Функции, исследование функций Помощь в написании работ

Преобразование графиков элементарных функций.


В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат). К примеру, квадратичная функция формула представляет собой квадратичную параболу формула, сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.

изображение

Давайте разберемся в этих геометрических преобразованиях графика функции пошагово на конкретных примерах.


С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида формула, где формула - коэффициенты сжатия (при формула) или растяжения (при формула) вдоль осей oy и ox соответственно, знаки «минус» перед коэффициентами формула и формула указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.

Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:

Теперь обо всем по порядку.


Начнем с геометрических преобразований графика степенной функции.

Пример.

С помощью преобразования графика функции формула построить формула.

Решение.

Функция представляется в следующем виде:
формула.

Имеем формула, причем перед этим коэффициентом знак «минус», а=-1/2 , b=3 . Следовательно, получили цепочку геометрических преобразований графика: растяжение вдоль оси ординат вдвое, симметричное отображение относительно оси абсцисс, сдвиг вправо на 1/2 и сдвиг вверх на 3 единицы.

исходная степенная функция
формула

растягиваем вдоль оси oy вдвое
формула

отображаем симметрично относительно оси ox
формула

сдвигаем вправо на 1/2
формула

сдвигаем вверх на 3 единицы
формула

Рассмотрим пример геометрических преобразований графика показательной функции.

Пример.

Построить график показательной функции формула.

Решение.

По свойствам степени преобразуем функцию:
формула

Таким образом, имеем цепочку преобразований графика показательной функции формула:
формула

исходная показательная функция
формула

сжимаем вдоль оси oy вдвое
формула

растягиваем вдвое вдоль оси ox
формула

отображаем симметрично относительно оси ox
формула

отображаем симметрично относительно оси oy
формула

сдвигаем вверх на 8 единиц
формула

Сейчас проведем геометрические преобразования графика логарифмической функции y=ln(x).

Пример.

Построить формула преобразованием графика функции формула

Решение.

Используем свойства логарифма:
формула

Таким образом, имеем цепочку преобразований графика логарифмической функции:
формула

график исходной функции натуральный логарифм
формула

сжимаем вдоль оси oy втрое
формула

растягиваем вдвое вдоль оси ox
формула

отображаем симметрично относительно оси oy
формула

сдвигаем вверх на 2 единицы
формула

Преобразование графиков тригонометрических функций подчиняется общей схеме геометрических преобразований формула. Единственно хочется обратить внимание на влияние коэффициента формула на период тригонометрических функций. При отличном от единицы коэффициенте формула период становится равным формула. То есть, при формула растяжение графика функции вдоль оси абсцисс соответствует увеличению периода, а при формула сжатие графика соответствует уменьшению периода. Коэффициент формула влияет на амплитуду колебаний синусоиды и косинусоиды.

Геометрические преобразования синусоиды y=sinx.

Пример.

С помощью преобразования графика функции y=sinx построить формула

Решение.

Приводим функцию к виду шаблона формула:
формула

Имеем формула, причем перед коэффициентом формула стоит знак «минус», перед формула минуса нет.

Таким образом, цепочка преобразований графика функции y=sinx примет вид:
формула

Поэтапное преобразование графика синусоиды. Графическая иллюстрация.

График исходной синусоиды y=sin(x) . Наименьший положительный период равен формула. Максимумы находятся в точках формула, минимумы – в точках формула.
формула

Растягиваем вдоль оси ординат втрое (амплитуда колебаний при этом возрастает в три раза). Наименьший положительный период равен формула. Максимумы переходят в точки формула, минимумы – в точки формула.
формула

Растягиваем вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое увеличивается формула. Максимумы переходят в точки формула, минимумы – в точки формула.
формула

Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Наименьший положительный период при этом не меняется формула. Максимумы переходят в точки формула, минимумы – в точки формула.
формула

Сдвигаем график вправо на 3 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется формула. Максимумы переходят в точки формула, минимумы – в точки формула.
формула

Сдвигаем график вниз на 2 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется формула. Максимумы переходят в точки формула, минимумы – в точки формула.
формула

Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=sinx завершается.

Давайте рассмотрим геометрические преобразования тригонометрической функции y=cosx.

Пример.

