Функции, исследование функций Помощь в написании работ

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики.



Обратная функция - определение и примеры нахождения.

Определение обратной функции.

Пусть функция формула строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения формула, область значений этой функции формула, тогда на интервале формула определена непрерывная строго монотонная функция формула с областью значений формула, которая является обратной для формула.

Другими словами, об обратной функции формула для функции формула на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале формула либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений формула. Решения как раз и записываются через обратные функции.

Примеры нахождения взаимнообратных функций.

Например, требуется решить уравнение формула.

Решениями являются точки формула.

Функции косинус и арккосинус как раз являются обратными на области определения.

Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.

Начнем с линейных взаимнообратных функций.

Пример.

Найти функцию обратную для формула.

Решение.

Областью определения и областью значений этой функции является все множество действительных чисел. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение формула относительно x ).

формула - это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать формула.

Таким образом, формула и формула - взаимно обратные функции.

Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.
формула

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы первого и третьего квадрантов). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдет ниже.

Теперь рассмотрим пример нахождения логарифмической функции, обратной к заданной показательной функции.

Пример.

Найти функцию обратную для формула.

Решение.

Областью определения этой функции является все множество действительных чисел, областью значений является интервал формула. Выразим x через y (другими словами, решим уравнение формула относительно x).

формула - это и есть обратная функция. Переставив буквы x и y , имеем формула.

Таким образом, формула и формула - показательная и логарифмическая функции есть взаимно обратные функции на области определения.

График взаимно обратных показательной и логарифмической функций.
формула

Свойства взаимно обратных функций.


Перечислим свойства взаимно обратных функций формула и формула.

Замечание по свойству 1).

Рекомендуем ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО относиться к области определения и области значений функций.

Например: формула и формула - взаимно обратные функции. По первому свойству имеем формула. Это равенство верно только для положительных y , для отрицательных y логарифм не определен. Так что не спешите с записями вида формула, а если уж так написали, то следует добавить фразу «при положительных y».

Равенство формула в свою очередь верно для любых действительных x.

Надеемся, Вы уловили этот тонкий момент.

Особенно аккуратными надо быть с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.

К примеру, формула, так как область значений арксинуса формула, а формула в нее не попадает.

Правильно будет
формула

В свою очередь формула есть верное равенство.

То есть формула при формула и формула при формула.

Еще раз подчеркнем: БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ С ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬЮ ЗНАЧЕНИЙ!

Графики основных элементарных взаимно обратных функций.

Если Вам потребуются обратные функции для ветвей тригонометрических функций, отличных от главных, то соответствующую обратную тригонометрическую функцию нужно будет сдвинуть вдоль оси ординат на необходимое количество периодов.

Например, если Вам потребуется обратная функция для ветви тангенса на промежутке формула (эта ветвь получается из главной ветви сдвигом на величину формула вдоль оси ох ), то ей будет являться ветвь арктангенса, сдвинутая вдоль оси oy на формула.
формула

Пока на этом закончим с обратными функциями.

Список литературы.

  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+