Математика на cleverstudents.ru

Неравенства, решение неравенств

Неравенства с переменными, их частные и общее решение.

Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами, которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.

Что такое неравенства с переменными?

Мы уже знакомы с числовыми неравенствами. Они представляют собой два числовых выражения, между которыми находится один из знаков неравенства. Если же хотя бы одно из этих числовых выражений заменить на выражение с переменными, то мы получим так называемое неравенство с переменными.

Итак, мы только что определили неравенства с переменными по виду их записи.

В зависимости от количества переменных, участвующих в записи неравенства различают неравенства с одной, двумя, тремя и большим числом переменных. Остановимся на них подробнее, а также приведем примеры неравенств с переменными.

Неравенства с одной переменной

Из названия понятно, что

Например, x>3 – это неравенство с одной переменной x, 5≤y³+1 – неравенство с одной переменной y. Переменная в записи неравенства может встречаться несколько раз. Приведем примеры: (2·x−5·x²)·(x−1)<<1/x и - это тоже неравенства с одной переменной.

Неравенства с двумя переменными

В качестве примера неравенства с двумя переменными x и y приведем неравенство вида x²+3·y²>25, а - это неравенство с двумя переменными p и q.

По виду записи на неравенства с двумя переменными похожи неравенства с параметром и одной переменной. Однако, в заданиях как правило сразу указывают, какие буквы являются параметрами, поэтому обычно не возникает вопросов о количестве переменных в неравенстве. Это же относится и к неравенствам с параметрами с тремя или большим количеством переменных.

Неравенства с тремя и большим числом переменных

Неравенства с тремя и большим числом переменных встречаются в школьном курсе математики не часто, но все же они имеют место. К примеру, шар с центром в начале координат, радиус которого равен 2, можно задать неравенством с тремя переменными как x²+y²+z²≤4.

Решения неравенства: частное, общее и просто решение

От неравенств с переменными неотделимы их решения.

Для примера рассмотрим неравенство с одной переменной вида x>7. Возьмем x=10. Подставив в исходное неравенство вместо переменной x ее значение 10, получаем числовое неравенство 10>7. Это верное числовое неравенство, поэтому 10 – это по определению решение неравенства x>7. С другой стороны число 3 не является решением этого неравенства, так как подстановка этого значения вместо переменной x дает неверное числовое неравенство 3>7.

Стоит обговорить вопрос о количестве решений конкретного неравенства с одной переменной. Заглядывая немного вперед, скажем, что неравенство с одной переменной может не иметь решений, иметь конечное число решений, или иметь бесконечно много решений. В этом Вы убедитесь, изучив процесс нахождения решений неравенств, который называют теми же словами, то есть, решением неравенств. Этот процесс имеет огромную практическую значимость, и с ним мы будем разбираться отдельно. А пока вернемся к теме нашей беседы.

Итак,

• Неравенства могут не иметь ни одного решения, как, например, неравенство x²<−3. Действительно, какое бы действительное число мы не подставили вместо переменной x, мы получим неверное неравенство, так как, изучив свойства степени, мы усвоили, что квадрат любого числа есть число неотрицательное, и оно не может быть меньше минус трех.
• Могут иметь единственное решение. Таковым, к примеру, является неравенство , имеющее решением x=1, которое единственно.
• Могут иметь конечное число решений, к примеру, четыре или семь. В качестве примера приведем неравенство , оно имеет ровно два решения: 1 и −1.
• А могут иметь и бесконечно много решений, как уже указанное выше неравенство x>7. Его решением является любое действительное число, большее 7, например, 11, 65,32 или .

Все сказанное о количестве решений неравенств справедливо и для неравенств с двумя, тремя и большим количеством переменных.

Для пояснения и примера возьмем неравенство с двумя переменными x и y вида x+1>2·y. Пара значений переменных x=1, y=0 является решением данного неравенства, так как их подстановка дает верное числовое неравенство вида 1+1>2·0. А вот пара x=2, y=4 не является решением данного неравенства, так как их подстановка дает неверное числовое неравенство 2+1>2·4.

Часто пары значений переменных записывают в скобках как координаты точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости. Для предыдущего примера решение неравенства x+1>2·y, которое мы записали в виде x=1, y=0, можно записать как (1, 0).

Аналогично определению решения неравенства с двумя переменными дается и определение решения неравенства с тремя и большим количеством переменных.

В качестве примера решения неравенства с четырьмя переменными вида t²+x²+y²+z²≤36 приведем четверку значений этих переменных t=1, x=2, y=3, z=4. Эта четверка чисел действительно является решением данного неравенства, так как 1²+2²+3²+4²≤36 – верное числовое неравенство.

В заключение стоит обратить внимание на достаточно часто встречающиеся термины «частное решение неравенства» и «общее решение неравенства».

Так 3 – это частное решение неравенства x<5. Другим частным решением данного неравенства является, например, число 2. Можно указать и другие частные решения этого неравенства.

Вернемся к предыдущему примеру x<5. Его общее решение – это множество всех действительных чисел, которые меньше пяти.

Однако намного чаще говорят просто «решение неравенства» без уточнения частное или общее. Ему обычно придают смысл общего решения. Например, если спрашивается «каково решение неравенства», то скорее всего интерес представляет все множество решений этого неравенства. А если интересует какое-то отдельно взятое решение (частное решение), то обычно и требуют указать одно из решений неравенства.

Как записать общее решение неравенства?

Умение записывать общее решение неравенств необходимо для записи ответа при решении неравенств. Поэтому не помешает детально разобраться с принятыми правилами записи. Начнем с принципов записи решений неравенств с одной переменной.

Из информации предыдущих пунктов понятно, что если неравенство с одной переменной имеет решение, то это или одно некоторое число, или некоторое множество чисел (конечное или бесконечное). То есть, общее решение неравенства с одной переменной – это некоторое числовое множество. Следовательно, и записывать его принято так же, как записываются числовые множества.

Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.

Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0, −7,2 или 7/9, а иногда еще заключают в фигурные скобки.

Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5, 1,5 и 47, то записывают −5, 1,5, 47 или {−5, 1,5, 47}.

А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N, Z, Q и R, обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1, полуинтервал (3, 7] и луч [10, +∞), то ответ можно записать как 1, (3, 7], [10, +∞), или как 1∪(3, 7]∪ [10, +∞), или как x=1, 3<x≤7, x≥10, или словами описать словами «единица, все числа большие трех, но меньшие или равные семи, а также все числа большие или равные десяти».

При записи общих решений неравенств с двумя, тремя и большим количеством переменных, если количество решений невелико, то их перечисляют все. Если же число частных решений велико или бесконечно, то обычно описывают множество значений, которые может принимать каждая переменная в отдельности. Например, неравенство с четырьмя переменными t, x, y и z может иметь такое решение: «t – любое целое число, x есть 0 или 1, y=−5, z=11».

Стоит заметить, что для неравенств с двумя переменными решение часто не описывают аналитически, а представляют в графическом виде, изображая множество решений неравенства на координатной плоскости. Например, решением неравенства 2·x−y≥5 является множество всех точек плоскости, лежащих на и ниже прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом y=2·x−5. Изобразим их:

Иногда удобно графически представлять и решения неравенств с тремя переменными, в этом случае решение будет представлять собой некоторое множество точек трехмерного пространства.