Неравенства, решение неравенств

Равносильные неравенства, преобразование неравенств.


Часто процесс решения неравенств представляет собой переход от исходного неравенства к неравенствам, имеющим те же решения, но которые проще найти. Другими словами, исходное неравенство с помощью определенных преобразований заменяется так называемым равносильным неравенством, решение которого совпадает с решением исходного, и которое мы можем отыскать. В этой статье мы как раз поговорим о равносильных неравенствах и о равносильных преобразованиях, позволяющих получать равносильные неравенства.

Здесь мы сначала дадим определение равносильных неравенств и приведем примеры. Дальше перечислим и докажем основные виды равносильных преобразований неравенств. А в заключение проясним, почему при решении неравенств нужно использовать только равносильные преобразования.


Равносильные неравенства, определение, примеры

Начнем, естественно, с определения равносильных неравенств:

Определение.

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными неравенствами. В частности, неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными.

Другими словами, два неравенства равносильны, если они оба не имеют решений, а если они имеют решения, то каждое отдельно взятое решение первого из них является решением и второго, а каждое отдельно взятое решение второго является решением первого неравенства. Также ни одно из равносильных неравенств не может иметь решений, которые не являются решениями всех других из этих неравенств.

Для пояснения данного определения приведем пример трех равносильных неравенств: x>2, 2·x:2>2 и x>3−1. Действительно, множества их решений одинаковые, решение каждого из них есть числовой промежуток (2, +∞). Неравенства x6≥−2 и |x+7|<0 также являются равносильными, так как ни первое, ни второе из них не имеет действительных решений. А вот неравенства x>3 и x≥3 не равносильные, так как x=3 является решением второго из них, но не является решением первого. Аналогично, x>−5 и – не равносильные неравенства, так как x=0 является решением первого неравенства, но не является решением второго.

Заметим, что озвученное выше определение относится как к неравенствам с одной переменной, так и к неравенствам с двумя, тремя и любым другим конечным числом переменных. Например, неравенства с тремя переменными 2·x2+4·y2+16·z2<−1 и 2·x2+4·y2+16·z2<−3 равносильны: они оба не имеют решений. А неравенства с двумя переменными x+y<5 и x2−y>1 не равносильны, так как, к примеру, пара значений x=1, y=2 есть частное решение первого неравенства (так как 1+2<5 – верное числовое неравенство), но она не является решением второго неравенства (так как 12−2>1 – неверное числовое неравенство).

Равносильные преобразования неравенств


Выполнение некоторых действий с правой и/или левой частью неравенства или с их отдельными слагаемыми может давать новые неравенства, имеющие те же решения, что и исходное неравенство. Замену исходного неравенства на новое равносильное ему неравенство при помощи таких действий назвали равносильным преобразованиям неравенства.

Определение.

Равносильное преобразование неравенства – это его замена другим равносильным ему неравенством, то есть, неравенством, имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному неравенству, также называют равносильными преобразованиями.

Возникает логичный вопрос: «Зачем вообще нужны эти равносильные преобразования неравенств»? Например, они позволяют решать неравенства: с их помощью от решения исходного неравенства можно перейти к решению более простого, но равносильного неравенства.

Теперь можно перейти к знакомству с основными и наиболее часто используемыми равносильными преобразованиями неравенств, которые иногда называют свойствами неравенств. Им стоит уделить должное внимание – без их использования не обходится решение почти ни одного неравенства.

Заметим, что они похожи на равносильные преобразования уравнений. Принцип их доказательства тоже аналогичен, только здесь в основе доказательства будут лежать, естественно, свойства числовых неравенств, а не свойства числовых равенств.

Итак, приступим.

Существуют и другие равносильные преобразования неравенств, но они уже не столь общи и относятся к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. С ними мы детально познакомимся, когда будем говорить о решении неравенств этих видов.

К чему приводят неравносильные преобразования неравенств?

Понятно, что кроме равносильных преобразований неравенств есть и неравносильные, от которых, решая неравенства, нужно держаться подальше. А дело здесь в том, что, выполнив переход к неравносильному неравенству, можно получить решение, которое не является искомым решением исходного неравенства. В некоторых случаях можно получить и верный ответ, но это будет не более чем везение, а в общем случае, выполняя неравносильные преобразования неравенств, будет получен неверный ответ.

Вывод ясен: при решении неравенств нужно выполнять только равносильные преобразования.

Рассмотрим пару примеров. Возьмем неравенства x>−2 и . Решением первого является числовой промежуток (−2, +∞), а второго – числовое множество .

Так допустим, что нам надо решить второе из них, то есть, неравенство . Естественно, сразу хочется упростить выражение в левой части путем приведения подобных слагаемых, заменив его просто на x, что позволит перейти к более простому неравенству x>−2. Но без оговорки, что мы такой переход осуществляем на области допустимых значений переменной x исходного неравенства (в данном случае при x≠0), указанный переход приводит к неравносильному неравенству x>−2, и как результат – к неверному ответу (−2, +∞) вместо нужного .

Теперь посмотрим иначе: пусть нам нужно решить неравенство x>−2, а мы решили «выпендриться» и заменить его якобы равносильным неравенством . Но последнее неравенство не равносильно исходному: нуль не является его решением, но является решением исходного неравенства. Дело здесь в том, что выражение в его левой части является тождественно равным x НЕ на всей ОДЗ исходного неравенства: при x=0 оно не равно x (при x=0 оно не определено). Такой ход решения приведет нас к неверному ответу вместо нужного (−2, +∞).

Признаком возможного неравносильного преобразования неравенства является сужение ОДЗ. Для пояснения сказанного, вернемся к предыдущему примеру. При переходе от неравенства x>−2 к неравенству происходит сужение ОДЗ со всего множества действительных чисел, до множества действительных чисел без нуля. Это явно указывает, что полученное неравенство может быть неравносильно исходному, и такой переход делать не стоит.

Наиболее часто неравносильные переходы при решении неравенств возникают при неаккуратном применении свойств корней, логарифмов и модуля. На этом мы особо заострим внимание, когда будем разбираться с решением неравенств соответствующих видов. А пока по данной теме все. Пользуйтесь только равносильными преобразованиями неравенств и не допускайте сужения ОДЗ!



Некогда разбираться?

Закажите решение

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Профиль автора статьи в Google+