Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Общий взгляд на преобразование дробей

Материал этой статьи представляет собой обобщенный взгляд на дроби и их преобразование в рамках школьного курса математики. Здесь мы проследим, как от обыкновенных дробей мы постепенно переходим к рассмотрению дробей общего вида, содержащих в своих записях числа, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и другие математические объекты. А также рассмотрим основные преобразования, характерные для дробей вне зависимости от их вида.

Что такое дробь?

Определению дроби сопутствуют еще несколько определений. В контексте нашей темы стоит сказать про дробную черту, а также про числитель и знаменатель дроби.

От обыкновенных дробей к дробям общего вида

Проведем небольшой экскурс, иллюстрирующий развитие представления о дробях по мере изучения математики в школе: от обыкновенных дробей до дробей с переменными общего вида. А уже дальше будем рассматривать преобразования, характерные для всех дробей, независимо от их вида.

На уроках математики термин «дробь» обычно входит в обиход в 5 классе, когда речь заходит про обыкновенные дроби. По определению числитель и знаменатель обыкновенной дроби есть натуральные числа. Для наглядности приведем несколько примеров обыкновенных дробей: или в другой записи 1/5, 2/6, 12/7, 3/1.

Дальше, когда начинают изучаться действия с обыкновенными дробями, появляются дроби, содержащие в числителе и знаменателе не только натуральные числа, но и числовые выражения с натуральными числами. Вот примеры: и т.п. Тогда же начинают встречаться и первые дроби, содержащие буквы, которыми обозначены натуральные числа: . С их помощью записываются правила сложения, вычитания и умножения обыкновенных дробей , и .

Дроби похожего вида появляются при переводе смешанных чисел в обыкновенные дроби. Если считать, что целая часть смешанного числа равна a, а дробная часть равна b/c, то этому числу соответствует дробь , что объясняет появление дробей вида , и т.п.

Дальше очень существенным толчком к росту разнообразия дробей служит понимание того, что черта дроби имеет смысл знака деления (это вытекает из смысла, который заложен в обыкновенных дробях). С этого момента появляется возможность частное от деления одного выражения на другое записывать как дробь. Например, , , в последней дроби можно записать в виде дроби частное 4:2, в результате чего она примет вид .

А с 7 класса начинается изучение алгебры, где в центр внимания попадают выражения с переменными. С этого момента появляются дроби, содержащие в своей записи не только числа, но и переменные. Особое внимание уделяется принципам работы с так называемыми рациональными дробями, числителями и знаменателями которых являются многочлены. Вот пара примеров рациональных дробей: , .

Параллельно рассматриваются дроби более общего вида, числители и знаменатели которых являются произвольными рациональными выражениями. Приведем примеры таких дробей: , .

А позже изучаются корни, степени с рациональными и действительными показателями, логарифмы, тригонометрические функции и так далее. Естественно, все перечисленные объекты начинают фигурировать в записях дробей: , , , , . В общем случае дроби могут содержать их всевозможные композиции: , .

Виды преобразований дробей

Можно выделить ряд тождественных преобразований, которые характерны для дробей вне зависимости от их вида. Ниже мы рассмотрим основные из них:

• Начнем с преобразования, подразумевающего отдельную работу с числителем и знаменателем.
• Дальше остановимся на изменении знака перед дробью, а также в ее числителе и знаменателе.
• После этого поговорим о приведении дробей к новому знаменателю и сокращении дробей.
• Наконец, разберемся с представлением дроби в виде суммы.

Преобразование выражений в числителе и знаменателе

Откроем обзор преобразований дробей преобразованием, при котором числитель и/или знаменатель заменяются тождественно равными выражениями. В результате такого преобразования получается дробь, тождественно равная исходной.

Обоснование приведенного преобразования достаточно очевидно, но все же приведем его. Допустим, что дана дробь A/B, где A и B – некоторые выражения. Пусть дробь A₁/B₁ получается в результате замены числителя A и знаменателя B тождественно равными им выражениями A₁ и B₁. Докажем справедливость равенства A/A₁=B/B₁ для любого набора значений переменных из области допустимых значений (ОДЗ). Так как выражения A и A₁, а также B и B₁ тождественно равны, то будут равны и значений соответствующих выражений для любого набора значений переменных из ОДЗ. Следовательно, для любого набора значений переменных будут равны дроби A/B и A₁/B₁ как дроби, числители и знаменатели которых равны.

Это преобразование дроби позволяет отдельно работать с ее числителем и отдельно – со знаменателем путем проведения там известных тождественных преобразований.

Остается лишь привести примеры. Дробь 2/18 можно преобразовать к виду , заменив знаменатель исходной дроби разложением на простые множители 2·3·3.

Другой пример: . Здесь числитель исходной дроби x²+x·y заменяется тождественно равным ему выражением x·(x+y), полученным в результате вынесения за скобки общего множителя x. А знаменатель исходной дроби x²+2·x·y+y² сворачивается с использованием формулы сокращенного умножения квадрат суммы, то есть, заменяется тождественно равным выражением (x+y)².

