Функции, исследование функций Помощь в написании работ

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода.


Исследование функции на непрерывность связано с нахождением односторонних пределов функции. Так что рекомендуем ознакомится с разделом Предел функции, основные определения и понятия, прежде чем двигаться дальше.

Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке формула, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке формула, то есть формула.

Следствие.

ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.

Пример.

Доказать непрерывность функции формула в точке формула.

Решение.

Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов формула, сходящуюся к формула, причем формула. Примером такой последовательности может являться
формула

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками.

Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2, поэтому формула.

Во-вторых, покажем существование предела справа. Для этого возьмем последовательность аргументов формула, сходящуюся к формула, причем формула. Примером такой последовательности может являться
формула

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны синими точками.

Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2, поэтому формула.

Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, существует предел функции формула в точке формула, причем формула

Вычислив значение функции в точке формула можно говорить о выполнении равенства формула, это доказывает непрерывность исходной функции в точке.

Графическая иллюстрация.

изображение

Определение устранимого разрыва первого рода.

В точке формула функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть формула.

Пример.

Найти точки разрыва функции и определить их тип формула.

Решение.

Находим область определения функции:
формула

Точкой разрыва нашей функции может быть только граничная точка области определения, то есть формула. Проверим функцию на непрерывность в этой точке.

На области определения выражение формула можно упростить:
формула

Находим пределы слева и справа. Так как функция формула непрерывна при любом действительном х, то
формула

Следовательно, пределы слева и справа равны, а сама функция формула в точке формула не определена, поэтому, в точке формула функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).

В точке формула функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть формула. Точку формула в этом случае называют точкой скачка функции.

Пример.

Исследовать кусочно-непрерывную функцию формула на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.

Решение.

Разрывы могут быть лишь в точках формула или формула.

Найдем пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках.

Слева от точки формула наша функция есть формула и в силу непрерывности линейной функции формула.

В самой точке формула наша функция есть формула, поэтому формула.

На промежутке формула наша функция есть формула и в силу непрерывности квадратичной функции
формула

В точке формула наша функция есть формула, поэтому формула.

Справа от формула наша функция есть формула и в силу непрерывности линейной функции
формула

В итоге имеем:

  • формула следовательно, в точке формула исходная кусочная функция непрерывна,
  • формула, то есть формула, следовательно, в точке формула неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Графическая иллюстрация.

изображение

Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

В точке формула функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева формула, либо предел справа формула, не существует или бесконечен.

Пример.

Исследовать функцию формула на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.

Решение.

Областю определения функции является интервал формула.

Найдем пределы функции слева и справа от точки формула.

Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к формула слева. Например, формула и соответствующую ей последовательность значений функции
формула

Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая отрицательная, поэтому, формула.

Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к формула справа. Например, формула и соответствующую ей последовательность значений функции
формула

Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая положительная, поэтому, формула.

Следовательно, в точке формула функция имеет разрыв второго рода.

Графическая иллюстрация.

изображение

Рекомендуем ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+