Математика на cleverstudents.ru

Функции, исследование функций

Область определения функции

Неотъемлемым атрибутом любой функции является ее область определения. В этой статье собраны начальные самые необходимые сведения про область определения функции. Из нее Вы узнаете, что это такое, как она обозначается, и каковы области определения основных элементарных функций (постоянной, корня, степенной функции и т.д.).

Без этих знаний нам не обойтись в дальнейшем, когда мы столкнемся с задачей найти область определения функции достаточно сложного вида. Но об этом чуть позже, сначала надо разобраться с очерченным кругом вопросов.

Сразу отметим, что в этой статье мы будем говорить про область определения функции одной переменной.

Определение, обозначение

В школе первая встреча с областью определения обычно происходит на уроках алгебры в 7 классе, когда в обиход вводится термин «функция» [1, с. 53; 2, с. 155]. На этом этапе областью определения функции называют все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент).

К определению функции возвращаются вновь и вновь, сначала в 9 классе [3, с. 3; 4, с. 86], а дальше и в старших классах [5, с. 55; 6, с. 21], где его дают более строго. Например, в учебнике Колмогорова А. Н. оно дается в следующей формулировке:

Из приведенного определения можно выделить интересующее нас в рамках рассматриваемой темы определение области определения функции:

Теперь пару слов скажем про принятые обозначения.

Было принято функции обозначать малыми латинскими буквами, например, f, g, h и т.п. При этом стали использовать записи вида y=f(x), которые означают, что имеет место функциональная зависимость. Другими словами, этим записям придали следующий смысл: функция f есть правило, по которому каждому значению независимой переменной x из области определения функции f ставится в соответствие значение зависимой переменной y. В качестве примера приведем функцию, заданную формулой y=x². Здесь f(x)=x², то есть, f - функция возведения в квадрат. Она каждому значению независимой переменной x=x₀ из области определения ставит в соответствие значение зависимой переменной y=x₀². К примеру, числу 3 эта функция поставит в соответствие число 9 (так как 3²=9).

Для обозначения области определения функции f в свою очередь стали использовать краткую запись вида D(f). Здесь заметим, что для некоторых функций приняты свои обозначения, таковыми, например, являются тригонометрические функции. Поэтому, к примеру, можно встретить запись D(sin), которая обозначает область определения функции синус. Конечно, ее можно переписать и как D(f), где f – функция синус.

Если областью определения функции f является множество X, то принята запись D(f)=X. Например, область определения арксинуса (функция арксинуса обозначается как arcsin) есть числовой промежуток [−1, 1], это можно записать как D(arcsin)=[−1, 1].

Области определения основных элементарных функций

Из определения функции понятно, что область определения функции является неотъемлемой частью самой функции, она задается вместе с самой функцией. То есть, когда вводится какая-либо функция, то область ее определения указывается изначально. Так на уроках алгебры последовательно изучаются функция за функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y=x² и так далее, и области их определения указываются как свойства.

Перечислим области определения основных элементарных функций.

Постоянной

Постоянная функция, как известно, задается формулой y=C (то есть, f(x)=C), где C – некоторое действительное число. Она ставит в соответствие каждому действительному значению аргумента значение функции, равное С. Таким образом, область определения постоянной функции представляет собой множество всех действительных чисел R.

Например, область определения постоянной функции y=−3 (здесь f(x)=−3) есть множество всех действительных чисел (D(f)=(−∞, +∞) или D(f)=R). Еще пример: областью определения функции , как и любой другой постоянной функции, также является множество R.

Корня

Первой функцией, которая задается с использованием знака радикала, выступает функция извлечения квадратного корня . Чуть позже подоспевает и обобщение – функция корень степени n, она задается с помощью формулы , где n – натуральное число, большее единицы. Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

• Если n – четное число, то есть, n=2·m, где m∈N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел: .
• Если же показатель корня является нечетным числом, большим единицы, то есть, n=2·m+1, то областью определения корня является множество всех действительных чисел, то есть, .

