Математика на cleverstudents.ru

Функции, исследование функций

Как найти область определения функции?

Будем исходить из того, что Вы знаете, что такое область определения функции и что Вам известны области определения основных элементарных функций (постоянной, корня, степенной функции и т.п.). Если нет, то рекомендуем вернуться к информации указанной статьи, так как ниже мы будем постоянно опираться на нее, объясняя, как найти область определения функции.

В этой статье мы будем учиться находить области определения функций одной переменной, которые представляют собой всевозможные комбинации основных элементарных функций: от их сумм и произведений, например, или , до их отношений и композиций, к примеру, или . Здесь мы рассмотрим теорию и покажем ее применение на практике при решении характерных задач.

Что значит найти область определения функции?

Известно, что когда задается какая-либо функция, то сразу указывается ее область определения. Другими словами, нельзя говорить о функции без ее области определения. Тогда возникает логичный вопрос, откуда взяться задаче с формулировкой найти область определения функции, если область определения должна быть указана вместе с самой функцией? А дело здесь вот в чем.

Функции очень часто задают, просто записывая формулу вида y=f(x), при этом область определения функции явно не указывают. В этом случае подразумевают, что областью определения функции является множество всех таких значений аргумента, при котором выражение f(x) смысл (то есть, ОДЗ переменной x выражения f(x)). Так вот встает задача нахождение этого множества значений аргумента, которая по сути и составляет задачу поиска области определения функции.

Что указывает на возможное ограничение области определения?

В школе обычно изучаются функции действительной переменной. При этом область определения отдельно взятой функции это, либо все множество действительных чисел R, либо некоторое его подмножество, например, промежуток (0, +∞) или множество [−3, 1)∪[5, 7). По виду формулы, задающей функцию, можно определить, что область определения функции отлична от множества R. Давайте рассмотрим, что указывает на возможное наличие ограничений области определения:

• Во-первых, это деление на выражение с переменной, или присутствие переменной в знаменателе дроби, например, . Это связано с тем, что на нуль делить нельзя.
• Во-вторых, это переменная под знаком корня четной степени или в показателе корня, к примеру, или [1, с.96]. Здесь основе лежит тот факт, что корень четной степени имеет смысл лишь тогда, когда число под ним неотрицательно. А что касается показателя корня, то им может быть лишь какое-нибудь натуральное число, отличное от единицы.
• В-третьих, это переменная в основании степени с отрицательным или не целым показателем. Вот примеры таких функций , , . Мы ведь помним, что степени с такими показателями определены не для любых чисел.
• В-четвертых, это наличие переменной под знаком логарифма или в основании логарифма, например, или . Здесь учитываем, что в основании логарифма должно быть положительное и отличное от нуля число, а под знаком логарифма – положительное число.
• В-пятых, это наличие переменной под знаком тангенса или котангенса, к примеру, или . Это и понятно, ведь тангенс и котангенс имеют смысл не для любого действительного числа.
• Наконец, это наличие переменной под знаком арксинуса или арккосинуса, например, , . Тут учитываем, что арксинус и арккосинус мы определяли для чисел из отрезка от −1 до 1, а не для любого числа.

Если формула, которой задана функция, не содержит ни одного признака из представленного списка, то почти наверняка область определения функции есть множество R (если, конечно, речь не идет о каком-нибудь «эксклюзиве»). Для примера возьмем функцию f, заданную формулой . Ее запись не содержит ничего, что могло бы ограничить ее область определения, в этом случае D(f)=R.

Правила нахождения области определения

Первые задачи на нахождение области определения функции начинают проскакивать на уроках алгебры в 8-9 классе. Они довольно простые и решаются, исходя из очевидных соображений.

В качестве примера приведем рассуждения, позволяющие найти область определения функции y=2·x+1. Мы можем вычислить значение выражения 2·x+1 для любого значения переменной x, поэтому, область определения функции y=2·x+1 – это множество всех действительных чисел.

Разберем еще один пример. Пусть функция задана формулой , и нам требуется найти ее область определения. Известно, что на нуль делить нельзя, поэтому выражение имеет смысл при любых значениях x, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль. Знаменатель равен нулю при x=1, поэтому искомая область определения функции есть числовое множество (−∞, 1)∪(1, +∞).

И еще один характерный пример. Найдем область определения функции с корнем . Мы знаем, имеют смысл лишь выражения с положительными числами под знаком квадратного корня, поэтому искомую область определения функции составляют все такие значения x, для которых выполняется условие x²−5·x+6≥0. Решив полученное квадратное неравенство, записываем ответ: (−∞, 2]∪[3, +∞).

Но дальше начинают встречаться функции все более и более сложных видов, особенно в сборниках задач по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, и возникает потребность в строгих правилах, позволяющих находить области определения всевозможных функций. Но тут всплывает неприятный сюрприз: в учебниках алгебры эти правила отдельно не выделены и их приходится выискивать из контекста. Восполним этот пробел.

Для удобства изучения дальнейшего материала расположите перед собой таблицу областей определения функций.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Для начала научимся находить область определения суммы функций. Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:

Если функция f - это сумма n функций f₁, f₂, …, f_n, то есть, функция f задается формулой y=f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x), то областью определения функции f является пересечение областей определения функций f₁, f₂, …, f_n. Запишем это как .

Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать пересечение числовых множеств, записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий. Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем.

Переходим к нахождению области определения произведения функций. Для этого случая имеет место аналогичное правило:

Если функция f - это произведение n функций f₁, f₂, …, f_n, то есть, функция f задается формулой y=f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x), то область определения функции f есть пересечение областей определения функций f₁, f₂, …, f_n. Итак, .

Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f.

Отдельно остановимся на нахождении области определения функции, заданной формулой y=C·f(x), где С – некоторое действительное число. Легко показать, что область определения этой функции и область определения функции f совпадают. Действительно, функция y=C·f(x) – это произведение постоянной функции и функции f. Областью определения постоянной функции является множество всех действительных чисел, а область определения функции f есть D(f). Тогда область определения функции y=C·f(x) есть , что и требовалось показать.

Итак, области определения функций y=f(x) и y=C·f(x), где С – некоторое действительное число, совпадают. Например, область определения корня есть [0, +∞), как и область определения функции есть [0, +∞).

В частности, области определения функций y=f(x) и y=−f(x) совпадают, и это позволяет утверждать, что область определения разности функций можно найти так же, как и область определения суммы функций.

Озвучим и обоснуем еще одно очень важное утверждение: область определения функции - это множество всех действительных чисел.

Рассмотрим функцию , правая часть которой есть многочлен с одной переменной в стандартном виде степени n с действительными коэффициентами. Ее можно рассматривать как сумму (n+1)-ой функции. Очевидно, что областью определения каждой функции суммы является множество всех действительных чисел, следовательно, область определения исходной функции - это тоже множество R.

Область определения сложной функции

Рассмотрим для начала сложную функцию f, которой соответствует формула y=f₁(f₂(x)). Как же найти область определения сложной функции f? Изучив соответствующий пункт в учебнике [2, c. 118], становится ясно, что D(f) - это множество всех x из области определения функции f₂, для которых f₂(x) входит в область определения функции f₁.

Таким образом, область определения сложной функции y=f₁(f₂(x)) - это пересечение двух множеств: множества всех таких x, что x∈D(f₂), и множества всех таких x, для которых f₂(x)∈D(f₁). То есть, в принятых нами обозначениях (это по сути система неравенств).

Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать решение систем неравенств, так как это выходит за рамки этой статьи.

Теперь давайте перейдем к сложным функциям общего вида y=f₁(f₂(…f_n(x)))). Область определения функции f в этом случае находится как .

Замечание. В разобранных выше примерах мы специально брали функции, составленные только из основных элементарных функций, чтобы лучше донести принцип нахождения области определения.

Область определения дроби

Рассмотрим дробную функцию, заданную формулой . Понятно, что дробь имеет смысл на множестве, на котором определена и функция f₁, и функция f₂, и более того, f₂(x) не обращается в нуль. То есть, в принятых нами обозначениях область определения функции f состоит из всех таких x, для которых .

Этот же результат можно вывести из уже изученных правил. Покажем, как это сделать. Функцию перепишем в виде . Имеем произведение двух функций: y=f₁(x) и сложной функции . Область определения функции y=f₁(x) есть множество D(f₁), а область определения сложной функции определяется из системы . Таким образом, .

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение логарифма дается для положительных оснований не равных единице и для положительного числа под знаком логарифма. Из этого понятно, какие условия задают область определения функции , они таковы:

К этому же заключению можно прийти, если функцию, содержащую аргумент под знаком логарифма и в основании логарифма, переписать в виде . А теперь найдем область определения дробной функции по уже известному нам правилу.

Так как областью определения логарифмической функции с основанием a является множество действительных положительных чисел, то области определения сложных функций и определяются из систем и соответственно. Тогда область определения дробной функции , а значит и функции , находится из системы .

Область определения показательно-степенной функции

Под показательно-степенной функцией понимается функция, заданная формулой . Область определения показательно-степенной функции состоит из всех таких x, для которых . Кстати, на этой области определения от показательно-степенной функции можно перейти к сложной функции следующего вида: , где a>0, a≠1.

В общем случае

Понятно, что в общем случае нам может потребоваться найти область определения функции, которую составляют как суммы, разности, произведения функций, так и дробные, сложные и другие функции. Разобранные выше правила позволяют справиться с этой задачей. Главное действовать последовательно и аккуратно.

Таблицы основных результатов

Давайте соберем изученные правила нахождения областей определения в таблицу, так все они будут перед глазами, так их будет проще запомнить и удобно использовать.

Еще очень полезен список следствий, которые наиболее практически значимы.

В заключении отметим, что часто возникает желание выполнить преобразование выражения, которое находится в правой части формулы, задающей функцию. Их нужно проводить очень аккуратно. Этим мы хотим сказать, что допустимы лишь тождественные преобразования, не влияющие на область определения исходной функции. Например, и y=x+2 - это две разные функции, первая определена на множестве (−∞, 2)∪(2, +∞), а вторая – на множестве всех действительных чисел. Преобразование справедливо только тогда, когда x≠2.