Построить график функции формула преобразованием косинусоиды y=cosx.

Решение.

Приводим функцию к виду шаблона формула:
формула

Имеем формула, причем перед коэффициентом формула стоит знак «минус», перед формула минуса нет.

Таким образом, цепочка преобразований графика тригонометрической функции косинус примет вид:
формула

Поэтапное преобразование графика косинусоиды. Графическая иллюстрация.

Исходный график y=cos(x) . Наименьший положительный период равен формула. Максимумы находятся в точках формула, минимумы – в точках формула.
формула

Растягиваем вдоль оси ординат в 3/2 раза (амплитуда колебаний при этом возрастает в 3/2 раза). Наименьший положительный период равен формула. Максимумы переходят в точки формула, минимумы – в точки формула.
формула

Сжимаем график вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое уменьшается формула. Максимумы переходят в точки формула, минимумы – в точки формула.
формула

Симметрично отображаем относительно оси ординат. В силу четности функции график при этом не изменится.
формула

Сдвигаем график вправо на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется формула. Максимумы переходят в точки формула, минимумы – в точки формула.
формула

Сдвигаем график вверх на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется формула. Максимумы переходят в точки формула, минимумы – в точки формула.
формула

Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=cosx завершается.

Преобразование тригонометрической функции y=tgx.

Пример.

С помощью геометрических преобразований графика функции y=tgx построить формула

Решение.

Приводим функцию к виду шаблона формула:
формула

Имеем формула, причем перед коэффициентами формула и формула стоит знак «минус».

Таким образом, цепочка преобразований графика тангенсоиды примет вид:
формула

Поэтапное преобразование графика тангенсоиды. Графическая иллюстрация.

Исходный график y=tg(x) . Наименьший положительный период равен формула. Область определения формула.
формула

Производим сжатие вдоль оси ординат в 2 раза. Наименьший положительный период при этом не меняется формула. Область определения остается прежней формула.
формула

Растягиваем график вдоль оси абсцисс в 3/2 раза. Наименьший положительный период при этом равен формула. Область определения изменяется на формула.
формула

Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Период и область определения при этом не меняются.
формула

Симметрично отображаем относительно оси ординат. Период и область определения при этом не меняются. Стоит заметить, что график в точности совпадает с графиком двумя шагами ранее. Это объясняется нечетностью функции тангенса. То есть, если к нечетной функции применить симметричное отображение относительно осей ox и oy , то получим исходную функцию.
формула

Сдвигаем график вправо на формула (примерно на полторы единицы). Наименьший положительный период при этом не меняется формула. Область определения изменяется на формула.
формула

Сдвигаем график вверх на формула (примерно на единицу). Период и область определения при этом не меняются.
формула

Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=tgx завершается.

Геометрические преобразования обратной тригонометрической функции y=arccosx.

Пример.

Построить график функции формула преобразованием графика y=arccosx.

Решение.

Сначала от арккосинуса перейдем к арксинусу, используя соотношение обратных тригонометрических функций формула

Следовательно, формула

Таким образом, имеем цепочку преобразований арккосинуса в арксинус:
формула

Поэтапное преобразование графика арккосинуса. Графическая иллюстрация.

Исходный график y=arccos(x) .
формула

Отображаем симметрично относительно оси ox .
формула

Сдвигаем вверх на формула.
формула

Вот так перешли от арккосинуса к арксинусу.

Теперь проводим геометрические преобразования графика арксинуса.

Имеем формула, причем перед коэффициентами формула и формула знака минуса нет.

Таким образом, цепочка преобразований графика y=arcsinx примет вид:
формула

Поэтапное преобразование графика арксинуса. Графическая иллюстрация.

График функции y=arcsinx . Область определения формула. Область значений формула.
формула

Растягиваем вдвое вдоль оси ординат. Область определения не меняется формула. Область значений становится формула.
формула

Растягиваем вдоль оси абсцисс втрое. При этом область определения расширяется до формула. Область значений не меняется формула.
формула

Сдвигаем график на единицу вправо. При этом область определения переходит в формула. Область значений не меняется формула.
формула

Этим этапом задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершается.

Для построения графиков элементарных функций более сложного вида рекомендуем проводить полное исследование функции.

Список литературы.

  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват учреждений.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+