Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Основные виды выражений в алгебре

На уроках алгебры в школе мы сталкиваемся с выражениями различного вида. По мере изучения нового материала записи выражений становятся все разнообразнее и сложнее. Например, познакомились со степенями – в составе выражений появились степени, изучили дроби – появились дробные выражения и т.д.

Для удобства описания материала, выражениям, состоящим из схожих элементов, дали определенные названия, чтобы выделить их из всего разнообразия выражений. В этой статье мы ознакомимся с ними, то есть, дадим обзор основных выражений, изучаемых на уроках алгебры в школе.

Одночлены и многочлены

Начнем с выражений, имеющих название одночлены и многочлены. На момент написания этой статьи разговор про одночлены и многочлены начинается на уроках алгебры в 7 классе. Там даются следующие определения.

Например, число 5, переменная x, степень z⁷, произведения 5·x и 7·x·2·7·z⁷ – это все одночлены. Если же взять сумму одночленов, например, 5+x или z⁷+7+7·x·2·7·z⁷, то получим многочлен.

К одночленам и многочленам относится ряд сопутствующих понятий. К примеру, для одночленов и многочленов характерно понятие их степени, также даются определения одночленов и многочленов стандартного вида. При описании одночленов также пользуются понятием коэффициента, а при описании многочленов используют такие термины, как члены многочлена, которые, в частности, бывают подобными, свободный член многочлена и старший коэффициент. Соответствующие определения вместе с примерами Вы найдете в статье одночлен и его стандартный вид, степень и коэффициент одночлена, а также в статье многочлены – основные определения и примеры.

Работа с одночленами и многочленами часто подразумевает выполнение действий с ними. Так на множестве одночленов определено умножение одночленов и возведение одночлена в степень, в том смысле, что в результате их выполнения получается одночлен.

На множестве многочленов определено сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Как определяются эти действия, и по каким правилам они выполняются, мы поговорим в статье действия с многочленами.

Если говорить про многочлены с единственной переменной, то при работе с ними значительную практическую значимость имеет деление многочлена на многочлен, а также часто такие многочлены приходится представлять в виде произведения, это действие имеет название разложение многочлена на множители.

Рациональные (алгебраические) дроби

В 8 классе начинается изучение выражений, содержащих деление на выражение с переменными. И первыми такими выражениями выступают рациональные дроби, которые некоторые авторы называют алгебраическими дробями.

Приведем несколько примеров рациональных дробей: и . К слову, любая обыкновенная дробь является рациональной (алгебраической) дробью.

На множестве алгебраических дробей вводятся сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Как это делается объяснено в статье действия с алгебраическими дробями.

Часто приходится выполнять и преобразование алгебраических дробей, наиболее распространенными из них являются сокращение и приведение к новому знаменателю.

Рациональные выражения

В школе до изучения иррациональных чисел работа ведется исключительно с рациональными выражениями. Дадим определение рационального выражения.

Важное пояснение: в рациональных выражениях не могут присутствовать знаки и функции, которые могут внести иррациональность. Иными словами, в рациональных выражениях не должно быть знаков радикала (корней), степеней с дробными и иррациональными показателями, степеней с переменными в показателе, логарифмов, тригонометрических функций и т.п.

Теперь можно привести примеры рациональных выражений. Отталкиваясь от данного выше определения, можно утверждать, что числовые выражения и являются рациональными выражениями. Рациональным является и буквенное выражение , а также выражения с переменными вида a·x²+b·x+c и .

Рациональные выражения подразделяются на целые рациональные выражения и дробные рациональные выражения.

Целые рациональные выражения

Согласно данному определению, целыми рациональными выражениями являются, например, буквенное выражение a+1, выражение с тремя переменными вида x²·y³−z+3/2 и дробь .

А выражения x:(y−1) и не являются целыми рациональными, так как содержат деление на выражение с переменными.

Дробные рациональные выражения

Данное определение позволяет привести примеры дробных рациональных выражений. К примеру, выражения 1:x, и являются дробными рациональными.

А вот рациональные выражения (2·x−x²):4 и не содержат деления на выражения с переменными и отрицательных степеней выражений с переменными, поэтому они не являются дробными рациональными выражениями.

Выражения со степенями

Название данного вида выражений говорит само за себя. Выражения со степенями (их еще называют степенные выражения) появляются во время изучения степеней.

Приведем несколько примеров выражений со степенями. Они могут не содержать переменных, например, 2³, . Также имеют место степенные выражения с переменными: и т.п.

Не помешает ознакомиться с тем, как выполняется преобразование выражений со степенями.

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Знакомство с понятием корня приводит к возникновению выражений, в записях которых присутствуют знаки корней (радикалы). Такие выражения обычно называют выражениями с корнями или выражениями, содержащими операцию извлечения корня. Их же называют иррациональными выражениями.

На основании данного определения , a+1/(a^1/2+2), и - это все иррациональные выражения, так как в каждом из них присутствует хотя бы один знак корня.

Так как корни тесно связаны со степенями, то они очень часто присутствуют в выражениях совместно. Например, и т.п.

В статье преобразование иррациональных выражений (выражений с корнями) мы поговорим про основные приемы работы с иррациональными выражениями.

Тригонометрические выражения

Приведем примеры тригонометрических выражений: , .

При работе с тригонометрическими функциями обычно используются свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса, основные формулы тригонометрии, свойства arcsin, arccos, arctg и arcctg и формулы с arcsin, arccos, arctg и arcctg. Подробнее об основных принципах обращения с тригонометрическими выражениями мы расскажем в статье преобразование тригонометрических выражений.

Логарифмические выражения

Логарифмические выражения возникают после знакомства с логарифмами.

Примерами логарифмических выражений являются log₃9+lne, log₂(4·a·b), .

Очень часто в выражениях встречаются одновременно и степени и логарифмы, что и понятно, так как по определению логарифм есть показатель степени. В результате естественно выглядят выражения подобного вида: .

В продолжение темы обращайтесь к материалу преобразование логарифмических выражений.

Дроби

В этом пункте мы рассмотрим выражения особого вида - дроби.

Дробь расширяет понятие обыкновенной дроби. Дроби также имеют числитель и знаменатель, находящиеся соответственно сверху и снизу горизонтальной дробной черты (слева и справа наклонной дробной черты). Только в отличие от обыкновенных дробей, в числителе и знаменателе могут быть не только натуральные числа, но и любые другие числа, а также любые выражения.

Итак, дадим определение дроби.

Данное определение позволяет привести примеры дробей.

Начнем с примеров дробей, числителями и знаменателями которых являются числа: 1/4, , (−15)/(−2). В числителе и знаменателе дроби могут быть и выражения, как числовые, так и буквенные. Вот примеры таких дробей: (a+1)/3, (a+b+c)/(a²+b²), .

А вот выражения 2/5−3/7, дробями не являются, хотя и содержат дроби в своих записях.

Выражения общего вида

В старших классах, особенно в задачах повышенной трудности и задачах группы С в ЕГЭ по математике, будут попадаться выражения сложного вида, содержащие в своей записи одновременно и корни, и степени, и логарифмы, и тригонометрические функции, и т.п. Например, или . Они по виду подходят под несколько типов перечисленных выше выражений. Но их обычно не относят ни к одному из них. Их считают выражениями общего вида, а при описании говорят просто выражение, не добавляя дополнительных уточнений.

Завершая статью, хочется сказать, что если данное выражение громоздкое, и если Вы не совсем уверены, к какому виду оно относится, то лучше назвать его просто выражением, чем назвать его таким выражением, каким оно не является.