Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Преобразование выражений с логарифмами, примеры, решения

Сейчас мы взглянем на преобразование выражений, содержащих логарифмы, с общих позиций. Здесь мы разберем не только преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, а рассмотрим преобразование выражений с логарифмами общего вида, которые содержат не только логарифмы, но и степени, дроби, корни и т.д. Весь материал по обыкновению будем снабжать характерными примерами с детальными описаниями решений.

Выражения с логарифмами и логарифмические выражения

С началом изучения логарифма числа b по основанию a и введением обозначений log_ab, lnb и lgb связано появление выражений с логарифмами, то есть выражений, в записи которых присутствуют логарифмы.

Первые выражения с логарифмами содержат логарифмы, под знаками и в основаниях которых стоят числа или буквы, которыми обозначены числа. Вот несколько примеров таких выражений с логарифмами: log₂5, 1−lne⁵, lgq+lg(1−q).

Как известно, логарифм определяется не для всякого числа и не по всякому основанию: вводится определение логарифма положительного числа b по положительному и отличному от единицы основанию a. Таким образом, остаются неопределенными логарифмы отрицательных чисел и логарифмы с отрицательными или равными единице основаниями. Значит, не имеют смысла выражения, содержащие такие логарифмы. Например, лишены смысла следующие выражения: lg(−2,5), log₋₇5, log₋₂(−4)+1, 3·log₁1 и т.п. Ниже мы будем говорить лишь о выражениях с логарифмами, которые имеют смысл.

Дальше под знаки и в основания логарифмов проникают переменные и выражения с переменными, логарифмы начинают фигурировать под знаками корней, в числителях и знаменателях дробей, в основаниях и показателях степеней, под знаками тригонометрических функций и т.д. Так мы начинаем видеть все многообразие выражений с логарифмами: , , , … С преобразованием подобных выражений будем разбираться в следующих пунктах.

Напомним про особенность обозначения степени логарифма: r-ую степень логарифма logab принято записывать как log^r_ab. Она по сути означает (log_ab)^r. Последняя запись также допустима. В связи с этим обратите внимание на знаменатель дроби из последнего примера: log²_x5 - это есть квадрат логарифма пяти по основанию x.

Итак, log^r_ab и (log_ab)^r по сути одно и то же. А вот записи log^r_ab и log_ab^r обозначают разные вещи: log^r_ab - это r-ая степень логарифма числа b по основанию a, а log_ab^r - это логарифм степени b^r по основанию a.

Здесь же упомянем про использование скобок при записи выражений под знаком логарифма: выражения под знаком логарифма заключаются в круглые скобки. Это делается для того, чтобы было понятно, к какому выражению применяется логарифм. Приведем пару примеров: lg(x²+1), . Заметим, что условились не ставить скобки, когда понятно, что логарифм применяется именно к этому выражению. Обычно скобки не ставят, когда под знаком логарифма стоит степень, корень, дробь, модуль, какая-либо тригонометрическая функция и т.п., например, lnx³ - натуральный логарифм степени, - логарифм модуля. Также скобки не ставят, когда под знаком логарифма стоит произведение нескольких переменных и/или их степеней, записанное без знака умножить "·". Например, lnxyz – это логарифм произведения трех переменных x, y и z. Если же в записи используется знак умножения, то есть, произведение записано как x·y·z, то под знаком логарифма его лучше заключать в скобки, чтобы избежать двусмысленности. Так ln(x·y·z) – это однозначно логарифм произведения, а запись lnx·y·z можно трактовать и как произведение трех множителей lnx, y и z. Об этом мы говорили в статье скобки в математике, их виды и предназначение в разделе скобки в выражениях с логарифмами.

Завершая вводную часть, затронем достаточно часто встречающееся словосочетание «логарифмические выражения». В школьных учебниках этот термин обычно не встречается, но его довольно часто можно видеть в сборниках задач для подготовки к ЕГЭ. В них термин «логарифмические выражения» относят к классу задач, в которых требуется провести какие-либо преобразования выражений, содержащих логарифмы. То есть, логарифмические выражения и выражения с логарифмами по сути одно и то же.

Основные тождественные преобразования выражений с логарифмами

Существует ряд тождественных преобразований, которые можно проводить с выражениями любых видов. В частности, эти преобразования имеют место и для выражений с логарифмами. То есть, в выражениях с логарифмами можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, выносить за скобки общий множитель, группировать слагаемые, множители и т.п. Рассмотрим несколько примеров.

Работа с выражением под знаком логарифма и в основании логарифма

Работа с выражениями, содержащими логарифмы, часто требует преобразования выражений, находящихся под знаком логарифма и в основании логарифма. Преобразование выражения под знаком логарифма проводятся на базе следующего утверждения:

Если выражение под знаком логарифма заменить тождественно равным ему выражением, то получится выражение, тождественно равное исходному.

Сформулированное утверждение довольно очевидно. В основе его обоснования лежит определение тождественно равных выражений и одно свойство логарифма, имеющее такую формулировку: логарифм числа b по основанию a равен логарифму числа b₁ по тому же основанию a тогда и только тогда, когда b=b₁.

Таким образом, с выражениями под знаком логарифма можно проводить любые тождественные преобразования.

Приведем пример выполнения преобразований выражений под знаком логарифма.

Аналогично, с выражением в основании логарифма можно проводить тождественные преобразования. То есть, замена выражения в основании логарифма тождественно равным выражением дает выражение тождественно равное исходному.

