Функции, исследование функций Помощь в написании работ

Основные элементарные функции, их свойства и графики.


Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

Если Вас интересует дифференцирование элементарных функций или интегрирование элементарных функций, то можете перейти к этим разделам теории.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.


Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой y равно C, где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5, y=-2 и y равно кубическому корню из трех, которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

график постоянной функции

Свойства постоянной функции.

Корень n-ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой формула, где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n-ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций y равно квадратному корню из x, y равно корню четверной степени из x и y равно корню восьмой степени из x, им соответствуют черная, красная и синяя линии.

график корня n-ой степени, где n - четное число

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени при четных n.

Корень n-ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций y равно корню кубическому из x, y равно корню пятой степени из x и y равно корню девятой степени из x, им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

график корня n-ой степени, n - нечетное

При других нечетных значениях показателя корня графики функции y равно корень n-ой степени из икс будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n.

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида y равно x в степени a.

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции y равно x в степени a при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию математическая формула при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций y равно x – черная линия, y равно x в кубе – синяя линия, y равно x в пятой степени – красная линия, y равно x в седьмой степени – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

графики степенных функций с различными нечетными положительными показателями

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию y равно x в степени a с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций y равно x в квадрате – черная линия, y равно x в четвертой степени – синяя линия, y равно x в восьмой степени – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

графики степенных функций с четными положительными показателями

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции y равно x в степени a при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

графики степенных функций с нечетными отрицательными показателями

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций y равно x в минус девятой степени – черная линия, y равно x в минус пятой степени – синяя линия, y равно x в минус третьей степени – красная линия, y равно x в минус первой степени – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции y равно x в степени a при а=-2,-4,-6,….

графики степенных функций с четными отрицательными показателями

На рисунке изображены графики степенных функций y равно x в минус восьмой степени – черная линия, y равно x в минус четвертой степени – синяя линия, y равно x в минус второй степени – красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал формула. При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество формула. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию y равно x в степени a с рациональным или иррациональным показателем a, причем a больше нуля и меньше единицы.

Приведем графики степенных функций y равно x в степени a при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), y равно x в степени единица деленная на корень из трех (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

графики степенных функций с показателями из интервала от нуля до единицы

При других значениях показателя степени a, a больше нуля и меньше единицы графики функции y равно x в степени a будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при a больше нуля и меньше единицы.

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим степенную функцию y равно x в степени a с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем a больше единицы.

Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

графики степенных функций с нецелыми показателями, большими единицы

При других значениях показателя степени a, a больше единицы графики функции y равно x в степени a будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при a больше единицы.

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал формула. При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество формула соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции y равно x в степени a, кгода a от минус единицы до нуля.

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при a от минус единицы до нуля, приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

графики степенных функций с показателями, которые больше минус единицы и меньше нуля

Свойства степенной функции с показателем a, a от минус единицы до нуля.

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций y равно x в степени a при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

графики степенных функций с нецелыми показателями, которые меньше минус единицы

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

При а=0 и x не равно нулю имеем функцию формула - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 00 условились не придавать никакого значения).

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции математическая формула, где формула и формула принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, формула.

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала формула.

график

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, формула.

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций формула – синяя линия и формула – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

график

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция математическая формула, где формула, формула. Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при формула.

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда формула.

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

график

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы (формула).

Покажем графики логарифмических функций формула – синяя линия, формула – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

график

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода математическая формула, где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".

график синусоиды

Свойства функции синус y = sinx.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

график косинусоиды

Свойства функции косинус y = cosx.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:

график тангенсоиды

Свойства функции тангенс y = tgx.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):

график котангенсоиды

Свойства функции котангенс y = ctgx.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x).

Изобразим график функции арксинус:

график арксинуса

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

Функция арккосинус y = arccos(x).

График функции арккосинус имеет вид:

график арккосинуса

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).

Функция арктангенс y = arctg(x).

График функции арктангенс имеет вид:

график арктангенса

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).

Функция арккотангенс y = arcctg(x).

Изобразим график функции арккотангенс:

график арккотангенса

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).

Список литературы.

  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват учреждений.
  • Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
  • Новоселов С.И. Алгебра и элементарные функции.
  • Туманов С.И. Элементарная алгебра. Пособие для самообразования.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+