Основные элементарные функции, их свойства и графики.
Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.
В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:
- область определения функции;
- поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
- четность и нечетность;
- область значений функции;
- промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;
- промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
- наклонные и горизонтальные асимптоты;
- особые точки функций;
- особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).
Если Вас интересует дифференцирование элементарных функций или интегрирование элементарных функций, то можете перейти к этим разделам теории.
Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Постоянная функция.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5, y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.
Свойства постоянной функции.
- Область определения: все множество действительных чисел.
- Постоянная функция является четной.
- Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.
- Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
- Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
- Асимптот нет.
- Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.
Корень n-ой степени.
Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.
Корень n-ой степени, n - четное число.
Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.
Свойства функции корень n-ой степени при четных n.
- Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел .
- При x=0 функция принимает значение, равное нулю.
- Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).
- Область значений функции: .
- Функция при четных показателях корня возрастает на всей области определения.
- Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.
- Асимптот нет.
- График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и (1,1).
Корень n-ой степени, n - нечетное число.
Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.
При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n.
- Область определения: множество всех действительных чисел.
- Эта функция нечетная.
- Область значений функции: множество всех действительных чисел.
- Функция при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.
- Эта функция вогнутая на промежутке и выпуклая на промежутке , точка с координатами (0,0) – точка перегиба.
- Асимптот нет.
- График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1), (0,0) и (1,1).
Степенная функция.
Степенная функция задается формулой вида .
Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.
Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.
В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.
Степенная функция с нечетным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….
На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
- Область определения: .
- Область значений: .
- Функция нечетная, так как .
- Функция возрастает при .
- Функция выпуклая при и вогнутая при (кроме линейной функции).
- Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
- Асимптот нет.
- Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).
Степенная функция с четным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….
В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.
Свойства степенной функции с четным положительным показателем.
- Область определения: .
- Область значений: .
- Функция четная, так как .
- Функция возрастает при , убывает при .
- Функция вогнутая при .
- Точек перегиба нет.
- Асимптот нет.
- Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).
Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….
На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.
Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.
-
Область определения: .
При x=0 имеем разрыв второго рода, так как при а=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой. - Область значений: .
- Функция нечетная, так как .
- Функция убывает при .
- Функция выпуклая при и вогнутая при .
- Точек перегиба нет.
-
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как
при а=-1,-3,-5,…. - Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).
Степенная функция с четным отрицательным показателем.
Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,….
На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.
Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.
-
Область определения: .
При x=0 имеем разрыв второго рода, так как при а=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой. - Область значений: .
- Функция четная, так как .
- Функция возрастает при , убывает при .
- Функция вогнутая при .
- Точек перегиба нет.
-
Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как
при а=-2,-4,-6,…. - Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).
Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.
Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a, причем .
Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).
При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при .
- Область определения: .
- Область значений: .
- Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
- Функция возрастает при .
- Функция выпуклая при .
- Точек перегиба нет.
- Асимптот нет.
- Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.
Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем .
Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).
При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при .
- Область определения: .
- Область значений: .
- Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
- Функция возрастает при .
- Функция вогнутая при , если ; при , если .
- Точек перегиба нет.
- Асимптот нет.
- Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.
Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Переходим к степенной функции , кгода .
Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).
Свойства степенной функции с показателем a, .
-
Область определения: .
при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой. - Область значений: .
- Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
- Функция убывает при .
- Функция вогнутая при .
- Точек перегиба нет.
- Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
- Функция проходит через точку (1;1).
Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.
Приведем примеры графиков степенных функций при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.
Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.
-
Область определения: .
при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой. - Область значений: .
- Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
- Функция убывает при .
- Функция вогнутая при .
- Точек перегиба нет.
- Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
- Функция проходит через точку (1;1).
При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 00 условились не придавать никакого значения).
Показательная функция.
Одной из основных элементарных функций является показательная функция.
График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .
Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .
Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.
- Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел: .
- Область значений: .
- Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
- Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
- Функция вогнутая при .
- Точек перегиба нет.
- Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
- Функция проходит через точку (0;1).
Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .
В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.
