Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Преобразование выражений с логарифмами, примеры, решения


Сейчас мы взглянем на преобразование выражений, содержащих логарифмы, с общих позиций. Здесь мы разберем не только преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, а рассмотрим преобразование выражений с логарифмами общего вида, которые содержат не только логарифмы, но и степени, дроби, корни и т.д. Весь материал по обыкновению будем снабжать характерными примерами с детальными описаниями решений.


Выражения с логарифмами и логарифмические выражения

С началом изучения логарифма числа b по основанию a и введением обозначений logab, lnb и lgb связано появление выражений с логарифмами, то есть выражений, в записи которых присутствуют логарифмы.

Первые выражения с логарифмами содержат логарифмы, под знаками и в основаниях которых стоят числа или буквы, которыми обозначены числа. Вот несколько примеров таких выражений с логарифмами: log25, 1−lne5, lgq+lg(1−q).

Как известно, логарифм определяется не для всякого числа и не по всякому основанию: вводится определение логарифма положительного числа b по положительному и отличному от единицы основанию a. Таким образом, остаются неопределенными логарифмы отрицательных чисел и логарифмы с отрицательными или равными единице основаниями. Значит, не имеют смысла выражения, содержащие такие логарифмы. Например, лишены смысла следующие выражения: lg(−2,5), log−75, log−2(−4)+1, 3·log11 и т.п. Ниже мы будем говорить лишь о выражениях с логарифмами, которые имеют смысл.

Дальше под знаки и в основания логарифмов проникают переменные и выражения с переменными, логарифмы начинают фигурировать под знаками корней, в числителях и знаменателях дробей, в основаниях и показателях степеней, под знаками тригонометрических функций и т.д. Так мы начинаем видеть все многообразие выражений с логарифмами: , , , … С преобразованием подобных выражений будем разбираться в следующих пунктах.

Напомним про особенность обозначения степени логарифма: r-ую степень логарифма logab принято записывать как lograb. Она по сути означает (logab)r. Последняя запись также допустима. В связи с этим обратите внимание на знаменатель дроби из последнего примера: log2x5 - это есть квадрат логарифма пяти по основанию x.

Итак, lograb и (logab)r по сути одно и то же. А вот записи lograb и logabr обозначают разные вещи: lograb - это r-ая степень логарифма числа b по основанию a, а logabr - это логарифм степени br по основанию a.

Здесь же упомянем про использование скобок при записи выражений под знаком логарифма: выражения под знаком логарифма заключаются в круглые скобки. Это делается для того, чтобы было понятно, к какому выражению применяется логарифм. Приведем пару примеров: lg(x2+1), . Заметим, что условились не ставить скобки, когда понятно, что логарифм применяется именно к этому выражению. Обычно скобки не ставят, когда под знаком логарифма стоит степень, корень, дробь, модуль, какая-либо тригонометрическая функция и т.п., например, lnx3 - натуральный логарифм степени, - логарифм модуля. Также скобки не ставят, когда под знаком логарифма стоит произведение нескольких переменных и/или их степеней, записанное без знака умножить "·". Например, lnxyz – это логарифм произведения трех переменных x, y и z. Если же в записи используется знак умножения, то есть, произведение записано как x·y·z, то под знаком логарифма его лучше заключать в скобки, чтобы избежать двусмысленности. Так ln(x·y·z) – это однозначно логарифм произведения, а запись lnx·y·z можно трактовать и как произведение трех множителей lnx, y и z. Об этом мы говорили в статье скобки в математике, их виды и предназначение в разделе скобки в выражениях с логарифмами.

Завершая вводную часть, затронем достаточно часто встречающееся словосочетание «логарифмические выражения». В школьных учебниках этот термин обычно не встречается, но его довольно часто можно видеть в сборниках задач для подготовки к ЕГЭ. В них термин «логарифмические выражения» относят к классу задач, в которых требуется провести какие-либо преобразования выражений, содержащих логарифмы. То есть, логарифмические выражения и выражения с логарифмами по сути одно и то же.

Основные тождественные преобразования выражений с логарифмами


Существует ряд тождественных преобразований, которые можно проводить с выражениями любых видов. В частности, эти преобразования имеют место и для выражений с логарифмами. То есть, в выражениях с логарифмами можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, выносить за скобки общий множитель, группировать слагаемые, множители и т.п. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Упростить выражение .

Решение.

После раскрытия скобок выражение примет вид . Очевидно, полученное выражение содержит подобные слагаемые, имеющие одинаковую часть в виде натурального логарифма, приведение которых дает .

Ответ:

.

Пример.

Представьте выражение с логарифмами в виде суммы кубов.

Решение.

Решить поставленную задачу позволяет представление числа 4 в виде квадрата двойки, числа 6 в виде произведения 2·3 и последующее применение формулы сокращенного умножения сумма кубов. В результате имеем .

