Выражения, преобразование выражений Помощь в написании работ

Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения


Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений. Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.


Вспомним свойства корней

Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные свойства корней, а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.

Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a, b, a1, a2, …, ak - действительные числа):

А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a, b, a1, a2, …, ak - действительные числа, m, n, n1, n2, ..., nk - натуральные числа):

Преобразование выражений с числами под знаками корней


По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.

Все перечисленные в предыдущем пункте свойства корней представляют собой верные числовые равенства при указанных ограничениях на числа a, b и т.п. То есть, если числа a, b и т.д. соответствуют указанным условиям, то значение выражения, записанного в левой части любого из этих равенств, равно значению выражения, находящегося в правой части. Для примера возьмем выражение . Числа 4 и 9 – положительные, поэтому по свойству корня из произведения его можно заменить произведением корней . Убедиться в равенстве значений этих выражений не составляет труда: и (при необходимости смотрите статью извлечение корней).

Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.

Приведем еще несколько примеров.

Упростим выражение . Числа 3, 5 и 7 положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3 - как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:

Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:

Возможны и другие варианты решения, например, такой:

Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a. Имеем:

Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием свойств степеней

а уже дальше применять свойства корней

До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.

Пример.

Преобразуйте иррациональное выражение .

Решение.

По свойству первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2:

Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81 не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3:

Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: . Имеем

Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.

Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать наименьшее общее кратное (НОК) показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12, и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так . Учитывая этот результат, имеем

Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:

Оформим краткий вариант решения:

Ответ:

.

Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a. На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2. Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.

Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a – отрицательное число (при этом a – положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2 и −3 – отрицательные числа, но правило умножения отрицательных чисел позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: . А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так .

Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x, которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0, так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0.

Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2. Если сразу подставить вместо переменной x число −2, то получим нужное нам значение . А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x число −2 и приходим к выражению , которое не имеет смысла.

Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0, его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪[0, +∞). А для выражения ОДЗ определяется системой неравенств , откуда имеем [0, +∞). Вывод: произошло сужение ОДЗ, а мы договорились избегать преобразований, сужающих ОДЗ.

Заметим, что контроль ОДЗ является вспомогательным инструментом. То есть, если в результате проделанного преобразования область допустимых значений не изменилась, то это еще не означает, что данное преобразование можно было проводить и что оно вообще допустимо. Например, с учетом свойства как бы естественной выглядит замена на . При этом ОДЗ переменной x не изменяется, но такая замена не имеет места при x−7<0 (x<7). К примеру, при x=6 значение выражения есть 1, а значение выражения есть −1. Дело здесь в том, что к формуле прилагается условие a≥0, его игнорирование может приводить к неверным результатам.

Так мы подошли к очень важному моменту. В школе в подавляющем числе случаев область допустимых значений переменных для преобразуемого выражения такова, что можно свободно пользоваться всеми известными свойствами корней. К этому быстро привыкаешь, причем настолько, что начинаешь использовать свойства корней без опаски, ни о чем дополнительно не задумываясь. И именно в этот момент и проскакивают примеры (они обычно считаются примерами повышенной сложности), в которых свойства корней нужно было применять аккуратно (как в примере из предыдущего абзаца). Так вот, призываем Вас сохранять бдительность, и постоянно спрашивать себя: «А можно ли в данном случае прибегать к этому преобразованию, и на всей ли ОДЗ допустимо это преобразование»?

Пример.

Упростите выражения a) , b) .

Решение.

a) ОДЗ переменной x для выражения определяется системой , решением которой является множество [1, +∞). При любом значении переменной x из [1, +∞) значения выражений x и x−1 положительные. Это дает нам право на свободное использование свойств корней при проведении преобразований:

или

b) ОДЗ переменной x для выражения есть множество всех действительных чисел. Для преобразования напрашивается свойство , но оно дано для a≥0, а не для любого a. Можем ли мы на базе указанного свойства провести преобразования

или

При условии x+2≥0, что то же самое x≥−2, можем. А для остальных x из ОДЗ, то есть, для x<−2 это чревато негативными последствиями в виде неверного результата.

Как же быть при x<−2? Можно поступить следующим образом. При x<−2, отталкиваясь от определения модуля числа, выражение x+2 можно записать как −|x+2|:

Полученное выражение мы можем спокойно преобразовывать с использованием свойств корней, так как значение выражения |x+2| неотрицательно при любых x. Имеем

или

Остается раскрыть модуль. Так как эти преобразования мы проводили для x<−2, то при этом условии .

Ответ:

a) ,
b)

Давайте разберем решение еще одного примера с похожими рассуждениями, чтобы они стали привычными.

Пример.

Упростите иррациональное выражение , представив его в виде корня четвертой степени.

