Математика на cleverstudents.ru

Выражения, преобразование выражений

Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений. Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.

Вспомним свойства корней

Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные свойства корней, а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.

Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a, b, a₁, a₂, …, a_k - действительные числа):

• , где a≥0, b≥0, оно распространяется на произведение k неотрицательных множителей a₁, a₂, …, a_k как ;
• или в другой записи , где a≥0, b>0;
• и его обобщение , где a – любое действительное число, а m – натуральное (при этом число 2·m – четное).

А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a, b, a₁, a₂, …, a_k - действительные числа, m, n, n₁, n₂, ..., n_k - натуральные числа):

• , где a≥0, b≥0, его обобщение , где a₁≥0, a₂≥0, …, a_k≥0.
• , где a≥0, b>0.
• , , где a – любое действительное число.
• , , где a≥0.
• , где a≥0.
• , где a≥0.

Преобразование выражений с числами под знаками корней

По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.

Все перечисленные в предыдущем пункте свойства корней представляют собой верные числовые равенства при указанных ограничениях на числа a, b и т.п. То есть, если числа a, b и т.д. соответствуют указанным условиям, то значение выражения, записанного в левой части любого из этих равенств, равно значению выражения, находящегося в правой части. Для примера возьмем выражение . Числа 4 и 9 – положительные, поэтому по свойству корня из произведения его можно заменить произведением корней . Убедиться в равенстве значений этих выражений не составляет труда: и (при необходимости смотрите статью извлечение корней).

Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.

Приведем еще несколько примеров.

Упростим выражение . Числа 3, 5 и 7 положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3 - как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:

Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:

Возможны и другие варианты решения, например, такой:

Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a. Имеем:

Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием свойств степеней

а уже дальше применять свойства корней

До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.

Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a. На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2. Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.

Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a – отрицательное число (при этом a – положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2 и −3 – отрицательные числа, но правило умножения отрицательных чисел позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: . А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так .

Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо

• выбрать подходящее свойство из списка,
• убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
• и провести задуманное преобразование.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x, которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0, так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0.

Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2. Если сразу подставить вместо переменной x число −2, то получим нужное нам значение . А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x число −2 и приходим к выражению , которое не имеет смысла.

Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0, его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪[0, +∞). А для выражения ОДЗ определяется системой неравенств , откуда имеем [0, +∞). Вывод: произошло сужение ОДЗ, а мы договорились избегать преобразований, сужающих ОДЗ.

Заметим, что контроль ОДЗ является вспомогательным инструментом. То есть, если в результате проделанного преобразования область допустимых значений не изменилась, то это еще не означает, что данное преобразование можно было проводить и что оно вообще допустимо. Например, с учетом свойства как бы естественной выглядит замена на . При этом ОДЗ переменной x не изменяется, но такая замена не имеет места при x−7<0 (x<7). К примеру, при x=6 значение выражения есть 1, а значение выражения есть −1. Дело здесь в том, что к формуле прилагается условие a≥0, его игнорирование может приводить к неверным результатам.

Так мы подошли к очень важному моменту. В школе в подавляющем числе случаев область допустимых значений переменных для преобразуемого выражения такова, что можно свободно пользоваться всеми известными свойствами корней. К этому быстро привыкаешь, причем настолько, что начинаешь использовать свойства корней без опаски, ни о чем дополнительно не задумываясь. И именно в этот момент и проскакивают примеры (они обычно считаются примерами повышенной сложности), в которых свойства корней нужно было применять аккуратно (как в примере из предыдущего абзаца). Так вот, призываем Вас сохранять бдительность, и постоянно спрашивать себя: «А можно ли в данном случае прибегать к этому преобразованию, и на всей ли ОДЗ допустимо это преобразование»?

Давайте разберем решение еще одного примера с похожими рассуждениями, чтобы они стали привычными.

Из предыдущих примеров хорошо видно, что необходимость учета дополнительных условий заставляет прибегать к использованию модуля, что делает процесс преобразования иррациональных выражений на базе свойств корней довольно кропотливым. В связи с этим возникает естественное желание как-нибудь упростить его. Сделать это можно так: взять за основу известные свойства корней, предположить, что числа a, b и т.д. могут быть любыми (не обязательно удовлетворяющими условиям свойств) и провести рассуждения, аналогичные тем, к которым мы прибегали в двух предыдущих примерах. Это приведет нас к ряду результатов, позволяющих проводить преобразование выражений с корнями намного быстрее, так как они избавят нас от необходимости обращаться к модулям при решении каждого примера. Запишем эти вспомогательные результаты в следующем пункте.

Вспомогательные результаты

Удобнее всего их оформить в виде таблицы, состоящей из двух колонок. В левую колонку поместим выражения, которые нужно заменить, а в правую – выражения, которыми можно заменить соответствующие выражения из левой части. Эти замены имеют место для любых значений переменных из ОДЗ для выражений из левой части таблицы. Буквами A и B обозначены произвольные числа или выражения.

Первые результаты этой таблицы можно распространить на произведение трех, четырех и т.д. множителей, находящихся под знаком корня. Так при нечетных n корень можно заменить произведением , а при четных n – произведением .

Например, с помощью записанных результатов корень на ОДЗ переменной x сразу можно заменить произведением корней вида . Аналогично, на ОДЗ переменной x для выражения его можно преобразовать в дробь . Вот еще несколько примеров: , и .

Эти же результаты позволяют решить последний пример из предыдущего пункта намного быстрее:

Покажем, как были получены некоторые из этих результатов.

Начнем с самого первого из них: при нечетных n выражение на всей ОДЗ переменных для этого выражения можно заменить на , а при четных n – на .

Докажем первую часть. При нечетных n для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения значения выражений A и B таковы, что

• либо они оба неотрицательны,
• либо первое неотрицательно, а второе отрицательно,
• либо первое отрицательно, а второе неотрицательно,
• либо они оба отрицательны.

В первом случае из свойства корней , a≥0, b≥0, сразу заключаем, что .

Во втором случае имеют место такие преобразования:

В третьем случае, аналогично,

И в четвертом случае имеем

Этим доказано, что при нечетных n на ОДЗ переменных для выражения это выражение можно заменить на .

Переходим к доказательству второй части утверждения. При четных n при любом наборе значений переменных из ОДЗ переменных для выражения значение выражения A·B неотрицательно. Поэтому можно записать как , а так как модуль произведения равен произведению модулей, то последнее выражение можно переписать в виде , откуда в силу свойства корней имеем . Что и требовалось доказать.

Приведем примеры. Рассмотрим иррациональное выражение , ОДЗ переменной x для него есть множество всех действительных чисел. В силу только что доказанного утверждения выражение можно заменить выражением на множестве R. А корень можно заменить произведением корней на ОДЗ переменной x для исходного выражения, то есть, на множестве (−∞, −3]∪[5, +∞).

Какой еще результат доказать? Давайте докажем, что при четных m и любых натуральных n на ОДЗ переменных для выражения его можно заменить на .

Для тех значений переменных из ОДЗ, при которых значения выражения A неотрицательны, выражение можно переписать в виде и дальше в силу свойств модуля как . А по свойству корней , где a≥0, имеет место равенство .

А для тех значений переменных, при которых значения выражения A отрицательны, выражение можно переписать как . Дальше имеют место такие переходы: . Первый из них возможен в силу свойств степени, второй – в силу того, что m – четное, а третий – в силу свойства корней , где a≥0. На этом доказательство завершено.

Аналогично обосновываются и остальные результаты из таблицы.