Чтобы было проще разглядеть возможность применения указанной формулы, можно ввести новую переменную . Введение этой переменной приводит нас к выражению , и обратная замена дает указанный выше результат.

Ответ:

.

Работа с выражением под знаком логарифма и в основании логарифма

Работа с выражениями, содержащими логарифмы, часто требует преобразования выражений, находящихся под знаком логарифма и в основании логарифма. Преобразование выражения под знаком логарифма проводятся на базе следующего утверждения:

Если выражение под знаком логарифма заменить тождественно равным ему выражением, то получится выражение, тождественно равное исходному.

Сформулированное утверждение довольно очевидно. В основе его обоснования лежит определение тождественно равных выражений и одно свойство логарифма, имеющее такую формулировку: логарифм числа b по основанию a равен логарифму числа b1 по тому же основанию a тогда и только тогда, когда b=b1.

Таким образом, с выражениями под знаком логарифма можно проводить любые тождественные преобразования.

Приведем пример выполнения преобразований выражений под знаком логарифма.

Пример.

Упростите выражение с логарифмом .

Решение.

В данном случае упрощение выражения состоит в упрощении выражения под знаком логарифма. Оно требует выполнения действий с числами, применение формулы сокращенного умножения разность квадратов, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых:

Остается лишь подставить полученный результат в исходное выражение, что приводит нас к сумме 1+lg(x2+y2).

Ответ:

1+lg(x2+y2).

Аналогично, с выражением в основании логарифма можно проводить тождественные преобразования. То есть, замена выражения в основании логарифма тождественно равным выражением дает выражение тождественно равное исходному.

Для обоснования последнего утверждения рассмотрим логарифмы logAH и logBH, где A, B и H – некоторые выражения и обоснуем, что если A≡B, то logAH≡logBH. Это, очевидно, так для таких значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения H равно единице. Действительно, при этом logAH=logA1=0 и logBH=logB1=0. А для остальных значений переменных согласно свойств логарифмов и тождественного равенства выражений A и B имеем

Этим доказано тождественное равенство исходных выражений logAH и logBH.

Осталось привести пару примеров для наглядности. К примеру, можно спокойно выражение в основании логарифма log9−2·3−1x заменить его значением 2 и перейти от исходного логарифма к log2x. Другой пример:

Преобразование дробей с логарифмами

Нам известен ряд стандартных преобразований дробей, относящихся к дробям произвольного вида: отдельная работа с числителем и знаменателем, изменение знака числителя и знаменателя, сокращение дроби и ее приведение к новому знаменателю, а также представление дроби в виде суммы. Все они в полной мере относятся и к дробям с логарифмами. Приведем примеры.

Пример.

Упростить выражение .

Решение.

Для начала поработаем с числителем данной дроби: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Теперь изменим знак перед дробью и в ее числителе:

Последнее проделанное преобразование позволяет увидеть общий множитель числителя и знаменателя log3(x+1)−1, на который можно сократить дробь:

Ответ:

.

Приводить дроби к новому знаменателю обычно приходится тогда, когда необходимо провести сложение или вычитание дробей с разными знаменателями. На этих действиях с дробями, содержащими логарифмы, мы остановимся в следующем пункте.

В этом пункте остается упомянуть о преобразовании дробей, числители и знаменатели которых представляют собой логарифмы по одному основанию. Вот пара примеров таких дробей: , . Дроби подобного вида могут быть преобразованы в логарифм по формуле перехода к новому основанию , которая применяется справа налево. Для указанных примеров имеем и . Подробно эти случаи мы разберем в одном из следующих пунктов, когда будем говорить про преобразование выражений с использованием свойств логарифмов.

Выполнение действий с дробями

В предыдущем пункте мы разобрали основные преобразования, которые проводятся с отдельными дробями, содержащими логарифмы. Эти преобразования, естественно, можно проводить с каждой отдельной дробью, являющейся частью более сложного выражения, например, представляющего собой сумму, разность, произведение и частное подобных дробей. Но помимо работы с отдельными дробями, преобразование выражений указанного вида часто подразумевает выполнение соответствующих действий с дробями. Дальше мы рассмотрим правила, по которым эти действия проводятся.

Еще с 5-6 классов нам известны правила, по которым выполняются действия с обыкновенными дробями. В статье общий взгляд на действия с дробями мы распространили эти правила с обыкновенных дробей на дроби общего вида A/B, где A и B – некоторые числовые, буквенные выражения или выражения с переменными, причем B тождественно не равно нулю. Понятно, что дроби с логарифмами являются частными случаями дробей общего вида. И в связи с этим понятно, что действия с дробями, которые содержат в своих записях логарифмы, проводятся по тем же правилам. А именно:

Приведем несколько примеров на выполнение действий с дробями, содержащими логарифмы.