Свойства показательной функции с основанием большим единицы.
- Область определения показательной функции: .
- Область значений: .
- Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
- Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .
- Функция вогнутая при .
- Точек перегиба нет.
- Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
- Функция проходит через точку (0;1).
Логарифмическая функция.
Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .
График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.
Начнем со случая, когда .
Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.
Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.
- Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
- Область значений: .
- Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
- Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
- Функция вогнутая при .
- Точек перегиба нет.
- Горизонтальных асимптот нет.
- Функция проходит через точку (1;0).
Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().
Покажем графики логарифмических функций – синяя линия, – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.
Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.
- Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
- Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .
- Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
- Функция возрастает при .
- Функция выпуклая при .
- Точек перегиба нет.
- Горизонтальных асимптот нет.
- Функция проходит через точку (1;0).
Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.
Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по порядку.
Функция синус y = sin(x).
Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".
Свойства функции синус y = sinx.
- Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .
- Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .
- Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
- Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .
- Функция синус - нечетная, так как .
-
Функция убывает при ,
возрастает при . -
Функция синус имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках . -
Функция y = sinx вогнутая при ,
выпуклая при . - Координаты точек перегиба .
- Асимптот нет.
Функция косинус y = cos(x).
График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:
Свойства функции косинус y = cosx.
- Область определения функции косинус: .
- Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .
- Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
- Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .
- Функция косинус - четная, так как .
-
Функция убывает при ,
возрастает при . -
Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках . -
Функция вогнутая при ,
выпуклая при . - Координаты точек перегиба .
- Асимптот нет.
Функция тангенс y = tg(x).
График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:
Свойства функции тангенс y = tgx.
-
Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел.
Поведение функции y = tgx на границе области определения
Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами. - Наименьший положительный период функции тангенс .
- Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
- Область значений функции y = tgx: .
- Функция тангенс - нечетная, так как .
- Функция возрастает при .
-
Функция вогнутая при ,
выпуклая при . - Координаты точек перегиба .
- Наклонных и горизонтальных асимптот нет.
Функция котангенс y = ctg(x).
Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):
Свойства функции котангенс y = ctgx.
-
Область определения функции котангенс: , где , Z – множество целых чисел.
Поведение на границе области определения
Следовательно, прямые , где являются вертикальными асимптотами. - Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .
- Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
- Область значений функции котангенс: .
- Функция нечетная, так как .
- Функция y = ctgx убывает при .
-
Функция котангенс вогнутая при ,
выпуклая при . - Координаты точек перегиба .
- Наклонных и горизонтальных асимптот нет.
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Функция арксинус y = arcsin(x).
Изобразим график функции арксинус:
Свойства функции арксинус y = arcsin(x).
- Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .
- Область значений функции y = arcsin(x): .
- Функция арксинус - нечетная, так как .
- Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .
- Функция вогнутая при , выпуклая при .
- Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
- Асимптот нет.
Функция арккосинус y = arccos(x).
График функции арккосинус имеет вид:
Свойства функции арккосинус y = arccos(x).
- Область определения функции арккосинус: .
- Область значений функции y = arccos(x): .
- Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
- Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .
- Функция вогнутая при , выпуклая при .
- Точка перегиба .
- Асимптот нет.
Функция арктангенс y = arctg(x).
График функции арктангенс имеет вид:
Свойства функции арктангенс y = arctg(x).
- Область определения функции y = arctg(x): .
- Область значений функции арктангенс: .
- Функция арктангенс - нечетная, так как .
- Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .
- Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .
- Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
- Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при . На чертеже они показаны зеленым цветом.
Функция арккотангенс y = arcctg(x).
Изобразим график функции арккотангенс:
Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).
- Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: .
- Область значений функции y = arcctg(x): .
- Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
- Функция убывает на всей области определения, то есть, при .
- Функция вогнутая при , выпуклая при .
- Точка перегиба .
- Горизонтальными асимптотами являются прямые при (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при .
Список литературы.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват учреждений.
- Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
- Новоселов С.И. Алгебра и элементарные функции.
- Туманов С.И. Элементарная алгебра. Пособие для самообразования.