Преобразование целых выражений.
Данная статья посвящена одному из видов выражений курса алгебры – целым выражениям, а также их преобразованию. Сначала дадим определение целых выражений. Дальше покажем, какие тождественные преобразования наиболее часто выполняются с ними. Наконец, покажем, что любое целое выражение можно преобразовать в многочлен, и на примерах разберем, как это преобразование проводится и на чем оно основано.
Определение и примеры целых выражений
Изучение целых выражений входит в программу курса алгебры для 7 классов. На уроках алгебры и дается следующее определение целых выражений.
Определение.
Целыми выражениями называют числа, переменные, а также всевозможные выражения, составленные из них при помощи действий сложения, вычитания и умножения (произведение одинаковых множителей может быть записано и в виде степени с натуральным показателем), которые также могут содержать скобки и деление на отличное от нуля число.
Учитывая данное определение, несложно привести примеры целых выражений. Числа 7, 0, −12, 7/11, 2,73, 
и др., переменные a, b, p, q, x, z и т.п. можно считать целыми выражениями. Их разнообразные суммы, разности и произведения будут также давать целые выражения, например, x+1, 5·y3·2·3·7−2·y−3,3−x·y·z4, 
, 5·(2·x+3·y2)2−(1−x)·(1+x)·(1+x2) - это все примеры целых выражений. Целыми могут быть и выражения, содержащие деление на число, отличное от нуля, к примеру, x:5+8:2:4 или (x+y):6. Здесь нужно отметить, что деление может быть обозначено чертой дроби, например, 
. А выражения x:5+5:x и 
не являются целыми, так как первое из них содержит деление на переменную x, а второе – на выражение с переменными.
К слову, любой многочлен, как и любой одночлен, являются целыми выражениями.
Следует отметить, что в школе мы работаем преимущественно с такими целыми выражениями, которые если содержат в своей записи числа, то эти числа рациональные (в частности, целые или натуральные). Иными словами, изучаемые в школе целые выражения не содержат в своей записи иррациональных чисел. Их еще называют целыми рациональными выражениями.
Какие преобразования целых выражений возможны?
С целыми выражениями можно выполнять все основные тождественные преобразования, такие как раскрытие скобок, группировка слагаемых и множителей, приведение подобных слагаемых и т.п. Рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в целом выражении 2·(a3+3·a·b−2·a)−2·a3−(5·a·b−6·a+b).
Решение.
Сначала применяем правила раскрытия скобок:
2·(a3+3·a·b−2·a)−2·a3−(5·a·b−6·a+b)=
Осталось привести подобные слагаемые:
2·a3+6·a·b−4·a−2·a3−5·a·b+6·a−b=
Итак, выполненные преобразования привели нас к многочлену a·b+2·a−b.
Ответ:
2·(a3+3·a·b−2·a)−2·a3−(5·a·b−6·a+b)=
Пример.
Преобразуйте целое выражение 
, заменив деление умножением.
Решение.
Мы знаем, что деление можно заменить умножением на обратное число. Число, обратное дроби 2/3, это 3/2, числу 3 обратно 1/3, а семи – одна седьмая. Таким образом, после выполнения такого преобразования исходное выражение примет вид 
. Очевидно, в полученном выражении можно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:
Ответ:
.
Пример.
Представьте целое выражение 6·x2·y+18·x·y−6·y−(x2+3·x−1)·(x3+4·x) в виде произведения двух многочленов.
Решение.
Несложно заметить, что первые три слагаемых имеют общий множитель 6·y, который можно вынести за скобки:
6·x2·y+18·x·y−6·y−(x2+3·x−1)·(x3+4·x)=
=6·y·(x2+3·x−1)−(x2+3·x−1)·(x3+4·x).
Проделанное преобразование привело нас к разности двух выражений 6·y·(x2+3·x−1) и (x2+3·x−1)·(x3+4·x), которые, очевидно, имеют общий множитель x2+3·x−1, который мы тоже можем вынести за скобки. Имеем
6·y·(x2+3·x−1)−(x2+3·x−1)·(x3+4·x)=
=(x2+3·x−1)·(6·y−(x3+4·x)).
После раскрытия внутренних скобок мы получаем выражение (x2+3·x−1)·(6·y−x3−4·x), которое и является требуемым представлением исходного целого выражения в виде произведения двух многочленов.