Пример.

Выполните действия с дробями, содержащими логарифмы: а) , б) , в) , г) .

Решение.

а) Знаменатели складываемых дробей, очевидно, одинаковые. Поэтому, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: .

б) Здесь знаменатели различные. Поэтому, сначала нужно привести дроби к одинаковому знаменателю. В нашем случае знаменатели уже представлены в виде произведений, и нам остается взять знаменатель первой дроби и добавить к нему недостающие множители из знаменателя второй дроби. Так мы получим общий знаменатель вида . При этом к общему знаменателю вычитаемые дроби приводятся при помощи дополнительных множителей в виде логарифма и выражения x2·(x+1) соответственно. После этого останется выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, что не представляет сложностей.

Итак, решение таково:

в) Известно, что результатом умножения дробей является дробь, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель – произведение знаменателей, поэтому

Несложно заметить, что можно провести сокращение дроби на двойку и на десятичный логарифм, в результате имеем .

г) Переходим от деления дробей к умножению, заменяя дробь-делитель обратной ей дробью . Так

Числитель полученной дроби можно представить в виде , из которого явно виден общий множитель числителя и знаменателя – множитель x, на него можно сократить дробь:

Ответ:

а) , б) , в) , г) .

Следует помнить, что действия с дробями проводятся с учетом порядка выполнения действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание, а если есть скобки, то сначала проводятся действия в скобках.

Пример.

Выполните действия с дробями .

Решение.

Сначала выполняем сложение дробей в скобках, после чего будем проводить умножение:

Ответ:

1.

В этом пункте остается проговорить вслух три довольно очевидных, но в то же время важных момента:

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов

Наиболее часто преобразование выражений с логарифмами подразумевает использование тождеств, выражающих определение логарифма и свойства логарифмов. Например, обратившись к основному логарифмическому тождеству alogab=b, a>0, a≠1, b>0, мы можем выражение x−5log57 представить в виде x−7, а формула перехода к новому основанию логарифма , где a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1 дает возможность от выражения перейти к разности 1−lnx.

Первая задача, которая встает при преобразовании выражений по свойствам логарифмов, заключается выборе подходящего свойства, так как их не так уж и мало. Более того, обычно преобразование требует последовательного применения нескольких свойств. Также есть свои нюансы в применении свойств логарифмов при преобразовании выражений с переменными – иногда требуется обращаться к модулю, как, например, в следующем случае: ln(x·(x−2))=ln|x|+ln|x−2|. Все эти моменты на примерах подробно разобраны в одноименной статье преобразование выражений с использованием свойств логарифмов.

Применение свойств корней, степеней, тригонометрических тождеств и т.п.

Выражения с логарифмами помимо, собственно, самих логарифмов почти всегда содержат степени, корни, тригонометрические функции и т.п. Понятно, что для преобразования таких выражений наряду со свойствами логарифмов могут потребоваться свойства степеней, корней и т.д. Мы отдельно разбирали применение каждого блока свойств к преобразованию выражений, ссылки на соответствующие статьи Вы можете найти в разделе сайта www.cleverstudents.ru выражения и их преобразование. Здесь же мы покажем решение пары примеров на применение свойств в связке с логарифмами.

Пример.

Упростить выражение .

Решение.

Для начала выполним преобразование выражений с корнями. На ОДЗ переменной x для исходного выражения (которой в нашем случае является множество положительных действительных чисел) от корней можно перейти к степеням с дробными показателями, после чего воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковыми основаниями: . Таким образом,

Теперь представляем числитель в виде (что нам позволяет сделать свойство степени в степени, при необходимости смотрите преобразование выражений с использованием свойств степеней, а также представление числа 6 в виде произведения 2·3 и числа 9 в виде квадрата числа 3) и сворачиваем его по формуле квадрат суммы: .

В результате приходим к дроби , сократив которую получаем .

Ответ:

.

Пример.

Вычислите значение выражения .

Решение.

Выражение имеет внушительный вид, но справиться с поставленной задачей довольно просто. Сразу видна возможность использовать основное тригонометрическое тождество, которое позволяет заменить сумму квадратов синуса и косинуса одного и того же аргумента единицей. Так мы получим единицу под знаком логарифма. А, как известно, логарифм единицы равен нулю.

Запишем проделанные преобразования:

Нуль в кубе есть нуль, поэтому переходим к выражению .

Дробь, числитель которой есть нуль, а знаменатель отличен от нуля (в нашем случае это действительно так, ведь несложно обосновать, что значение выражения под знаком натурального логарифма отлично от единицы) равна нулю. Таким образом,

Дальнейшие преобразования проводятся на базе определения корня нечетной степени из отрицательного числа: .

Так как 215 – положительное число, то можно применить свойства корней, которые приводят к финальному результату: .

Ответ:

−2.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+