Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения.

Многие задачи приводят нас к поиску множества значений функции на некотором отрезке или на всей области определения. К таким задачам можно отнести различные оценки выражений, решение неравенств.

В этой статье дадим определение области значений функции, рассмотрим методы ее нахождения и подробно разберем решение примеров от простых к более сложным. Весь материал снабдим графическими иллюстрациями для наглядности. Так что эта статья является развернутым ответом на вопрос как находить область значений функции.

Определение.

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех формула.

Определение.

Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения формула.

Область значений функции обозначают как E(f).

Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.

Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений (ОДЗ) выражения, находящегося в правой части равенства y=f(x). Область допустимых значений выражения f(x) – это есть область определения функции y=f(x).

На рисунке приведены несколько примеров.

Графики функций показаны жирными синими линиями, тонкие красные линии – это асимптоты, рыжими точками и линиями на оси Оy изображена область значений соответствующей функции.

изображение

Как видите, область значений функции получается, если спроецировать график функции на ось ординат. Она может быть одним единственным числом (первый случай), множеством чисел (второй случай), отрезком (третий случай), открытым интервалом (четвертый случай), интервалом с бесконечной границей (пятый случай), объединением интервалов (шестой случай) и т.п.

Так что же нужно делать для нахождения области значений функции.

Начнем с самого простого случая: покажем как определять множество значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a; b].

Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего формула и наименьшего значений формула. Таким образом, множеством значений исходной функции на отрезке [a; b] будет отрезок формула. Следовательно, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Для примера найдем область значений функции арксинуса.

Пример.

Укажите область значений функции y = arcsinx.

Решение.

Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.
формула

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1), то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1, а наибольшее при x = 1.
формула

Мы получили область значений функции арксинуса формула.

Пример.

Найдите множество значений функции формула на отрезке [1; 4].

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку [1; 4]:
формула

Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках формула:
формула

Следовательно, множеством значений функции на отрезке является интервал формула.

Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) на открытых интервалах (a; b), формула.

Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах открытого интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.

Пример.

Определите множество значений функции формула на интервале (-2; 2).

Решение.

Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2):
формула

Точка x = 0 является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.
формула

формула есть соответствующий максимум функции.

Выясним поведение функции при x стремящемся к -2 справа и при x стремящемся к 2 слева, то есть, найдем односторонние пределы:
формула

Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть формула.

Пример.

Укажите множество значений функции тангенса y = tgx на интервале формула.

Решение.

Производная функции тангенса на интервале формула положительна формула, что указывает на возрастание функции. Исследуем поведение функции на границах интервала:
формула

Таким образом, при изменении аргумента от формула к формула значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности, то есть, множество значений тангенса на этом интервале есть множество всех действительных чисел формула.

Пример.

Найдите область значений функции натурального логарифма y = lnx.

Решение.

Функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента формула. На этом интервале производная положительна формула, это говорит о возрастании функции на нем. Найдем односторонний предел функции при стремлении аргумента к нулю справа, и предел при x стремящемся к плюс бесконечности:
формула

Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции тангенса является все множество действительных чисел.

Пример.

Найдите область значений функции формула.

Решение.

Эта функция определена для всех действительных значений x. Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции.
формула

Следовательно, функция убывает при формула, возрастает при формула, x = 0 - точка максимума, формула соответствующий максимум функции.

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
формула

Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю.

Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю (точке максимума) значения функции возрастают от нуля до девяти (до максимума функции), а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля.

Посмотрите на схематический рисунок.

изображение

Теперь хорошо видно, что область значений функции есть формула.

Нахождение множества значений функции y = f(x) на интервалах формула требует аналогичных исследований. Не будем сейчас подробно останавливаться на этих случаях. В примера ниже они нам еще встретятся.

Пусть область определения функции y = f(x) представляет собой объединение нескольких интервалов. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом интервале и берется их объединение.

Пример.

Найдите область значений функции формула.

Решение.

Знаменатель нашей функции не должен обращаться в ноль, то есть, формула.

Сначала найдем множество значений функции на интервале формула.

Производная функции формула отрицательна на этом интервале, то есть, функция убывает на нем.
формула

Получили, что при стремлении аргумента к минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к единице. При изменении x от минус бесконечности до двух значения функции убывают от одного до минус бесконечности, то есть, на рассматриваемом интервале функция принимает множество значений формула. Единицу не включаем, так как значения функции не достигают ее, а лишь асимптотически стремятся к ней на минус бесконечности.