Завершим этот пункт еще одним примером. Числитель дроби можно заменить единицей (смотрите основное тригонометрическое тождество), а знаменатель – выражением (смотрите преобразование выражений с использованием свойств корней). В результате придем к дроби , которая тождественно равна исходной.

Изменение знака перед дробью, в ее числителе, знаменателе

Следующее преобразование дроби связано с изменением знака перед дробью, а также знаков ее числителя и знаменателя. Сформулируем соответствующие правила, после чего приведем их обоснование:

• Если изменить знак числителя и знак знаменателя дроби, то получится дробь, тождественно равная исходной. В буквенном виде этому утверждению отвечает равенство , где A и B – некоторые выражения.
• Если изменить знак перед дробью и знак числителя, то получится выражение, тождественно равное данному, то есть, .
• Если изменить знак перед дробью и знак ее знаменателя, то получится выражение, которое тождественно равно исходной дроби: .

Знак минус можно рассматривать как числовой коэффициент −1, а черту дроби заменить знаком деления. Так . Перегруппировав множители и выполнив действия с минус единицами, получаем

Так доказано первое утверждение. Аналогично обосновываются и два оставшихся:

и

Приведем примеры. Обыкновенную дробь 3/7 можно преобразовать к виду , или , или . Аналогично с дробью в зависимости от целей можно выполнить одно из следующих преобразований:

Приведение дроби к новому знаменателю

Изучая обыкновенные дроби, мы узнали так называемое основное свойство дроби, позволяющее проводить умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Этому свойству отвечают равенства и , где a, b и m – натуральные числа.

Позже доказывается, что записанные равенства справедливы не только для натуральных a, b и m, но и для действительных чисел a, b≠0 и m≠0 (доказательство приведено здесь). А из этого вытекает следующее утверждение: если числитель и знаменатель дроби A/B, где A и B – некоторые выражения, умножить или разделить на выражение M, тождественно не равное нулю, то получится дробь, тождественно равная исходной. То есть, и .

На этих равенствах базируются два преобразования дробей: приведение дроби к новому знаменателю, его мы сейчас и разберем, и сокращение дробей (об этом преобразовании мы поговорим в следующем пункте).

Приведение дроби к новому знаменателю есть преобразование, при котором числитель и знаменатель умножаются на одно и то же число или выражение, тождественно не равное нулю. Понятно, что при этом преобразовании мы переходим к тождественно равной дроби.

Приведем пару примеров. Посредством умножения числителя и знаменателя дроби на 2 она приводится к новому знаменателю 2·0,5·x³=x³ и принимает следующий вид . А чтобы привести дробь к новому знаменателю , ее числитель и знаменатель надо умножить на выражение , в результате имеем .

Отметим, что существует преобразование, называемое избавлением от иррациональности в знаменателе дроби. Его можно рассматривать как приведение дроби к новому знаменателю, не содержащему знаков корней.

Сокращение дробей

Как мы уже сказали в предыдущем пункте, основное свойство дроби лежит в основе преобразования, имеющего название сокращение дроби. Под сокращением дроби понимается деление ее числителя и знаменателя на выражение, являющееся их общим множителем. Например, переход от дроби посредством деления числителя и знаменателя на их общий множитель к дроби есть сокращение исходной дроби. Другой пример: дробь можно сократить на любой из множителей , x³, 2^x2+1+3 или сразу на их произведение , что даст новую дробь .

Сокращение дробей не представляет сложности в тех случаях, когда сразу видны общие множители числителя и знаменателя, как это было в предыдущих примерах. Но на практике сокращение дробей зачастую требует преобразования числителя и знаменателя в поисках общих множителей. Например, тригонометрические формулы и свойства степеней позволяют дробь преобразовать к виду , после чего провести ее сокращение на .

Представление дроби в виде суммы

Завершим обзор основных преобразований дробей преобразованием, заключающимся в представлении дроби в виде суммы. Сформулируем отвечающее этому преобразованию утверждение.

Если числитель дроби представляет собой алгебраическую сумму некоторых выражений A₁, A₂, …, A_n, а знаменатель есть B, то эту дробь можно представить в виде суммы дробей вида A₁/B, A₂/B, …, A_n/B. Запишем соответствующую запись в виде букв: .

Это преобразование по сути представляет собой действие, противоположное сложению дробей с одинаковыми знаменателями.

Проиллюстрируем разбираемое преобразование примером. Дробь можно представить в виде алгебраической суммы дробей, например, так , или так , или так .

Вообще, любую дробь вида A/B можно представить в виде суммы дробей бесконечным числом способов. Действительно, ведь к выражению A в числителе можно прибавить и отнять любое выражение A₀, после чего перейти к сумме вида .

Частным случаем преобразования дроби в сумму является разложение рациональной дроби на простейшие дроби, что используется, например, при интегрировании.