Функции, исследование функций Помощь в написании работ

Наибольшее и наименьшее значение функции.


С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования... Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком формула, открытым интервалом формула, бесконечным промежутком формула.

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x).


Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение формула, что для любого формула справедливо неравенство формула.

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение формула, что для любого формула справедливо неравенство формула.

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе формула.

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:"Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции"? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

На отрезке

изображение

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6].

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

изображение

На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6).

На интервале [1;6) наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а про наибольшее значение мы ничего сказать не можем. Если бы точка x=6 была частью интервала, тогда при этом значении функция принимала бы наибольшее значение. Этот пример изображен на рисунке №5.

На рисунке №6 наименьшее значение функции достигается в правой границе интервала (-3;2], о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя.

На бесконечности

изображение

В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y) в стационарной точке с абсциссой x=1, а наименьшее значение (min y) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3.

На интервале формула функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3. Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a;b].


Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

  1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a;b].
  2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b] (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
  3. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
  4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b.
  5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции формула

  • на отрезке [1;4];
  • на отрезке [-4;-1].

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть формула. Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби:
формула

Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1].

Стационарные точки определим из уравнения формула. Единственным действительным корнем является x=2. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1;4].

Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1, x=2 и x=4:
формула

Следовательно, наибольшее значение функции формула достигается при x=1, а наименьшее значение формула – при x=2.

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):
формула

Следовательно, формула.

Графическая иллюстрация.

изображение

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале X.

Прежде чем ознакомиться с алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале рекомендуем повторить определения одностороннего предела и предела на бесконечности, а также способы нахождения пределов.

  1. Проверяем, является ли интервал X подмножеством области определения функции.

  2. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в интервале X (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.

  3. Определяем все стационарные точки, попадающие в промежуток X. Для этого приравниваем производную функции к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

    Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в интервал, то переходим к следующему пункту.

  4. Вычисляем значения функции в стационарных точках и точках, в которых не существует первая производная функции (если такие точки есть).

    Дальнейшие действия зависят от интервала X.

    Если интервал X имеет вид:

    • [a;b), то вычисляем значение функции в точке x=a и односторонний предел формула;
    • (a;b], то вычисляем значение функции в точке x=b и односторонний предел формула;
    • (a;b), то вычисляем односторонние пределы формула;
    • формула, то вычисляем значение функции в точке x=a и предел на плюс бесконечности формула;
    • формула, то вычисляем односторонний предел формула и предел на плюс бесконечности формула;
    • формула, то вычисляем значение функции в точке x=b и предел на минус бесконечности формула;
    • формула, то вычисляем односторонний предел формула и предел на минус бесконечности формула;
    • формула, то вычисляем пределы на плюс и минус бесконечности формула.

  5. Делаем выводы, отталкиваясь от полученных значений функции и пределов. Здесь может быть масса вариантов. К примеру, если односторонний предел равен минус бесконечности (плюс бесконечности), то о наименьшем (наибольшем) значении функции ничего сказать нельзя для данного интервала. Ниже разобраны несколько типичных примеров. Надеемся подробные описания их решения помогут Вам усвоить тему. Рекомендуем вернуться к рисункам с №4 до №8 из первого раздела этой статьи.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции формула на интервалах:

  1. формула
  2. формула
  3. (-3;1]
  4. (-3;2)
  5. [1;2)
  6. формула
  7. формула

Решение.

Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:
формула

Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.

Продифференцируем функцию:
формула

Очевидно, производная существует на всей области определения функции.

Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при формула. Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1] и (-3;2).

  1. Для первого промежутка формула вычисляем значение функции при x=-4 и предел на минус бесконечности:
    формула

    Так как формула, то формула, а о наименьшем значении функции выводов сделать нельзя. Можно лишь утверждать, что значения функции ограничены снизу значением -1 (на минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к прямой y=-1).

  2. Второй интервал формула интересен тем, что не содержит ни одной стационарной точки и ни одна из его границ не является строгой. В этом случае мы не сможем найти ни наибольшего, ни наименьшего значения функции. Вычислив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к минус трем слева, мы лишь сможем определить интервал значений функции:
    формула

    Следовательно, значения функции находятся в интервале формула при x из промежутка формула.

  3. Для третьего промежутка (-3;1] вычислим значение функции в стационарной точке формула и при x=1, а также односторонний предел, при стремлении аргумента к -3 справа:
    формула

    Следовательно, наибольшее значение на этом интервале функция принимает в стационарной точке формула, наименьшее значение функции мы вычислить не можем, но значения функции ограничены снизу величиной -4.

  4. Для интервала (-3;2) воспользуемся результатами из предыдущего пункта и еще вычислим односторонний предел при стремлении к двойке слева:
    формула

    Поэтому формула, наименьшее значение определить нет возможности, значения функции ограничены снизу величиной -4.

  5. Результаты предыдущих двух пунктов позволяют утверждать, что на интервале [1;2) наибольшее значение формула функция принимает при x=1, наименьшее значение найти нельзя, значения функции ограничены снизу величиной -4.

  6. На промежутке формула функция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
    формула

    То есть, на этом интервале функция принимает значения из промежутка формула.

  7. Вычислив значение функции при x=4, можно утверждать, что формула и на плюс бесконечности функция асимптотически приближается к прямой y=-1.

А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты.

изображение

На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+