Действуем аналогично для интервала формула.

На этом интервале функция тоже убывает.
формула

Множество значений функции на этом интервале задается интервалом формула.

Таким образом, искомая область значений функции есть объединение интервалов формула и формула.
формула

Графическая иллюстрация.

изображение

Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций равна множеству значений на отрезке, длина которого равна периоду.

Пример.

Найдите область значений функции синуса y = sinx.

Решение.

Эта функция периодическая с периодом два пи. Возьмем отрезок формула и определим множество значений на нем.
формула

Отрезку формула принадлежат две точки экстремума формула и формула.

Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:
формула

Следовательно, формула.

В разделе основные элементарные функции, их свойства и графики Вы можете посмотреть области значений степенной, показательной, логарифмической функции, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Рассмотренная выше теория позволяет проверить приведенные области значений основных элементарных функций. Рекомендуем запомнить эти данные, так как они достаточно часто используются.

Знание областей значений основных элементарных функций позволяет находить области значений функций, полученных из основных элементарных с помощью геометрических преобразований графиков.

Пример.

Найдите область значения функции формула.

Решение.

Мы знаем, что областью значений арккосинуса является отрезок от нуля до пи, то есть, формула или в другой записи формула. Функция формула может быть получена из arccosx сдвигом и растяжением вдоль оси абсцисс. Такие преобразования на область значений не влияют, поэтому, формула. Функция формула получается из формула растяжением втрое вдоль оси Оy, то есть, формула. И последняя стадия преобразований – это сдвиг на четыре единицы вниз вдоль оси ординат. Это нас приводит к двойному неравенству
формула

Таким образом, искомая область значений есть формула.

Приведем решение еще одного примера, но без пояснений (они не требуются, так как полностью аналогичны).

Пример.

Определите область значений функции формула.

Решение.

Запишем исходную функцию в виде формула. Областью значений степенной функции формула является интервал формула. То есть, формула. Тогда
формула

Следовательно, формула.

Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на интервалы, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить классификацию точек разрыва функции.

Пример.

Определите область значений функции формула.

Решение.

Функция определена для всех действительных значений x. Исследуем функцию на непрерывность в точках x = -3 и x = 3:
формула

Таким образом, в точке x = -3 неустранимый разрыв первого рода, при стремлении x к -3 слева значения функции стремятся к значению формула, а при стремлении x к -3 справа, значения функции стремятся к минус единице.
формула

Следовательно, в точке x = 3 разрыв второго рода. При стремлении к 3 слева значения функции стремятся к минус единице, а при стремлении x к 3 справа значения функции стремятся к плюс бесконечности.

Таким образом, область определения функции разбиваем на три интервала формула.

На промежутке формула имеем функцию формула. Так как формула, то
формула

Таким образом, множество значений исходной функции на интервале формула есть [-6;2].

На интервале формула имеем постоянную функцию y = -1. То есть, множество значений исходной функции на промежутке формула состоит из единственного элемента формула.

На интервале формула имеем функцию формула. Эта функция убывающая, так как формула, причем убывает она от плюс бесконечности до нуля (но нуля не достигает, а лишь асимптотически стремиться к нему), так как
формула

Таким образом, множество значений исходной функции при x > 3 есть интервал формула.

Объединяем результаты и получаем искомую область значений функции формула.

Графическая иллюстрация.

изображение

Пример.

Найдите область значений функции формула.

Решение.

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Выясним промежутки возрастания и убывания функции.
формула

Производная обращается в ноль при x=-1 и x=3. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки производной на полученных интервалах.
формула

Функция убывает на формула, возрастает на [-1; 3], x=-1 точка минимума, x=3 точка максимума.

Вычислим соответствующие минимум и максимум функции:
формула

Проверим поведение функции на бесконечности:
формула

Второй предел вычисляли по правилу Лопиталя.

Сделаем схематичный чертеж.

При изменении аргумента от минус бесконечности до -1 значения функции убывают от плюс бесконечности до -2e, при изменении аргумента от -1 до 3 значения функции возрастают от -2e до формула, при изменении аргумента от 3 до плюс бесконечности значения функции убывают от формула до нуля, но нуля не достигают.

изображение

Из рисунка отчетливо видно, что формула.

Профиль автора статьи в Google+