Функции, исследование функций Помощь в написании работ

Выпуклость функции. Направление выпуклости. Точки перегиба. Условия выпуклости и перегиба.


При исследовании функции и построении ее графика на одном из этапов мы определяем точки перегиба и интервалы выпуклости. Эти данные вместе с промежутками возрастания и убывания позволяют схематично представить график исследуемой функции.

Дальнейшее изложение подразумевает, что Вы умеете находить производные функции до некоторого порядка и решать неравенства разных видов.

Изучение материала начнем с необходимых определений и понятий. Далее озвучим связь между значением второй производной функции на некотором интервале и направлением ее выпуклости. После этого перейдем к условиям, которые позводляют определять точки перегиба графика функции. По тексту будем приводить характерные примеры с подробными решениями.


Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба.

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.

изображение

Определение.

Точка формула называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки формула, в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.

Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной.

На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.

изображение

Нахождение интервалов выпуклости функции.

Сформулируем теорему, которая позволяет определять промежутки выпуклости функции.

Теорема.

Если функция y=f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство формула (формула), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х.

Эта теорема позволяет находитьть промежутки вогнутости и выпуклости функции, нужно лишь на области определения исходной функции решить неравенства формула и формула соответственно.

Следует отметить, что точки, в которых функция y=f(x) определена, а вторая производная не существует, будем включать в интервалы вогнутости и выпуклости.

Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выяснить промежутки, на которых график функции формула имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз.

Решение.

Область определения функции - это все множество действительных чисел.

Найдем вторую производную.
формула

Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции, поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить формула и формула соответственно.
формула

Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале формула и выпуклая вверх на интервале формула.

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом.

изображение

Сейчас рассмотрим пример, когда область определения второй производной не совпадает с областью определения функции. В этом случае, как мы уже отмечали, точки области определения, в которых не существует конечная вторая производная, следует включать в интервалы выпуклости и (или) вогнутости.

Пример.

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции формула.

Решение.

Начнем с области определения функции:
формула

Найдем вторую производную:
формула

Областью определения второй производной является множество формула. Как видите, x=0 принадлежит области определения исходной функции, но не принадлежит области определения второй производной. Не забывайте про эту точку, ее нужно будет включить в интервал выпуклости и (или) вогнутости.

Теперь решаем неравенства формула и формула на области определения исходной функции. Применим метод интервалов. Числитель выражения формула обращается в ноль при формула или формула, знаменатель – при x = 0 или x = 1. Схематично наносим эти точки на числовую прямую и выясняем знак выражения на каждом из интервалов, входящих в область определения исходной функции (она показана заштрихованной областью на нижней числовой прямой). При положительном значении ставим знак «плюс», при отрицательном – знак «минус».
формула

Таким образом,
формула
и
формула

Следовательно, включив точку x=0, получаем ответ.

При формула график функции имеет выпуклость направленную вниз, при формула - выпуклость направленную вверх.

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, черной пунктирной прямой является вертикальная асимптота.

изображение

Необходимое и достаточные условия перегиба.

Необходимое условие перегиба.

Сформулируем необходимое условие перегиба графика функции.

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке формула и имеет при формула непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство формула.

Из этого условия следует, что абсциссы точек перегиба следует искать среди тех, в которых вторая производная функции обращается в ноль. НО, это условие не является достаточным, то есть не все значения формула, в которых вторая производная равна нулю, являются абсциссами точек перегиба.

Еще следует обратить внимание, что по определению точки перегиба требуется существование касательной прямой, можно и вертикальной. Что это означает? А означает это следующее: абсциссами точек перегиба могут быть все формула из области определения функции, для которых формула и формула. Обычно это точки, в которых знаменатель первой производной обращается в ноль.

Первое достаточное условие перегиба.

После того как найдены все формула, которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке формула, имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки формула. Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от формула, вторая производная имеет разные знаки, то формула является точкой перегиба графика функции.

Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке формула, но требует ее существование в окрестности точки формула.

Сейчас обобщим всю информацию в виде алгоритма.

Алгоритм нахождения точек перегиба функции.

Находим все абсциссы формула возможных точек перегиба графика функции (формула или формула и формула) и выясняем, проходя через какие формула вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки формула будут точками перегиба графика функции.

