Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения.
Многие задачи приводят нас к поиску множества значений функции на некотором отрезке или на всей области определения. К таким задачам можно отнести различные оценки выражений, решение неравенств.
В этой статье дадим определение области значений функции, рассмотрим методы ее нахождения и подробно разберем решение примеров от простых к более сложным. Весь материал снабдим графическими иллюстрациями для наглядности. Так что эта статья является развернутым ответом на вопрос как находить область значений функции.
Определение.
Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех 
.
Определение.
Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения 
.
Область значений функции обозначают как E(f).
Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.
Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x для выражения, находящегося в правой части равенства y=f(x). Область допустимых значений переменной x для выражения f(x) – это есть область определения функции y=f(x).
На рисунке приведены несколько примеров.
Графики функций показаны жирными синими линиями, тонкие красные линии – это асимптоты, рыжими точками и линиями на оси Оy изображена область значений соответствующей функции.
Как видите, область значений функции получается, если спроецировать график функции на ось ординат. Она может быть одним единственным числом (первый случай), множеством чисел (второй случай), отрезком (третий случай), интервалом (четвертый случай), открытым лучом (пятый случай), объединением числовых промежутков (шестой случай) и т.п.
Так что же нужно делать для нахождения области значений функции.
Начнем с самого простого случая: покажем как определять множество значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a; b].
Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего 
и наименьшего значений 
. Таким образом, множеством значений исходной функции на отрезке [a; b] будет отрезок 
. Следовательно, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Для примера найдем область значений функции арксинуса.
Пример.
Укажите область значений функции y = arcsinx.
Решение.
Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.
Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1), то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1, а наибольшее при x = 1.
Мы получили область значений функции арксинуса 
.
Пример.
Найдите множество значений функции 
на отрезке [1; 4].
Решение.
Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку [1; 4]:
Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках 
:
Следовательно, множеством значений функции на отрезке является отрезок 
.
Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) промежутках (a; b), 
.
Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.
Пример.
Определите множество значений функции 
на интервале (-2; 2).
Решение.
Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2):
Точка x = 0 является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.
есть соответствующий максимум функции.
Выясним поведение функции при x стремящемся к -2 справа и при x стремящемся к 2 слева, то есть, найдем односторонние пределы:
Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть 
.
Пример.
Укажите множество значений функции тангенса y = tgx на интервале 
.
Решение.
Производная функции тангенса на интервале положительна 
, что указывает на возрастание функции. Исследуем поведение функции на границах интервала:
Таким образом, при изменении аргумента от 
к 
значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности, то есть, множество значений тангенса на этом интервале есть множество всех действительных чисел 
.
Пример.
Найдите область значений функции натурального логарифма y = lnx.
Решение.
Функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента 
. На этом интервале производная положительна 
, это говорит о возрастании функции на нем. Найдем односторонний предел функции при стремлении аргумента к нулю справа, и предел при x стремящемся к плюс бесконечности:
Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции натурального логарифма является все множество действительных чисел.
Пример.
Найдите область значений функции 
.
Решение.
Эта функция определена для всех действительных значений x. Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции.
Следовательно, функция убывает при 
, возрастает при 
, x = 0 - точка максимума, 
соответствующий максимум функции.
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю.
Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю (точке максимума) значения функции возрастают от нуля до девяти (до максимума функции), а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля.
Посмотрите на схематический рисунок.
Теперь хорошо видно, что область значений функции есть 
.
Нахождение множества значений функции y = f(x) на промежутках 
требует аналогичных исследований. Не будем сейчас подробно останавливаться на этих случаях. В примерах ниже они нам еще встретятся.
Пусть область определения функции y = f(x) представляет собой объединение нескольких промежутков. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом промежутке и берется их объединение.
Пример.
Найдите область значений функции 
.
Решение.
Знаменатель нашей функции не должен обращаться в ноль, то есть, 
.
Сначала найдем множество значений функции на открытом луче 
.
Производная функции 
отрицательна на этом промежутке, то есть, функция убывает на нем.
Получили, что при стремлении аргумента к минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к единице. При изменении x от минус бесконечности до двух значения функции убывают от одного до минус бесконечности, то есть, на рассматриваемом промежутке функция принимает множество значений 
. Единицу не включаем, так как значения функции не достигают ее, а лишь асимптотически стремятся к ней на минус бесконечности.