Решение.

Очевидно, область допустимых значений переменной x состоит из всех действительных чисел.

Опираясь на свойство степени , заданное выражение можно записать в виде , из которого отчетливо видно, что преобразовать его к нужному нам виду позволяет свойство корня . Но оно задано для неотрицательных a, поэтому преобразование имеет место для всех значений переменной x, удовлетворяющих условию (x2−x−2)3≥0. Найдем множество таких значений переменной x, для чего решим записанное неравенство. От него можно перейти к неравенству (x+1)3·(x−2)3≥0, а для его решения подходит метод интервалов. С его помощью находим x∈(−∞, −1]∪[2, +∞).

При остальных x из ОДЗ, то есть, при x∈(−1, 2) значения выражения (x2−x−2)3 отрицательны, и само выражение можно представить как −|(x2−x−2)3|. Тогда при x∈(−1, 2) имеем

Итак,

Полученные результаты можно объединить, записав их при помощи модуля как , а последнее выражение в силу свойств модуля можно переписать в виде .

Ответ:

.

Из предыдущих примеров хорошо видно, что необходимость учета дополнительных условий заставляет прибегать к использованию модуля, что делает процесс преобразования иррациональных выражений на базе свойств корней довольно кропотливым. В связи с этим возникает естественное желание как-нибудь упростить его. Сделать это можно так: взять за основу известные свойства корней, предположить, что числа a, b и т.д. могут быть любыми (не обязательно удовлетворяющими условиям свойств) и провести рассуждения, аналогичные тем, к которым мы прибегали в двух предыдущих примерах. Это приведет нас к ряду результатов, позволяющих проводить преобразование выражений с корнями намного быстрее, так как они избавят нас от необходимости обращаться к модулям при решении каждого примера. Запишем эти вспомогательные результаты в следующем пункте.

Вспомогательные результаты

Удобнее всего их оформить в виде таблицы, состоящей из двух колонок. В левую колонку поместим выражения, которые нужно заменить, а в правую – выражения, которыми можно заменить соответствующие выражения из левой части. Эти замены имеют место для любых значений переменных из ОДЗ для выражений из левой части таблицы. Буквами A и B обозначены произвольные числа или выражения.

Первые результаты этой таблицы можно распространить на произведение трех, четырех и т.д. множителей, находящихся под знаком корня. Так при нечетных n корень можно заменить произведением , а при четных n – произведением .

Например, с помощью записанных результатов корень на ОДЗ переменной x сразу можно заменить произведением корней вида . Аналогично, на ОДЗ переменной x для выражения его можно преобразовать в дробь . Вот еще несколько примеров: , и .

Эти же результаты позволяют решить последний пример из предыдущего пункта намного быстрее:

Покажем, как были получены некоторые из этих результатов.

Начнем с самого первого из них: при нечетных n выражение на всей ОДЗ переменных для этого выражения можно заменить на , а при четных n – на .

Докажем первую часть. При нечетных n для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения значения выражений A и B таковы, что

В первом случае из свойства корней , a≥0, b≥0, сразу заключаем, что .

Во втором случае имеют место такие преобразования:

В третьем случае, аналогично,

И в четвертом случае имеем

Этим доказано, что при нечетных n на ОДЗ переменных для выражения это выражение можно заменить на .

Переходим к доказательству второй части утверждения. При четных n при любом наборе значений переменных из ОДЗ переменных для выражения значение выражения A·B неотрицательно. Поэтому можно записать как , а так как модуль произведения равен произведению модулей, то последнее выражение можно переписать в виде , откуда в силу свойства корней имеем . Что и требовалось доказать.

Приведем примеры. Рассмотрим иррациональное выражение , ОДЗ переменной x для него есть множество всех действительных чисел. В силу только что доказанного утверждения выражение можно заменить выражением на множестве R. А корень можно заменить произведением корней на ОДЗ переменной x для исходного выражения, то есть, на множестве (−∞, −3]∪[5, +∞).

Какой еще результат доказать? Давайте докажем, что при четных m и любых натуральных n на ОДЗ переменных для выражения его можно заменить на .

Для тех значений переменных из ОДЗ, при которых значения выражения A неотрицательны, выражение можно переписать в виде и дальше в силу свойств модуля как . А по свойству корней , где a≥0, имеет место равенство .

А для тех значений переменных, при которых значения выражения A отрицательны, выражение можно переписать как . Дальше имеют место такие переходы: . Первый из них возможен в силу свойств степени, второй – в силу того, что m – четное, а третий – в силу свойства корней , где a≥0. На этом доказательство завершено.

Аналогично обосновываются и остальные результаты из таблицы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+