несложно сформулировать алгоритм решения линейных неравенств графическим способом:

Пример.

Решите неравенство графически.

Решение.

Построим эскиз графика линейной функции . Это прямая, которая убывает, так как коэффициент при x – отрицательный. Еще нам понадобится координата точки его пересечения с осью абсцисс, она является корнем уравнения , который равен . Для наших нужд можно даже не изображать ось Oy. Так наш схематический чертеж будет иметь такой вид

Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересует промежуток, на котором график функции выше оси Ox. Для наглядности выделим эту часть графика красным цветом, а чтобы легко определить соответствующий этой части промежуток, подсветим красным цветом часть координатной плоскости, в которой расположена выделенная часть графика, так, как на рисунке ниже:

Интересующий нас промежуток представляет собой часть оси Ox, оказавшуюся подсвеченной красным цветом. Очевидно, это открытый числовой луч . Это и есть искомое решение. Заметим, что если бы мы решали неравенство не со знаком >, а со знаком нестрогого неравенства ≥, то в ответ пришлось бы добавить , так как в этой точке график функции совпадает с осью Ox.

Ответ:

или в другой записи .

Графическим способом можно решать и линейные неравенства с коэффициентом a, равным нулю. В этом случае левой части будет отвечать функция вида y=0·x+b, она же y=b. А ее графиком является прямая, параллельная оси Ox, или же совпадающая с ней при b=0. В этих случаях линейные неравенства либо не имеют решений, либо их решением является любое действительное число.

Пример.

Какое из неравенств 0·x+7<=0, 0·x+0≥0 имеет хотя бы одно решение?

Решение.

Ответ на поставленный вопрос можно дать, представив, что представляют собой графики функций, отвечающие левым частям указанных линейных неравенств. y=0·x+7, что то же самое y=7, задает на координатной плоскости прямую, параллельную оси Ox и лежащую выше нее. Следовательно, неравенство 0·x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

А графиком функции y=0·x+0, что то же самое y=0, является прямая, совпадающая с осью Ox. Следовательно, решением неравенства 0·x+0≥0 является множество всех действительных чисел.

Ответ:

второе неравенство, его решением является любое действительное число.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Огромное количество неравенств с помощью равносильных преобразований можно заменить равносильным линейным неравенством, другими словами, свести к линейному неравенству. Такие неравенства называют неравенствами, сводящимися к линейным.

В школе почти одновременно с решением линейных неравенств рассматривают и несложные неравенства, сводящиеся к линейным. Они представляют собой частные случаи целых неравенств, а именно в их левой и правой части находятся целые выражения, которые представляют собой или линейные двучлены, или преобразуются к ним путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Для наглядности приведем несколько примеров таких неравенств: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Неравенства, которые подобны по виду указанным выше, всегда можно свести к линейным. Это можно сделать путем раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, перестановки слагаемых местами и переноса слагаемых из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Например, чтобы свести неравенство 5−2·x>0 к линейному, достаточно переставить слагаемые в его левой части местами, имеем −2·x+5>0. Для сведения второго неравенства 7·(x−1)+3≤4·x−2+x к линейному нужно немного больше действий: в левой части раскрываем скобки 7·x−7+3≤4·x−2+x, после этого приводим подобные слагаемые в обеих частях 7·x−4≤5·x−2, дальше переносим слагаемые из правой части в левую 7·x−4−5·x+2≤0, наконец, приводим подобные слагаемые в левой части 2·x−2≤0. Подобным образом и третье неравенство можно свести к линейному неравенству.

Из за того, что подобные неравенства всегда можно свести к линейным, некоторые авторы даже называют их тоже линейными. Но все же будем их считать сводящимися к линейным.

Теперь становится понятно, почему подобные неравенства рассматривают вместе с линейными неравенствами. Да и принцип их решения абсолютно такой же: выполняя равносильные преобразования, их можно привести к элементарным неравенствам, представляющим собой искомые решения.

Чтобы решить неравенство подобного вида можно его предварительно свести к линейному, после чего решить это линейное неравенство. Но рациональнее и удобнее поступать так:

Пример.

Решите неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение.

Сначала раскроем скобки, в результате придем к неравенству 5·x+15+x≤6·x−18+1. Теперь приведем подобные слагаемые: 6·x+15≤6·x−17. Дальше переносим слагаемые с левую часть, получаем 6·x+15−6·x+17≤0, и снова приводим подобные слагаемые (что приводит нас к линейному неравенству 0·x+32≤0) и имеем 32≤0. Так мы пришли к неверному числовому неравенству, откуда делаем вывод, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ:

нет решений.

В заключение отметим, что существует и масса других неравенств, сводящихся к линейным неравенствам, или к неравенствам рассмотренного выше вида. Например, решение показательного неравенства 52·x−1≥1 сводится к решению линейного неравенства 2·x−1≥0. Но об этом будем говорить, разбирая решения неравенств соответствующего вида.



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  • Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Профиль автора статьи в Google+