Действуем аналогично для открытого луча 
.
На этом промежутке функция тоже убывает.
Множество значений функции на этом промежутке есть множество 
.
Таким образом, искомая область значений функции есть объединение множеств и .
Графическая иллюстрация.
Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций совпадает с множеством значений на промежутке, отвечающем периоду этой функции.
Пример.
Найдите область значений функции синуса y = sinx.
Решение.
Эта функция периодическая с периодом два пи. Возьмем отрезок 
и определим множество значений на нем.
Отрезку принадлежат две точки экстремума и 
.
Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:
Следовательно, 
.
В разделе основные элементарные функции, их свойства и графики Вы можете посмотреть области значений степенной, показательной, логарифмической функции, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Рассмотренная выше теория позволяет проверить приведенные области значений основных элементарных функций. Рекомендуем запомнить эти данные, так как они достаточно часто используются.
Знание областей значений основных элементарных функций позволяет находить области значений функций, полученных из основных элементарных с помощью геометрических преобразований графиков.
Пример.
Найдите область значения функции 
.
Решение.
Мы знаем, что областью значений арккосинуса является отрезок от нуля до пи, то есть, 
или в другой записи 
. Функция 
может быть получена из arccosx сдвигом и растяжением вдоль оси абсцисс. Такие преобразования на область значений не влияют, поэтому, 
. Функция 
получается из растяжением втрое вдоль оси Оy, то есть, 
. И последняя стадия преобразований – это сдвиг на четыре единицы вниз вдоль оси ординат. Это нас приводит к двойному неравенству
Таким образом, искомая область значений есть 
.
Приведем решение еще одного примера, но без пояснений (они не требуются, так как полностью аналогичны).
Пример.
Определите область значений функции 
.
Решение.
Запишем исходную функцию в виде 
. Областью значений степенной функции 
является промежуток 
. То есть, 
. Тогда
Следовательно, 
.
Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на промежутки, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить классификацию точек разрыва функции.
Пример.
Определите область значений функции 
.
Решение.
Функция определена для всех действительных значений x. Исследуем функцию на непрерывность в точках x = -3 и x = 3:
Таким образом, в точке x = -3 неустранимый разрыв первого рода, при стремлении x к -3 слева значения функции стремятся к значению 
, а при стремлении x к -3 справа, значения функции стремятся к минус единице.
Следовательно, в точке x = 3 разрыв второго рода. При стремлении к 3 слева значения функции стремятся к минус единице, а при стремлении x к 3 справа значения функции стремятся к плюс бесконечности.
Таким образом, область определения функции разбиваем на три промежутка 
.
На промежутке 
имеем функцию 
. Так как 
, то
Таким образом, множество значений исходной функции на промежутке есть [-6;2].
На полуинтервале 
имеем постоянную функцию y = -1. То есть, множество значений исходной функции на промежутке состоит из единственного элемента 
.
На промежутке 
имеем функцию 
. Эта функция убывающая, так как 
, причем убывает она от плюс бесконечности до нуля (но нуля не достигает, а лишь асимптотически стремиться к нему), так как
Таким образом, множество значений исходной функции при x > 3 есть множество 
.
Объединяем результаты и получаем искомую область значений функции 
.
Графическая иллюстрация.
Пример.
Найдите область значений функции 
.
Решение.
Функция определена для всех действительных значений аргумента. Выясним промежутки возрастания и убывания функции.
Производная обращается в ноль при x=-1 и x=3. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки производной на полученных интервалах.
Функция убывает на 
, возрастает на [-1; 3], x=-1 точка минимума, x=3 точка максимума.
Вычислим соответствующие минимум и максимум функции:
Проверим поведение функции на бесконечности:
Второй предел вычисляли по правилу Лопиталя.
Сделаем схематичный чертеж.
При изменении аргумента от минус бесконечности до -1 значения функции убывают от плюс бесконечности до -2e, при изменении аргумента от -1 до 3 значения функции возрастают от -2e до 
, при изменении аргумента от 3 до плюс бесконечности значения функции убывают от до нуля, но нуля не достигают.
Из рисунка отчетливо видно, что 
.