Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Преобразование рациональных (алгебраических) дробей, виды преобразований, примеры.


От общего обзора видов выражений из курса алгебры школьной программы переходим к конкретике. В этой статье мы подробно изучим особый вид рациональных выражений – рациональные дроби, а также разберем, какие характерные тождественные преобразования рациональных дробей имеют место.

Сразу отметим, что рациональные дроби в том смысле, в котором мы их определим ниже, в некоторых учебниках алгебры называют алгебраическими дробями. То есть, в этой статье мы под рациональными и алгебраическими дробями будем понимать одно и то же.

По обыкновению начнем с определения и примеров. Дальше поговорим про приведение рациональной дроби к новому знаменателю и о перемене знаков у членов дроби. После этого разберем, как выполняется сокращение дробей. Наконец, остановимся на представлении рациональной дроби в виде суммы нескольких дробей. Всю информацию будем снабжать примерами с подробными описаниями решений.


Определение и примеры рациональных дробей

Рациональные дроби изучаются на уроках алгебры в 8 классе. Мы будем использовать определение рациональной дроби, которое дается в учебнике алгебры для 8 классов Ю. Н. Макарычева и др.

Определение.

Рациональной дробью называют дробь, числитель и знаменатель которой есть многочлены с натуральными, целыми или рациональными коэффициентами.

В данном определении не уточняется, должны ли многочлены в числителе и знаменателе рациональной дроби быть многочленами стандартного вида или нет. Поэтому, будем считать, что в записях рациональных дробей могут содержаться как многочлены стандартного вида, так и не стандартного.

Приведем несколько примеров рациональных дробей. Так , x/8 и - рациональные дроби. А дроби и не подходят под озвученное определение рациональной дроби, так как в первой из них в числителе стоит не многочлен, а во второй и в числителе и в знаменателе находятся выражения, не являющиеся многочленами.

Преобразование числителя и знаменателя рациональной дроби


Числитель и знаменатель любой дроби представляют собой самодостаточные математические выражения, в случае рациональных дробей – это многочлены, в частном случае – одночлены и числа. Поэтому, с числителем и знаменателем рациональной дроби, как и с любым выражением, можно проводить тождественные преобразования. Иными словами, выражение в числителе рациональной дроби можно заменять тождественно равным ему выражением, как и знаменатель.

В числителе и знаменателе рациональной дроби можно выполнять тождественные преобразования. Например, в числителе можно провести группировку и приведение подобных слагаемых, а в знаменателе – произведение нескольких чисел заменить его значением. А так как числитель и знаменатель рациональной дроби есть многочлены, то с ними можно выполнять и характерные для многочленов преобразования, например, приведение к стандартному виду или представление в виде произведения.

Для наглядности рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Преобразуйте рациональную дробь так, чтобы в числителе оказался многочлен стандартного вида, а в знаменателе – произведение многочленов.

Решение.

Сначала приведем к стандартному виду многочлен в числителе, для этого нужно выполнить умножение чисел, применить свойство степени с одинаковыми основаниями, а также привести подобные члены:

Переходим к преобразованию знаменателя. Его нам нужно представить в виде произведения, иными словами, нужно разложить на множители многочлен, стоящий в знаменателе. Для этого сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе – с четвертым, после чего вынесем общие множители за скобки:

Очевидно, слагаемые в полученном выражении имеют общий множитель, который мы также выносим за скобки: . В результате приходим к произведению многочленов.

После проведенных преобразований исходная рациональная дробь принимает нужный нам вид .

Ответ:

.

Рассмотренные преобразования числителя и знаменателя часто являются составной частью других характерных для рациональных дробей преобразований, к обзору которых мы и переходим.

Приведение к новому знаменателю

Изучая обыкновенные дроби, мы познакомились с основным свойством дроби, которое утверждает, что умножение числителя и знаменателя на любое натуральное число дает дробь, равную исходной. Это свойство естественным образом можно распространить на рациональные дроби (да и, вообще, на любые дроби): если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на ненулевой многочлен, то получится дробь, равная исходной.

Итак, для любых многочленов a, b и c, причем b и c – ненулевые многочлены, справедливо равенство , являющееся тождеством. Например, в силу основного свойства дроби справедливо равенство на всей ОДЗ переменных x и y.

Одно из приложений полученного утверждения заключается в приведении рациональной дроби к новому знаменателю. Под приведением рациональной дроби к новому знаменателю понимают умножение ее числителя и знаменателя на некоторый ненулевой многочлен, в результате чего получается новая дробь с новым знаменателем, которая тождественно равна исходной.

В качестве примера возьмем рациональную дробь и приведем ее к новому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель, например, на x2+y. В результате получим дробь с новым знаменателем , которая путем выполнения действий с многочленами в числителе и знаменателе может быть преобразована в рациональную дробь (смотрите преобразование рациональных выражений).