Рассмотрим два примера нахождения точек перегиба для разъяснения.

Пример.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции формула.

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел.

Найдем первую производную:
формула

Областью определения первой производной также является все множество действительных чисел, поэтому равенства формула и формула не выполняется ни для каких формула.

Найдем вторую производную:
формула

Выясним при каких значениях аргумента x вторая производная обращается в ноль:
формула

Таким образом, абсциссами возможных точек перегиба являются x=-2 и x=3.

Теперь осталось проверить по достаточному признаку перегиба, в каких из этих точек вторая производная меняет знак. Для этого нанесем точки x=-2 и x=3 на числовую ось и, как в обобщенном методе интервалов, расставим знаки второй производной над каждым промежутком. Под каждым интервалом схематично дугами показано направление выпуклости графика функции.
формула

Вторая производная меняет знак с плюса на минус, проходя через точку x=-2 слева направо, и меняет знак с минуса на плюс, проходя через x=3. Следовательно, и x=-2 и x=3 являются абсциссами точек перегиба графика функции. Им соответствуют точки графика формула и формула.

Взглянув еще раз на числовую ось и знаки второй производной на ее промежутках, можно делать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости. График функции выпуклый на интервале формула и вогнутый на интервалах формула и формула.

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, точки перегиба показаны черными точками.

изображение

Пример.

Найдите абсциссы всех точек перегиба графика функции формула.

Решение.

Областью определения данной функции является все множество действительных чисел.

Найдем производную.
формула

Первая производная, в отличии от исходной функции, не определена при x=3. Но формула и формула. Следовательно, в точке с абсциссой x=3 существует вертикальная касательная к графику исходной функции. Таким образом, x=3 может быть абсциссой точки перегиба графика функции.

Находим вторую производную, область ее определения и точки, в которых она обращается в ноль:
формула

Получили еще две возможные абсциссы точек перегиба. Отмечаем все три точки на числовой прямой и определяем знак второй производной на каждом из полученных интервалов.
формула

Вторая производная меняет знак, проходя через каждую из точек, следовательно, все они являются абсциссами точек перегиба.

Графическая иллюстрация.

Части графика функции на интервалах выпуклости изображены синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, точки перегиба показаны черными точками.

изображение

Первое достаточное условие перегиба графика функции позволяет определять точки перегиба и не требуют существования второй производной в них. Поэтому, первое достаточное условие можно считать универсальным и самым используемым.

Сейчас сформулируем еще два достаточных условия перегиба, но они применимы лишь при существовании конечной производной в точке перегиба до некоторого порядка.

Второе достаточное условие перегиба.

Если формула, а формула, тогда формула является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

Пример.

Выяснить, является ли точка формула точкой перегиба графика функции формула.

Решение.

Для начала убедимся, что точка формула принадлежит графику функции:
формула

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Найдем первую и вторую производные.
формула

Вторая производная обращается в ноль при x=3, то есть необходимое условие перегиба графика функции в точке формула выполнено, и эта точка может быть точкой перегиба. Воспользуемся вторым достаточным условием перегиба. Для этого найдем третью производную и убедимся, что ее значение при x=3 отлично от нуля.
формула

Очевидно, что значение третьей производной отлично от нуля для любых x, в том числе и для x=3. Поэтому, по второму достаточному условию перегиба графика функции, точка формула является точкой перегиба.

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом, точка перегиба показана черной точкой.

изображение

Третье достаточное условие перегиба.

Пусть формула, а формула, тогда если n – четное число, то формула является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

Пример.

Найдите точки перегиба графика функции формула.

Решение.

Функция определена на всем множестве действительных чисел.

Найдем ее производную: формула. Очевидно, что она также определена для всех действительных x, поэтому, в любой из точек ее графика существует невертикальная касательная.

Определим значения х, при которых вторая производная обращается в ноль.
формула

Таким образом, в точке с абсциссой x=3 может быть перегиб графика функции. Чтобы убедиться в том, что х=3 действительно абсцисса точки перегиба, воспользуемся третьим достаточным условием.
формула

По третьему достаточному условию перегиба графика функции имеем n=4 (пятая производная обращается в ноль) – четное, поэтому x=3 является абсциссой точки перегиба и ей соответствует точка графика функции (3;1).

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом, точка перегиба показана черной точкой.

изображение

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+