Ответ:
6·x2·y+18·x·y−6·y−(x2+3·x−1)·(x3+4·x)=
Напомним, что при выполнении тождественных преобразований выражений, в том числе и целых, нужно соблюдать порядок выполнения действий.
Пример.
Выполните действия в целом выражении (3·2−62:9)3·(x2)4+4·x:8.
Решение.
Сначала выполняем действия в скобках: 3·2−62:9=3·2−36:9=6−4=2. После этого исходное выражение преобразуется к виду 23·(x2)4+4·x:8. Так как 23=8 и (x2)4=x2·4=x8 (при необходимости смотрите свойство степени в степени), то приходим к выражению 8·x8+4·x:8. Осталось во втором слагаемом 4·x:8 деление заменить умножением, после чего сгруппировать числовые множители и вычислить их произведение: 
.
Ответ:
(3·2−62:9)3·(x2)4+4·x:8=8·x8+1/2·x.
Преобразование в многочлен
Во многих случаях преобразования целых выражений проводятся с единственной целью – представить их в виде многочленов. Вообще, любое целое выражение можно представить в виде многочлена. Это утверждение следует из определения целого выражения, которое мы дали выше, а также из того, как мы определены действия с многочленами и одночленами. Действительно, всякое целое выражение мы можем рассматривать как соединенные знаками действий многочлены, а мы знаем, что умножение многочленов, как и их сложение и вычитание в результате дает многочлен.
Чтобы целое выражение представить в виде многочлена, надо выполнить все действия с многочленами, одночленами и числами, составляющими это выражение, согласно принятому порядку выполнения действий.
Пример.
Представьте в виде многочлена 2·(2·x3−1)+(2·x−1)2·(3−x)+
Решение.
Исходное целое выражение содержит и скобки, и возведение в степень, и действия разных ступеней.
Сначала следует выполнить действия в скобках, то есть, поработать с выражением 4·x−x·(15·x+1), не забывая, что сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Так сначала проводим умножение одночлена −x на многочлен 15·x+1, после чего завершаем вычисления: 4·x−x·(15·x+1)=4·x−15·x2−x=
Дальше следует возведение многочлена 2·x−1 во вторую степень: (2·x−1)2=(2·x−1)·(2·x−1)=
Теперь занимаемся умножением. Так как 2·(2·x3−1)=4·x3−2 и (4·x2−4·x+1)·(3−x)=
Наконец, осталось выполнить сложение многочленов:
(4·x3−2)+(16·x2−4·x3−13·x+3)+
=0+x2−10·x+1=x2−10·x+1.
Таким образом, мы исходное целое выражение представили в виде многочлена стандартного вида x2−10·x+1.
Ответ:
2·(2·x3−1)+(2·x−1)2·(3−x)+
Понятно, что при выполнении умножения многочленов и возведении их в степень по возможности следует пользоваться формулами сокращенного умножения, что ускорит процесс преобразования. Например, в предыдущем примере возведение многочлена 2·x−1 в квадрат было целесообразно проводить с использованием формулы квадрата разности. Да и вообще, любые действия желательно выполнять максимально рационально.
Пример.
Преобразуйте в многочлен 4·(2·m+n)2+(m−2·n)·(m+2·n).
Решение.
По формуле квадрата суммы имеем (2·m+n)2=(2·m)2+2·(2·m)·n+n2=
4·(2·m+n)2+(m−2·n)·(m+2·n)=
Ответ:
4·(2·m+n)2+(m−2·n)·(m+2·n)=
В заключение этой статьи отметим, что процесс преобразования в многочлен будет намного короче, если предварительно все составляющие исходное целое выражение одночлены и многочлены привести к стандартному виду.
Пример.
Упростите целое выражение (2·a·(−3)·a2·b)·(2·a+5·b2)+
Решение.
Некоторые одночлены и многочлены в составе исходного выражения записаны не в стандартном виде. Поэтому, на первом этапе преобразования приведем их к стандартному виду. После этого, выражение примет вид −6·a3·b·(2·a+5·b2)+
−6·a3·b·(2·a+5·b2)+
=−12·a4·b−30·a3·b3+
=−12·a4·b−30·a3·b3+12·a4·b+
=(−12·a4·b+12·a4·b)+
Ответ:
(2·a·(−3)·a2·b)·(2·a+5·b2)+
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 13-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.