Для обоснования последнего утверждения рассмотрим логарифмы log_AH и log_BH, где A, B и H – некоторые выражения и обоснуем, что если A≡B, то log_AH≡log_BH. Это, очевидно, так для таких значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения H равно единице. Действительно, при этом log_AH=log_A1=0 и log_BH=log_B1=0. А для остальных значений переменных согласно свойств логарифмов и тождественного равенства выражений A и B имеем

Этим доказано тождественное равенство исходных выражений log_AH и log_BH.

Осталось привести пару примеров для наглядности. К примеру, можно спокойно выражение в основании логарифма log_9−2·3−1x заменить его значением 2 и перейти от исходного логарифма к log₂x. Другой пример:

Преобразование дробей с логарифмами

Нам известен ряд стандартных преобразований дробей, относящихся к дробям произвольного вида: отдельная работа с числителем и знаменателем, изменение знака числителя и знаменателя, сокращение дроби и ее приведение к новому знаменателю, а также представление дроби в виде суммы. Все они в полной мере относятся и к дробям с логарифмами. Приведем примеры.

Приводить дроби к новому знаменателю обычно приходится тогда, когда необходимо провести сложение или вычитание дробей с разными знаменателями. На этих действиях с дробями, содержащими логарифмы, мы остановимся в следующем пункте.

В этом пункте остается упомянуть о преобразовании дробей, числители и знаменатели которых представляют собой логарифмы по одному основанию. Вот пара примеров таких дробей: , . Дроби подобного вида могут быть преобразованы в логарифм по формуле перехода к новому основанию , которая применяется справа налево. Для указанных примеров имеем и . Подробно эти случаи мы разберем в одном из следующих пунктов, когда будем говорить про преобразование выражений с использованием свойств логарифмов.

Выполнение действий с дробями

В предыдущем пункте мы разобрали основные преобразования, которые проводятся с отдельными дробями, содержащими логарифмы. Эти преобразования, естественно, можно проводить с каждой отдельной дробью, являющейся частью более сложного выражения, например, представляющего собой сумму, разность, произведение и частное подобных дробей. Но помимо работы с отдельными дробями, преобразование выражений указанного вида часто подразумевает выполнение соответствующих действий с дробями. Дальше мы рассмотрим правила, по которым эти действия проводятся.

Еще с 5-6 классов нам известны правила, по которым выполняются действия с обыкновенными дробями. В статье общий взгляд на действия с дробями мы распространили эти правила с обыкновенных дробей на дроби общего вида A/B, где A и B – некоторые числовые, буквенные выражения или выражения с переменными, причем B тождественно не равно нулю. Понятно, что дроби с логарифмами являются частными случаями дробей общего вида. И в связи с этим понятно, что действия с дробями, которые содержат в своих записях логарифмы, проводятся по тем же правилам. А именно:

• Чтобы сложить или вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, надо соответственно сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить прежним.
• Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю и выполнить соответствующие действия по предыдущему правилу.
• Чтобы умножить две дроби, надо записать дробь, числителем которой является произведение числителей исходных дробей, а знаменателем – произведение знаменателей.
• Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимую дробь умножить на дробь, обратную делителю, то есть, на дробь, с переставленными местами числителем и знаменателем.

Приведем несколько примеров на выполнение действий с дробями, содержащими логарифмы.

Следует помнить, что действия с дробями проводятся с учетом порядка выполнения действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание, а если есть скобки, то сначала проводятся действия в скобках.

В этом пункте остается проговорить вслух три довольно очевидных, но в то же время важных момента:

• Любое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1, что позволяет переходить от действий с некоторыми выражениями к действиям с дробями. Например, от сложения многочлена 2·x² и дроби перейти к сложению двух дробей и .
• В результате выполнения действий с дробями в общем случае получается дробь (в частном случае знаменатель этой дроби может быть равен единице и она будет тождественно равна числителю).
• Если возможно и целесообразно, дробь, полученную в результате выполнения действий, можно упростить, например, выполнив ее сокращение, что мы делали в некоторых из рассмотренных выше примеров.

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов

Наиболее часто преобразование выражений с логарифмами подразумевает использование тождеств, выражающих определение логарифма и свойства логарифмов. Например, обратившись к основному логарифмическому тождеству a^log_ab=b, a>0, a≠1, b>0, мы можем выражение x−5^log₅7 представить в виде x−7, а формула перехода к новому основанию логарифма , где a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1 дает возможность от выражения перейти к разности 1−lnx.

Первая задача, которая встает при преобразовании выражений по свойствам логарифмов, заключается выборе подходящего свойства, так как их не так уж и мало. Более того, обычно преобразование требует последовательного применения нескольких свойств. Также есть свои нюансы в применении свойств логарифмов при преобразовании выражений с переменными – иногда требуется обращаться к модулю, как, например, в следующем случае: ln(x·(x−2))=ln|x|+ln|x−2|. Все эти моменты на примерах подробно разобраны в одноименной статье преобразование выражений с использованием свойств логарифмов.

Применение свойств корней, степеней, тригонометрических тождеств и т.п.

Выражения с логарифмами помимо, собственно, самих логарифмов почти всегда содержат степени, корни, тригонометрические функции и т.п. Понятно, что для преобразования таких выражений наряду со свойствами логарифмов могут потребоваться свойства степеней, корней и т.д. Мы отдельно разбирали применение каждого блока свойств к преобразованию выражений, ссылки на соответствующие статьи Вы можете найти в разделе сайта www.cleverstudents.ru выражения и их преобразование. Здесь же мы покажем решение пары примеров на применение свойств в связке с логарифмами.