Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода.
Исследование функции на непрерывность связано с нахождением односторонних пределов функции. Так что рекомендуем ознакомится с разделом Предел функции, основные определения и понятия, прежде чем двигаться дальше.
Определение непрерывности функции в точке.
Функция f(x) называется непрерывной в точке 
, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть 
.
Следствие.
ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.
Пример.
Доказать непрерывность функции 
в точке 
.
Решение.
Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов 
, сходящуюся к 
, причем 
. Примером такой последовательности может являться
Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид
На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками.
Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2, поэтому 
.
Во-вторых, покажем существование предела справа. Для этого возьмем последовательность аргументов , сходящуюся к , причем 
. Примером такой последовательности может являться
Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид
На рисунке соответствующие значения показаны синими точками.
Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2, поэтому 
.
Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, существует предел функции в точке , причем 
Вычислив значение функции в точке можно говорить о выполнении равенства 
, это доказывает непрерывность исходной функции в точке.
Графическая иллюстрация.
Определение устранимого разрыва первого рода.
В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть 
.
Пример.
Найти точки разрыва функции и определить их тип 
.
Решение.
Находим область определения функции:
Точкой разрыва нашей функции может быть только граничная точка области определения, то есть 
. Проверим функцию на непрерывность в этой точке.
На области определения выражение 
можно упростить:
Находим пределы слева и справа. Так как функция 
непрерывна при любом действительном х, то
Следовательно, пределы слева и справа равны, а сама функция в точке не определена, поэтому, в точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.
Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).
В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть 
. Точку в этом случае называют точкой скачка функции.
Пример.
Исследовать кусочно-непрерывную функцию 
на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.
Решение.
Разрывы могут быть лишь в точках 
или 
.
Найдем пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках.
Слева от точки наша функция есть 
и в силу непрерывности линейной функции 
.
В самой точке наша функция есть 
, поэтому 
.
На промежутке 
наша функция есть и в силу непрерывности квадратичной функции
В точке наша функция есть 
, поэтому 
.
Справа от наша функция есть и в силу непрерывности линейной функции
В итоге имеем:
следовательно, в точке исходная кусочная функция непрерывна,
, то есть 
, следовательно, в точке неустранимый разрыв первого рода (скачок).
Графическая иллюстрация.
Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
В точке 
функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева 
, либо предел справа 
, не существует или бесконечен.
Пример.
Исследовать функцию 
на непрерывность, определить вид точек разрыва, сделать чертеж.
Решение.
Областю определения функции является интервал 
.
Найдем пределы функции слева и справа от точки 
.
Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к слева. Например, 
и соответствующую ей последовательность значений функции
Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая отрицательная, поэтому, 
.
Рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к справа. Например, 
и соответствующую ей последовательность значений функции
Легко показать, что эта последовательность бесконечно большая положительная, поэтому, 
.
Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.
Графическая иллюстрация.
Рекомендуем ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.