Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Рекомендуем при необходимости обращаться к разделу дифференцирование функции, так как все признаки в этой статье основаны на нахождении производной.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых формула и формула выполняется неравенство формула. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых формула и формула выполняется неравенство формула. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

изображение

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале формула мы можем утверждать о возрастании на отрезке формула.

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку формула называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство формула. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают формула.

Точку формула называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство формула. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают формула.

Под окрестностью точки формула понимают интервал формула, где формула - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

изображение

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

изображение

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

  • если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
  • если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;
  • найти производную функции;
  • решить неравенства формула и формула на области определения;
  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции формула.

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, формула.

Переходим к нахождению производной функции:
формула

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства формула и формула на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.
формула

Таким образом, формула и формула.

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

изображение

Ответ:

функция возрастает при формула, убывает на интервале (0;2].

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в формула-окрестности точки формула, а в самой точке формула непрерывна.

Тогда

  • если формула при формула и формула при формула, то формула - точка максимума;
  • если формула при формула и формула при формула, то формула - точка минимума.

Другими словами:

  • если в точке формула функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то формула - точка максимума;
  • если в точке формула функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то формула - точка минимума.

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

  • Находим область определения функции.
  • Находим производную функции на области определения.
  • Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
  • Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
  • Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции формула.

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2.

Находим производную:
формула

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5, знаменатель обращается в ноль при x=2. Отмечаем эти точки на числовой оси
формула

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6.

формула, следовательно, на интервале формула производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично
формула

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции формула.

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции формула.

Графическая иллюстрация.

изображение

Ответ:

формула.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке формула.

Пример.

Найдите точки экстремума и экстремумы функции формула.

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:
формула

Найдем производную функции:
формула

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:
формула

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):
формула

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:
формула

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
формула

То есть,
формула

Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются формула, точками максимума являются формула.

Вычисляем соответствующие минимумы функции
формула

Вычисляем соответствующие максимумы функции
формула

Графическая иллюстрация.

изображение

Ответ:

формула.

Второй признак экстремума функции.

Пусть формула,

  • если формула, то формула - точка минимума;
  • если формула, то формула - точка максимума.

Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке формула.

Пример.

Найти экстремумы функции формула.

Решение.

Начнем с области определения:
формула

Продифференцируем исходную функцию:
формула

Производная обращается в ноль при x=1, то есть, это точка возможного экстремума.

Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1:
формула

Следовательно, по второму достаточному условию экстремума, x=1 - точка максимума. Тогда формула - максимум функции.

Графическая иллюстрация.

изображение

Ответ:

формула.

Третье достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в формула-окрестности точки формула и производные до n+1-ого порядка в самой точке формула. Пусть формула и формула.

Тогда,

  • если n – четное, то формула - точка перегиба;
  • если n – нечетное, то формула - точка экстремума, причем
    • если формула, то формула - точка минимума;
    • если формула, то формула - точка максимума.

Пример.

Найти точки экстремума функции формула.

Решение.

Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.

Продифференцируем функцию:
формула

Производная обращается в ноль при формула, следовательно, это точки возможного экстремума. Воспользуемся третьим достаточным условием экстремума.

Находим вторую производную и вычисляем ее значение в точках возможного экстремума (промежуточные вычисления опустим):
формула

Следовательно, формула - точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n=1 и формула).

Для выяснения характера точек формула находим третью производную и вычисляем ее значение в этих точках:
формула

Следовательно, формула - точка перегиба функции (n=2 и формула).

Осталось разобраться с точкой формула. Находим четвертую производную и вычисляем ее значение в этой точке:
формула

Следовательно, формула - точка минимума функции.

Графическая иллюстрация.

изображение

Ответ:

формула - точка максимума, формула - точка минимума функции.

Профиль автора статьи в Google+