Приведение рациональных дробей к новому знаменателю в основном применяется при сложении и вычитании рациональных дробей.

Более полную информацию по теме можно получить, обратившись к статье приведение алгебраических дробей к новому знаменателю.

Изменение знаков перед дробью, а также в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби можно использовать для смены знаков у членов дроби. Действительно, умножение числителя и знаменателя рациональной дроби на -1 равносильно смене их знаков, а в результате получится дробь, тождественно равная данной. К такому преобразованию приходится достаточно часто обращаться при работе с рациональными дробями.

Таким образом, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя дроби, то получится дробь, равная исходной. Этому утверждению отвечает равенство .

Приведем пример. Рациональную дробь можно заменить тождественно равной ей дробью с измененными знаками числителя и знаменателя вида .

С дробями можно провести еще одно тождественное преобразование, при котором меняется знак либо в числителе, либо в знаменателе. Озвучим соответствующее правило. Если заменить знак дроби вместе со знаком числителя или знаменателя, то получится дробь, тождественно равная исходной. Записанному утверждению соответствуют равенства и .

Доказать эти равенства не составляет труда. В основе доказательства лежат свойства умножения чисел. Докажем первое из них: . С помощью аналогичных преобразований доказывается и равенство .

Например, дробь можно заменить выражением или .

В заключение этого пункта приведем еще два полезных равенства и . То есть, если изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то дробь изменит свой знак. Например, и .

Рассмотренные преобразования, позволяющие изменять знак у членов дроби, часто применяются при преобразовании дробно рациональных выражений.

Сокращение рациональных дробей

В основе следующего преобразования рациональных дробей, имеющего название сокращение рациональных дробей, лежит все тоже основное свойство дроби. Этому преобразованию соответствует равенство , где a, b и c – некоторые многочлены, причем b и c - ненулевые.

Из приведенного равенства становится понятно, что сокращение рациональной дроби подразумевает избавление от общего множителя в ее числителе и знаменателе.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Сразу виден общий множитель 2, выполним сокращение на него (при записи общие множители, на которые сокращают, удобно зачеркивать). Имеем . Так как x2=x·x и y7=y3·y4 (при необходимости смотрите свойства степени), то понятно, что x является общим множителем числителя и знаменателя полученной дроби, как и y3. Проведем сокращение на эти множители: . На этом сокращение завершено.

Выше мы выполняли сокращение рациональной дроби последовательно. А можно было выполнить сокращение в один шаг, сразу сократив дробь на 2·x·y3. В этом случае решение выглядело бы так: .

Ответ:

.

При сокращении рациональных дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель рациональной дроби разложить на множители. Если общего множителя нет, то исходная рациональная дробь не нуждается в сокращении, в противном случае – проводится сокращение.

В процессе сокращения рациональных дробей могут возникать различные нюансы. Основные тонкости на примерах и в деталях разобраны в статье сокращение алгебраических дробей.

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей, отметим, что это преобразование является тождественным, а основная сложность в его проведении заключается в разложении на множители многочленов в числителе и знаменателе.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Достаточно специфическим, но в некоторых случаях очень полезным, оказывается преобразование рациональной дроби, заключающееся в ее представлении в виде суммы нескольких дробей, либо сумме целого выражения и дроби.

Рациональную дробь, в числителе которой находится многочлен, представляющий собой сумму нескольких одночленов, всегда можно записать как сумму дробей с одинаковыми знаменателями, в числителях которых находятся соответствующие одночлены. Например, . Такое представление объясняется правилом сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.

Вообще, любую рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей множеством различных способов. Например, дробь a/b можно представить как сумму двух дробей – произвольной дроби c/d и дроби, равной разности дробей a/b и c/d. Это утверждение справедливо, так как имеет место равенство . К примеру, рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей различными способами: и т.п.

Отдельную ценность имеет представление рациональных дробей с одной переменной в виде суммы так называемых простейших дробей. Это преобразование называют разложением рациональной дроби на простейшие.

А если показатель степени числителя рациональной дроби больше или равен степени показателя знаменателя, то такую дробь можно преобразовать к виду суммы целого рационального выражения и дроби. Для этого можно выполнить деление многочлена на многочлен. Это преобразование может быть полезно, к примеру, при решении задач в целых числах.

Пример.

При каких целых n значение рациональной дроби является целым числом?

Решение.

Представим исходную дробь в виде суммы целого выражения и дроби. Выполнив деление числителя на знаменатель столбиком, мы получим равенство . Значение выражение n3+4 при любом целом n является целым числом. А значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен 1, −1, 3 или −3. Этим значениям отвечают значения n=3, n=1, n=5 и n=−1 соответственно.

Ответ:

−1, 1, 3, 5.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 13-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+