Итак, область определения каждой из функций , … есть числовое множество [0, +∞), а областью определения функций , … является множество (−∞, +∞).

Степенной функции

Степенная функция задается формулой y=x^a, то есть, f(x)=x^a, где x – переменная в основании степени, a – некоторое число в показателе степени. Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени. Перечислим все возможные случаи.

• Если a – положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел, что то же самое (−∞, +∞).
• Для нецелых действительных положительных показателей степени D(f)=[0, +∞).
• Если a – отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0)∪(0, +∞).
• Для всех остальных действительных отрицательных a областью определения степенной функции является числовой промежуток (0, +∞).

При a=0 степенная функция y=x^a определена для всех действительных значений x, кроме x=0. Это связано с тем, что мы не определяли 0⁰. А любое отличное от нуля число в нулевой степени, как известно, равно единице. То есть, при a=0 имеем функцию y=x⁰=1 на области определения (−∞, 0)∪(0, +∞).

Приведем несколько примеров для конкретики.

• Областью определения функций y=x⁵, y=x¹² является множество R, так как показатели степени целые положительные.
• Степенные функции , определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.
• Область определения функции y=x⁻², как и функции y=x⁻⁵ - это множество (−∞, 0)∪(0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.
• Наконец, областью определения степенных функций , является открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Показательной функции

Показательная функция задается формулой y=a^x, где переменная x находится в показателе степени, а в основании стоит число a, которое больше нуля и не равно единице. Она определяется на множестве всех действительных чисел. Это значит, что область определения показательной функции – это множество R.

Для примера приведем показательные функции , y=e^x, , y=13^x, область определения каждой из них есть (−∞, +∞).

Логарифма

Логарифмическая функция с основанием a, где число a>0 и a≠1, - это функция, заданная формулой y=log_ax на множестве положительных действительных чисел. Логарифм по основанию a обозначается как log_a, с основанием e – как ln, а с основанием 10 – как lg. Область определения логарифмической функции (или как еще говорят область определения логарифма) – это множество всех положительных действительных чисел, то есть, D(log_a)=(0, +∞), в частности, D(ln)=(0, +∞) и D(lg)=(0, +∞).

Приведем примеры. Рассмотрим логарифмические функции , y=log₇x, y=lnx, область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Тригонометрических функций

Давайте вспомним, как задаются тригонометрические функции, откуда будут видны их области определения.

Функция, которая задается формулой y=sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Таким образом, область определения синуса – это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin)=R.

Аналогично, функция, заданная формулой y=cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус – множество всех действительных чисел: D(cos)=R.

Функции, заданные формулами y=tgx и y=ctgx, называются тангенсом и котангенсом соответственно и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса – это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса – это множество всех действительных чисел, кроме чисел .

Таким образом, если x – аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и соответственно.

Обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Функция, которая задается формулой y=arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin. Из этого определения понятно, что область определения арксинуса – это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin)=[−1, 1].

Аналогично, функция, которая задается формулой y=arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos. Таким образом, область определения функции арккосинус есть отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos)=[−1, 1].

Функции, которые задаются формулами вида y=arctgx и y=arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом соответственно, обозначаются arctg и arcctg. Область определения арктангенса и область определения арккотангенса есть все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg)=R и D(arcctg)=R.

Таблица областей определения функций

Для удобства запоминания и использования результатов, изложенных выше, соберем их в таблицу. Не помешает сделать ее копию, и выделить ей место наряду с таблицей квадратов, таблицей простых чисел и т.п. Она может оказаться очень полезной при работе с функциями, особенно на первом этапе, пока ее содержимое не уляжется в памяти. Итак, таблица областей определения функций:

В заключение хочется сказать, что изучение функций в школе не ограничивается основными элементарными, в примерах и задачах встречаются функции, представляющие собой их всевозможные комбинации. И часто области определения таких функций не указываются, но подразумевается, что область определения функции в этом случае состоит из всех значений аргумента, при котором записанная формула имеет смысл. Вот здесь и встает вопрос, к ответу на который мы плавно переходим и который звучит так: «Как найти область определения функции»?